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2024 年高三上学期数学月考试题
一、单选题（每题5分，共40分）
1. 设集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 若 ，则复数 的共轭复数 的虚部是（ ）
A. B. C. D.
3. “ ”是“直线 与圆 相切”的 （ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4 已知向量 ， 满足 ， ， ，则 （ ）
A. 2 B. C. 4 D. 16
5. 已知 ， 都是锐角， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
6. 有一袋子中装有大小、质地相同的白球k个，黑球 .甲、乙两人约定一种游戏规
则如下：第一局中两人轮流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局获胜但从第二局起，上一局的负者先摸
球.若第一局中甲先摸球，记第 局甲获胜的概率为 ，则关于以下两个命题判断正确的是（
）
，且 ；
①若第七局甲获胜 概率不小于0.9，则 不小于1992.
A. 都是真命题 B. 是真命题， 是假命题
②
C. 是假命题， 是真命题 D. 都是假命题
①② ① ②
① ② ①②
7. 已知 ，函数 在 上没有零点，则实数 的取值范围
（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数 在区间 上有且仅有一个零点，当 最大时
在区间 上的零点个数为（ ）A. 466 B. 467 C. 932 D. 933
二、多选题（每题5分，共20分）
9. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A. 不共线，且 ，则 .
B. 若向量 ，且 与 的夹角为钝角，则 的取值范围是
C. 已知 ，则 在 上的投影的坐标为
D. 已知点 为 的垂心，则
10. 如图，在三棱锥 中， 两两垂直， 为 上一点，
， 分别在直线 上， ，则：（ ）.
A.
B.
C. 若平面 且 到 距离相等，则直线 与 的夹角正弦值为
D. 的最小值为
11. 如图，函数 的部分图象，则（ ）
A.B. 将 图象向右平移 后得到函数 的图象
C. 在区间 上单调递增
D. 在区间 上的最大值与最小值之差的取值范围为
12. 如图，圆锥 的底面直径和母线长均为6，其轴截面为 ， 为底面半圆弧
上一点，且 ， ， ，则（ ）
A. 当 时，直线 与 所成角的余弦值为
B. 当 时，四面体 的体积为
C. 当 且 面 时，
D. 当 时，
三、填空题（每题5分，共20分）
13. 已知函数 .若不等式 对
任意 恒成立，则 的取值范围是______.
14. 已知 ，且 ，则 _____________.
15. 一只盒子中装有4个形状大小相同的小球，小球上标有4个不同的数字.摸球人不知最大数字是多少，
每次等可能地从中摸出一个球，不放回.摸球人决定放弃前面两次摸出的球，从第3次开始，如果摸出的
球上标有的数字大于前面摸出的球上的数字，就把这个球保存下来，摸球结束，否则继续摸球.问摸球人
最后保存下来是数字最大的球的概率是______.
16. 已知 ， 分别为双曲线 （ ， ）的左、右焦点，过
的直线 与双曲线的右支交于 、 两点（其中 在第一象限）， 的
内切圆半径为 ， 的内切圆半径为 ，若 ，则直线 的斜率为_____.四、解答题（共70分）
17. 已知数列 ，其前 项和为 ，对任意正整数 恒成立，且
.
（1）证明：数列 为等比数列，并求实数 的值；
（2）若 ，数列 前 项和为 ，求证： ；
（3）当 时，设集合 ， .集合
中元素的个数记为 ，求数列 的通项公式.
18. 如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ，
， 为等边三角形且垂直于底面 .
（1）求证： ；
（2）求平面 与平面 夹角的正弦值.
19. 已知 ，数列 前 项和为 ，且满足 ；数列 满足
， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）是否存在实数 ，使得数列 是等差数列？如果存在，求出实数 的值；如果不
存在，请说明理由；
（3）求使得不等式 成立的 的最大值．
20. 已知函数 ．
（1）当 时，判断 在 上的单调性，并说明理由；
（2）当 时， 恒成立，求 的取值范围；
（3）设 ，在 的图象上有一点列 ，直线 的斜率为 ，求证： ．
21. 在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物
品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，
狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指
标值分成以下五组： ，得到如下频率分布直
方图.规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质
量指标值不低于130的为一级口罩.
（1）求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第60百分位数；
（2）现从样本口罩中利用分层抽样 方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数
为
，求 的分布列及方差；
（3）在2024年“五一”劳动节前，甲､乙两人计划同时在该型号口罩 某网络购物平台上分别参加
两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由 个该型号口罩构成.假定甲､乙
两人在 两店订单“秒杀”成功的概率分别为 ，记甲､乙两人抢购成功的口罩总数量
为 ，求当 的数学期望 取最大值时正整数 的值.
22. 已知椭圆 的离心率为 ， ， 分别为椭圆的左顶点和上
顶点， 为左焦点，且 的面积为 ．
（1）求椭圆 的标准方程：
（2）设椭圆 的右顶点为 、 是椭圆 上不与顶点重合的动点．（i）若点 ，点 在椭圆 上且位于 轴下方，直线 交 轴于点
，设 和 的面积分别为 ， 若 ，求点 的坐
标：
（ii）若直线 与直线 交于点 ，直线 交 轴于点 ，求证：
为定值，并求出此定值（其中 、 分别为直线 和直线 的斜
率）．
