文档内容
10 三角恒等变换与解三角形小题综合
考点 十年考情（2015-2024） 命题趋势
2024·全国甲卷、2024·全国新Ⅱ卷、2024·全国新Ⅰ
1. 推导两角差余弦公式，理解
考点1 两角和 卷
两角差余弦公式的意义，能从
与差的正弦、
2023·全国新Ⅰ卷、2022·全国新Ⅱ卷、2020·全国卷
两角差的余弦公式推导出两角
余弦、正切公 2020·全国卷、2019·全国卷、2019·江苏卷
和与差的正弦、余弦、正切公
式的应用（含 2018·全国卷、2018·全国卷、2018·江苏卷
式，能推导二倍角的正弦、余
拼凑角思想） 2017·全国卷、2017·北京卷、2017·江苏卷
弦、正切公式，能运用公式解
（10年9考） 2016·江苏卷、2015·重庆卷、2015·全国卷
决相关的求值与化简问题，该
2015·江苏卷 内容是新高考卷的必考内容，
2024·上海卷、2023·全国新Ⅱ卷、2022·北京卷 一般会考查两角和与差的正
考点2 二倍角
2022·浙江卷、2021·北京卷、2021·全国乙卷 弦、余弦、正切公式及倍角公
公式的应用
2020·全国卷、2020·浙江卷、2020·江苏卷 式变形应用和半角公式变形应
（含升幂公式
2019·北京卷、2019·全国卷、2018·全国卷 用，同时也需掌握升幂公式和
与降幂公式）
降幂公式，掌握拼凑角思想，
2018·全国卷、2017·全国卷、2016·山东卷
（10年10
需加强复习备考
2016·全国卷、2016·四川卷、2016·全国卷
考）
2016·全国卷、2015·浙江卷、2015·上海卷
2. 掌握正弦定理、余弦定理及
考点3 辅助角
其相关变形应用，会用三角形
公式的应用 2024·全国甲卷、2022·北京卷、2021·全国乙卷
的面积公式解决与面积有关的
（10年10 2017·全国卷、2016·浙江卷
计算问题，会用正弦定理、余
考）
弦定理等知识和方法解决三角
2024·全国甲卷、2023·北京卷、2023·全国乙卷
形中的综合问题，会利用基本
考点4 解三角
2021·浙江卷、2020·全国卷、2020·全国卷
不等式和相关函数性质解决三
形小题综合之
2020·全国卷、2019·全国卷、2019·浙江卷
角形中的最值及范围问题，该
求角和求三角
2018·全国卷、2017·浙江卷、2017·全国卷
内容是新高考卷的常考内容，
函数函数值
2017·全国卷、2017·全国卷、2016·山东卷
一般考查正余弦定理和三角形
（10年9考）
2015·北京卷、2015·北京卷 面积公式在解三角形中的应
考点5 解三角 2023·全国甲卷、2021·全国乙卷、2021·全国甲卷 用，同时也结合三角函数及三
形小题综合之 2019·全国卷、2018·全国卷、2017·山东卷 角恒等变换等知识点进行综合
求边长或线段 2016·上海卷、2016·北京卷、2016·天津卷 考查，也常结合基本不等式和2016·全国卷、2015·广东卷、2015·重庆卷
（10年7考） 2015·重庆卷、2015·广东卷、2015·天津卷
2015·安徽卷、2015·福建卷
考点6 解三角
形小题综合之 2022·浙江卷、2021·浙江卷、2019·全国卷
求面积 2018·全国卷、2017·浙江卷、2017·浙江卷
（10年5考）
考点7 解三角
相关函数性质等知识点求解范
形小题综合之 2022·全国甲卷、2019·北京卷、2018·江苏卷
围及最值，需重点复习。
求最值或范围 2018·北京卷、2015·全国卷
（10年4考）
考点8 解三角
形小题综合之 2024·上海卷、2021·全国乙卷
实际应用 2017·浙江卷、2015·湖北卷
（10年4考）
考点01 两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用（含拼凑角思想）
1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知 为第一象限角， 为第三象限角， ，
，则 .
3．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
5．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）若 ，则（ ）
A． B．C． D．
6．（2020·全国·高考真题）已知2tanθ–tan(θ+ )=7，则tanθ=（ ）
A．–2 B．–1 C．1 D．2
7．（2020·全国·高考真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2019·全国·高考真题）tan255°=
A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+
9．（2019·江苏·高考真题）已知 ，则 的值是 .
