文档内容
专题 08 数列小题综合
考点 十年考情（2015-2024） 命题趋势
考点1 数列的
2022·全国乙卷、2022·北京卷
1.掌握数列的有关概念和表示方
增减性
2021·全国甲卷、2020·北京卷
法，能利用与的关系以及递推关
（10年3考）
系求数列的通项公式，理解数列
考点2 递推数
2023·北京卷、2022·北京卷、2022·浙江卷
是一种特殊的函数,能利用数列的
列及数列的通
2021·浙江卷、2020·浙江卷、2020·全国卷
周期性、单调性解决简单的问
项公式
2019·浙江卷、2017·上海卷
题，该内容是新高考卷的必考内
（10年6考）
容，常考查利用与关系求通项或
2024·全国甲卷、2024·全国甲卷、2024·全国新
项及通项公式构造的相关应用，
Ⅱ卷、2022·全国乙卷、2023·全国甲卷、2023·
需综合复习
全国乙卷、2023·全国新Ⅰ卷、2022·北京卷、
2.理解等差数列的概念，掌握等差
考点3 等差数 2020·浙江卷、2020·山东卷、2020·全国卷、
数列的通项公式与前n项和公式，
列及其前n项 2019·全国卷
能在具体的问题情境中识别数列
和 2019·江苏卷、2019·北京卷、2019·全国卷、
的等差关系并能用等差数列的有
（10年10 2019·全国卷、2018·北京卷、2018·全国卷、
关知识解决相应的问题，熟练掌
考） 2017·全国卷、2016·浙江卷、2015·重庆卷
握等差数列通项公式与前n项和的
2015·全国卷、2015·全国卷、2016·北京卷、
性质，该内容是新高考卷的必考
2016·江苏卷、2015·广东卷、2015·陕西卷、
内容，一般给出数列为等差数
2015·安徽卷、2015·全国卷
列，或通过构造为等差数列，求
2023·全国甲卷、2023·天津卷、2023·全国新Ⅱ
通项公式及前n项和，需综合复习
卷
3.掌握等比数列的通项公式与前n
考点4 等比数 2023·全国甲卷、2023·全国乙卷、2022·全国乙
项和公式，能在具体的问题情境
列及其前n项 卷、2021·全国甲卷、2020·全国卷、2020·全国 中识别数列的等比关系并能用等
和 卷、2020·全国卷、2019·全国卷、2019·全国卷 比数列的有关知识解决相应的问
（10年10 2017·全国卷、2017·北京卷、2017·江苏卷、 题，熟练掌握等比数列通项公式
考） 2016·浙江卷、2016·全国卷、2015·浙江卷 与前n项和的性质，该内容是新高
2015·全国卷、2015·全国卷、2015·湖南卷 考卷的必考内容，一般给出数列
2015·广东卷、2015·安徽卷 为等比数列，或通过构造为等比
数列，求通项公式及前n项和。需
考点5 数列中 2023·北京卷、2022·全国新Ⅱ卷、2021·全国新Ⅰ卷、2020·浙江卷、2020·全国卷、2020·全国
的数学文化
卷
（10年6考）
2018·北京卷、2017·全国卷
考点6 数列求
综合复习
和 2021·浙江卷、2021·全国新Ⅱ卷
4.熟练掌握裂项相消求和和错位相
（10年10 2020·江苏卷、2017·全国卷、2015·江苏
减求和，该内容是新高考卷的常
考）
考内容，常考查裂项相消求和、
考点01 数列的增减性
1．（2022·全国乙卷·高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环
绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 ： ，
， ，…，依此类推，其中 ．则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京·高考真题）已知数列 各项均为正数，其前n项和 满足 ．给出下
列四个结论：
① 的第2项小于3； ② 为等比数列；
③ 为递减数列； ④ 中存在小于 的项．
其中所有正确结论的序号是 ．
3．（2021·全国甲卷·高考真题）等比数列 的公比为q，前n项和为 ，设甲： ，乙： 是递增
数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
4．（2020·北京·高考真题）在等差数列 中， ， ．记 ，则数列
（ ）．
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
考点02 递推数列及数列的通项公式
1．（2023·北京·高考真题）已知数列 满足 ，则（ ）
A．当 时， 为递减数列，且存在常数 ，使得 恒成立
B．当 时， 为递增数列，且存在常数 ，使得 恒成立
C．当 时， 为递减数列，且存在常数 ，使得 恒成立
D．当 时， 为递增数列，且存在常数 ，使得 恒成立
2．（2022·北京·高考真题）已知数列 各项均为正数，其前n项和 满足 ．给出下
列四个结论：
① 的第2项小于3； ② 为等比数列；
③ 为递减数列； ④ 中存在小于 的项．
其中所有正确结论的序号是 ．
3．（2022·浙江·高考真题）已知数列 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·浙江·高考真题）已知数列 满足 .记数列 的前n项和为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·浙江·高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列
就是二阶等差数列，数列 的前3项和是 ．
6．（2020·全国·高考真题）数列 满足 ，前16项和为540，则 .
