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温州市普通高中 2025 届高三第二次适应性考试
数学试题卷全解析
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．双曲线 的一个焦点为（0，2），则
A． B． C．3 D．
【答案】A
【解析】由题意得 ，所以 ．
故选择：A
2．扇形的半径等于 2，面积等于 6，则它的圆心角等于
A．1 B． C．3 D．6
【答案】C
【解析】 ，所以 ．
故选择：C
3．已知随机变量 ，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【 解 析 】 由 知 ， 可 知 ， 故 ， 故
成立；
反之，若 ，则 ．故为充要条件．
故选择：C
4．若向量 满足 ，则 在 上的投影向量是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设投影向量是 ，则 ，所以 ，即 在
上的投影向量是 ．
1故选择：D
5．已知数列 满足 ，若 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设 ，则 ，所以 ．
故选择：B
6．某班级有 30 名男生和 20 名女生，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得
到男生样本数据的平均值为 8，方差为 2，女生样本数据的平均值为 10.5，方差为 0.75，
则该班级全体学生周末在家学习时长的平均值 和方差 的值分别是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
故选择：D
7．已知函数 ，则两个函数的图象仅通过平移就可以重合的
是
A． 与
B． 与
C． 与
D． 与
【答案】C
【解析】A 项： ，故错误；
B 项： ，故错
误；
C 项： ，而 ，故正
2确；
D 项： ，无法重合，故错误．
故选择：C
8．一个圆台形的木块，上、下底面的半径分别为 4 和 8，高为 3，用它加工成一个与圆
台等高的四棱台，棱台下底面为一边长等于 9 的矩形，且使其体积最大．现再从余下的
四块木料中选择一块车削加工成一个球，则所得球的半径最大值是（加工过程中不计损
耗）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解析一】①关于底面 ，设 ，则 ，最大内
切球在 内；
②补 成 圆 锥 ， 内 接 四 棱 台 延 长 后 必 交 于 圆 锥 顶 点 ， 考 虑 ，
，
故 ，解得 ．
故选择：C
【解析二】 为上底面圆心， 为下底面圆心，记棱台为 ，
棱台最大时，上下边之比为 ，不妨设 ，则 ，
所以球在 与圆台围成部分可更大，
记 中点为 中点为 交上底面圆于 交下底面圆周于 ，
设球半径最大为 ，球心为 ，则如图，球与 相切，
设 ，则 ，则 ，
所以 ，得 ．
故选择：C
3二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．已知二项展开式 ，则
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】A 项：令 知 ，正确；
B 项：令 知 ①，所以 ，
错误；
C 项 ： ， 所 以
，所以 ，
所以 ，正确；
D 项：令 知 ②，①+②可得：
，正确．
故选择：ACD
10．在四棱锥 中， 分别是 上的点， ，则下列条件可以
确定 平面 的是
A． B． C． 平面 D．
平面
【答案】BD
【解析】如图，过 点作 交 于点 ，连接 ，即有 平面 ，由
于 ， 所 以 ， 若 ， 则 ， 所 以
4平面 ，故平面 平面 ，所以 平面 ，故 B 正确；
若 平面 ，又因为平面 平面 ，所以 ，由 B 可
知 D 正确；
假设 平面 ，设平面 ，则 ，若 平面 ，
平面 平面 ，所以 ，反之若 ，当且仅当
平面 ，即 A、C 同时正确或错误，若 ，可能 ，也可能 与
相交．若 与 相交，由 知延长 必与 、 交于同一点 ，由几何
关系知 与 不平行，故 A、C 错误．
故选择：BD
11．甲乙两人用《哪吒 2》动漫卡牌玩游戏．游戏开局时桌上有 盒动漫卡牌，每个盒子
上都标有盒内卡牌的数量，每盒卡牌的数量构成数组 ，游戏规则如下：
两人轮流抽牌，每人每次只能选择其中一盒并抽走至少一张卡牌，若轮到某人时无卡可
抽，则该人输掉游戏．现由甲先抽，则下列开局中，能确保甲有必胜策略的是
A． B． C． D．
【答案】ACD
【 解 析 】 将 每 盒 卡 牌 中 的 卡 片 数 量 转 为 二 进 制 数 ， 再 进 行 “ 亦 或 ”
求 和
，若初始条件是全零，则乙有必胜策略，
反之则甲有必胜策略，保持操作之后是全零状态。
A 项： ，非全零，甲胜：从第 2 盒中拿 2 个；
B 项： ，全零，乙胜；
C 项： ，非全零，甲胜：拿走第三盒；
5D 项： ，非全零，甲胜：从第 1 盒中拿 2 个；
故选择：ACD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．若复数 是纯虚数，则实数 ．
【答案】2
【解析】由题意得 ．
故答案为：2
13．已知 是抛物线 在第一象限上的点， 是抛物线的
焦点， （ 为坐标原点），则抛物线在 处切线的
斜率是 ．
【答案】
【解析】设 ，则 ，所
以 ， 解 得 ， 因 为 ， 所 以 ， 所 以
．
故答案为：
14．函数 满足：
① ； ② ．
则 的最大值等于 ．
【答案】
【解析】设 且 ，令 ，
则有 ，
即 ，
设 ，则 ，即 ，
所以 有解， ，
取 可成立，所以 的最大值等于 ．
故答案为：
6四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 13 分）如图，在三棱锥 中， 是边长等于 2 的正三角
形， ， 为 的中点．
（1）求证： ；
（2）若 ，求点 到平
面 的距离．
【解析】（1）证明：作 中点 ，连接 ，则有 ，所以 ，
又因为 是正三角形，且 为 中点，因此 ，
从而 平面 ，所以 ．
（2）由题， ，设平面 与平面 夹角为 ，
由 三 射 线 定 理 ， 解 得
，即 ，
设点 到平面 的距离为 ，则 ．
16．（本小题满分 15 分）PageRank 算法是 Google 搜索引擎用来衡量网页重要性的一种
经典算法．其核心思想是通过分析网页之间的链接关系，评估每个网页的相对重要性．
假设一个小型的互联网由 四个网页组成，它们之间按图中的箭头方向等可能地
单向链接，假设某用户从网页 开始浏览（记为第 1 次停留）．
（1）求该用户第 3 次停留在网页 上的概率；
（2）某广告公司准备在网页 中选择一个投放广告，以用户前 4
次在该网页上停留的平均次数作为决策依据．试问该公司应该选择
哪个网页？请说明理由．
【解析】 ．
（1） ．
（2） ，
所以
，
7所以 ，故该公司应该选择 网页．
17．（本小题满分 15 分）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 在区间 上恰有一个零点，求 的取值范围；
（3）当 时，解方程 ．
【解析】（1）由题， ，
由于分母 （对 ），故 的正负由分子 决定，记
，
当 时 ， 对 任 意 有 ， 故 ， 即
在定义域内单调递增；
当 时 ， 注 意 到 是 唯 一 使 的 点 ， 又 观 察 到 ， 若 在
区 间
内，由于 ，
故 ，即 时， ，故 ．
综上，当 时， 在定义域内单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增
（2）由（1）知，当 时， 在定义域内单调递增，且注意到 ，因此
时不合题意；
当 时，考虑到 ，为使 内有零点，则极小值点小于零，即
，
结合 ，则 的取值范围为 ．
（3）由题， ，记上式为 ，
则 在 定 义 域 内 单 调 递 减 ， 因 此
，
仅有一个解，注意到待求方程 ，
对 中含 的部分单独考察，即 ，其中关于 的多项式的解为
，
8因此 时可消去 ．
当 时，有 ，满足题意；
当 时，有 ，不符合题意；
综上，原方程的解为 ．
18．（本小题满分 17 分）在平面直角坐标系 中，已知点 是直线
右侧区域内的动点， 到直线 与 轴的距
离之和等于它到点 距离的 4 倍，记点 的轨迹为 ．
（1）求 的方程，并在图中画出该曲线；
（2）直线 过点 ，与 交于 ， 两点，
（i）若 ，求直线 的方程；
（ii）若 是点 关于 轴的对称点，延长
线段 交 于点 ，延长线段 交 于点 ，直线
交 轴于点 ，求 的最小值．
【解析】（1）设 ，则有 ，
当 时， ；当 时， ，曲线如图所示．
（2）（i）如图， ，则 ．
设 ，
解得 ，所以 ，所以 ，
所以直线方程为 ．
（ ii） 由 题 意 知 ， ， 且 ． 设
9，
因为 ， ，
所 以
其中 ，
所以 ，
即
，
所 以 ， 所 以 ， 解 得
．
19．（本小题满分 17 分）给定正数 与无穷数列 ，若存在 ，当
时，都有 ，则称数列 具有性质 ．
（1）求证：数列 具有性质 ；
（2）若无穷数列 具有性质 ，求证：存在正数 ，使得 ；
（3）若对任意正数 ，数列 都具有性质 ，则称 为“ —数列”．若正
项数列 是“ —数列”，试判断数列 是否也是“ —数列”，并证明你
的结论．（注： ）
【解析】（1）取 ，则当 时，
所以数列 具有性质 ．
（2） ，当 时，都有 ，
当 时， ，
所以 ，
取 ，则 ．
（3）我们先证明：
1） ，恒有 ，这由切线放缩易证．
2） ，当 时，恒有 ，即 ．
10若不然， ，使得 ．
取 ，则 ，矛盾！（类似（2）中证明）
下证 也是“ —数列”．
，当 时，
而由于 是“ —数列”，取 ，则 ，
当 时，有 ，
所以 ，
所以 也是“ —数列”．
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