7．（2019·浙江·高考真题）设 ，数列 中， ， ,则
A．当 B．当
C．当 D．当
8．（2017·上海·高考真题）已知数列 和 ，其中 ， ， 的项是互不相等的正整数，若对于任意 ， 的第 项等于 的第 项，则
考点03 等差数列及其前n项和
一、单选题
1．（2024·全国甲卷·高考真题）记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
3．（2023·全国甲卷·高考真题）记 为等差数列 的前 项和．若 ，则 （ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知等差数列 的公差为 ，集合 ，若 ，
则 （ ）
A．－1 B． C．0 D．
5．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）记 为数列 的前 项和，设甲： 为等差数列；乙： 为等差
数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
6．（2022·北京·高考真题）设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是“存在正整数
，当 时， ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2020·浙江·高考真题）已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0， ．记b =S ，bn+ =S2n+ –
1 2 1 2
S n， ，下列等式不可能成立的是（ ）
2
A．2a =a +a B．2b =b +b C． D．
4 2 6 4 2 6
8．（2019·全国·高考真题）记 为等差数列 的前n项和．已知 ，则A． B． C． D．
9．（2018·全国·高考真题）设 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则
A． B． C． D．
10．（2017·全国·高考真题）（2017新课标全国I理科）记 为等差数列 的前 项和．若 ，
，则 的公差为
A．1 B．2
C．4 D．8
11．（2016·浙江·高考真题）如图，点列{A }，{B }分别在某锐角的两边上，且
n n
， .（ ）
若
A． 是等差数列
B． 是等差数列
C． 是等差数列
D． 是等差数列
12．（2015·重庆·高考真题）在等差数列 中，若 =4， =2，则 =
A．-1 B．0 C．1 D．6
13．（2015·全国·高考真题）已知 是公差为1的等差数列， 为 的前 项和，若 ，则
A． B． C． D．
14．（2015·全国·高考真题）设 是等差数列 的前 项和,若 ,则
A． B． C． D．
二、填空题
15．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）记 为等差数列 的前n项和，若 ， ，则
.
16．（2022·全国乙卷·高考真题）记 为等差数列 的前n项和．若 ，则公差 ．17．（2020·山东·高考真题）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和
为 ．
18．（2020·全国·高考真题）记 为等差数列 的前n项和．若 ，则 ．
19．（2019·江苏·高考真题）已知数列 是等差数列， 是其前n项和.若 ，
则 的值是 .
20．（2019·北京·高考真题）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a=−3，S=−10，则a= ，Sn的
2 5 5
最小值为 ．
21．（2019·全国·高考真题）记 为等差数列 的前 项和，若 ，则 .
22．（2019·全国·高考真题）记Sn为等差数列{an}的前n项和， ，则 .
23．（2018·北京·高考真题）设 是等差数列，且 ， ，则 的通项公式为 ．
24．（2016·北京·高考真题）已知 为等差数列， 为其前n项和，若 ， ，则
.
25．（2016·江苏·高考真题）已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和.若a+a2= 3，S=10，则a 的值是
1 2 5 9
.
26．（2015·广东·高考真题）在等差数列{a }中,若a +a +a +a +a =25,则a +a = .
n 3 4 5 6 7 2 8
27．（2015·陕西·高考真题）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为 2015，则该数列的首项为
．
28．（2015·安徽·高考真题）已知数列 中， ， （ ），则数列 的前9项和
等于 .
29．（2015·全国·高考真题）设 是数列 的前 项和，且 ， ，则 ．
考点04 等比数列及其前n项和
一、单选题
1．（2023·全国甲卷·高考真题）设等比数列 的各项均为正数，前n项和 ，若 ， ，
则 （ ）
A． B． C．15 D．40
2．（2023·天津·高考真题）已知数列 的前n项和为 ，若 ，则 （ ）
A．16 B．32 C．54 D．162
3．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）记 为等比数列 的前n项和，若 ， ，则（ ）．
A．120 B．85 C． D．
4．（2022·全国乙卷·高考真题）已知等比数列 的前3项和为168， ，则 （ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
5．（2021·全国甲卷·高考真题）记 为等比数列 的前n项和.若 ， ，则 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
6．（2020·全国·高考真题）设 是等比数列，且 ， ，则 （ ）
A．12 B．24 C．30 D．32
7．（2020·全国·高考真题）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a –a =12，a –a =24，则 =（ ）
5 3 6 4
A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1
8．（2020·全国·高考真题）数列 中， ，对任意 ，若
，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（2015·浙江·高考真题）已知 是公差 不为零的等差数列，其前 项和为 ，若 成等比数
列，则
A． B．
C． D．
10．（2015·全国·高考真题）已知等比数列 满足 ， ，则
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023·全国甲卷·高考真题）记 为等比数列 的前 项和．若 ，则 的公比为
．
12．（2023·全国乙卷·高考真题）已知 为等比数列， ， ，则 .
13．（2019·全国·高考真题）记Sn为等比数列{an}的前n项和.若 ，则S= ．
4
14．（2019·全国·高考真题）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若 ，则S= ．
5
15．（2017·全国·高考真题）设等比数列 满足a + a = –1, a – a = –3，则a = ．
1 2 1 3 4
16．（2017·北京·高考真题）若等差数列 和等比数列 满足 ， ，则
.17．（2017·江苏·高考真题）等比数列{ }的各项均为实数，其前 项为 ，已知 = ， = ，则 =
．
18．（2016·浙江·高考真题）设数列{an}的前n项和为Sn.若S＝4，an ＝2Sn＋1，n∈N*，则a＝
2 ＋1 1
，S＝ ．
5
19．（2016·全国·高考真题）设等比数列 满足a+a=10，a+a=5，则aa …an的最大值为 ．
1 3 2 4 1 2
20．（2015·全国·高考真题）数列 中 为 的前n项和，若 ，则 .
21．（2015·湖南·高考真题）设 为等比数列 的前 项和，若 ，且 ， ， 成等差数列，则
.
22．（2015·广东·高考真题）若三个正数 ， ， 成等比数列，其中 ， ，则
．
23．（2015·安徽·高考真题）已知数列 是递增的等比数列， ，则数列 的前 项和
等于 .
考点05 数列中的数学文化
1．（2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用
来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列 ，该数
列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且 ，则 ；数列 所
有项的和为 ．
2．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构， 是桁，相邻桁的
水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中 是举，
是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 ．已知
成公差为0.1的等差数列，且直线 的斜率为0.725，则 （ ）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
3．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴
把纸对折，规格为 的长方形纸，对折1次共可以得到 ， 两种规格的图
形，它们的面积之和 ，对折2次共可以得到 ， ， 三种规格的
图形，它们的面积之和 ，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如
果对折 次，那么 .
4．（2020·浙江·高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列
就是二阶等差数列，数列 的前3项和是 ．
5．（2020·全国·高考真题）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列 满足
，且存在正整数 ，使得 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足
的最小正整数 为这个序列的周期.对于周期为 的0-1序列 ，
是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足
的序列是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·全国·高考真题）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆
形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环
比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则
三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
7．（2018·北京·高考真题）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音
比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，
从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 .若第一个单音的频率为f，则
第八个单音的频率为A． B．
C． D．
8．（2017·全国·高考真题）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点
倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下
一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯
A．1盏 B．3盏
C．5盏 D．9盏
考点06 数列求和
1．（2021·浙江·高考真题）已知数列 满足 .记数列 的前n项和为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）（多选）设正整数 ，其中 ，
记 ．则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020·江苏·高考真题）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的
前n项和 ，则d+q的值是 ．
4．（2017·全国·高考真题）（2017新课标全国II理科）等差数列 的前 项和为 ， ， ，
则 ．
5．（2015·江苏·高考真题）数列 满足 ，且 （ ），则数列 的前10项
和为 ．