10．（2018·全国·高考真题）已知 ，则 ．
11．（2018·全国·高考真题）已知 ， ，则 ．
12．（2018·江苏·高考真题）已知 为锐角， ， ．（1）求 的值；（2）
求 的值．
π
13．（2017·全国·高考真题）已知 ，tanα=2，则cos(α− )= ．
4
14．（2017·北京·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴
对称.若 ，则 = .
15．（2017·江苏·高考真题）若 ,则 .
16．（2016·江苏·高考真题）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是 .
17．（2015·重庆·高考真题）若 ,则
A． B． C． D．
18．（2015·全国·高考真题）(2015新课标全国Ⅰ理科) =
A． B．
C． D．19．（2015·江苏·高考真题）已知 ， ，则 的值为 ．
考点02 二倍角公式的应用（含升幂公式与降幂公式）
1．（2024·上海·高考真题）下列函数 的最小正周期是 的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知 为锐角， ，则 （ ）．
A． B． C． D．
3．（2022·北京·高考真题）已知函数 ，则（ ）
A． 在 上单调递减 B． 在 上单调递增
C． 在 上单调递减 D． 在 上单调递增
4．（2022·浙江·高考真题）若 ，则 ， ．
5．（2021·北京·高考真题）函数 是
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
6．（2021·全国乙卷·高考真题） （ ）
A． B． C． D．
7．（2020·全国·高考真题）若 ，则 ．
8．（2020·浙江·高考真题）已知 ，则 ； ．
9．（2020·江苏·高考真题）已知 = ，则 的值是 .
10．（2019·北京·高考真题）函数f(x)=sin22x的最小正周期是 ．
11．（2019·全国·高考真题）已知 ∈（0， ），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A． B．
C． D．
12．（2018·全国·高考真题）函数 的最小正周期为
A． B． C． D．
13．（2018·全国·高考真题）若 ，则
A． B． C． D．
14．（2017·全国·高考真题）已知 ，则 ．
A． B． C． D．
15．（2016·山东·高考真题）函数 的最小正周期是（ ）
A． B．π C． D．2π
16．（2016·全国·高考真题）若 ，则
A． B． C．1 D．
17．（2016·四川·高考真题）cos2 –sin2 = .
18．（2016·全国·高考真题）若 ，则
A． B． C． D．
19．（2016·全国·高考真题）若 ，则
A． B． C． D．
20．（2015·浙江·高考真题）函数 的最小正周期是 ，单调递增区间是
.
21．（2015·上海·高考真题）函数 的最小正周期为 .考点03 辅助角公式的应用
1．（2024·全国甲卷·高考真题）函数 在 上的最大值是 ．
2．（2022·北京·高考真题）若函数 的一个零点为 ，则 ；
．
3．（2021·全国乙卷·高考真题）函数 的最小正周期和最大值分别是（ ）
A． 和 B． 和2 C． 和 D． 和2
4．（2017·全国·高考真题）函数 的最大值为 .
5．（2016·浙江·高考真题）已知 ，则 ， =
．
6．（附加）（2013·全国·高考真题）设当 时，函数 取得最大值，则 .
考点04 解三角形小题综合之求角和求三角函数函数值
1．（2024·全国甲卷·高考真题）在 中,内角 所对的边分别为 ，若 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·北京·高考真题）在 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国乙卷·高考真题）在 中，内角 的对边分别是 ，若 ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2021·浙江·高考真题）在 中， ，M是 的中点， ，则
， .
5．（2020·全国·高考真题）在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则cosB=（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·全国·高考真题）如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1， ，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB= .
7．（2020·全国·高考真题）在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则tanB=（ ）
A． B．2 C．4 D．8
8．（2019·全国·高考真题） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则B=
.
9．（2019·浙江·高考真题）在 中， ， ， ，点 在线段 上，若
，则 ； .
10．（2018·全国·高考真题） 的内角 的对边分别为 ， ， ，若 的面积为
，则
A． B． C． D．
11．（2017·浙江·高考真题）已知 ABC，AB=AC=4，BC=2． 点D为AB延长线上一点，BD=2，连结
CD，则 BDC的面积是 ，cos∠BDC= ．
△
12．（2△017·全国·高考真题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b= ，c=3，则
A= .
13．（2017·全国·高考真题） 的内角 的对边分别为 ，若 ，则
．
14．（2017·全国·高考真题） ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知
△，a=2，c= ，则C=
A． B． C． D．
15．（2016·山东·高考真题） 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 ,则A=
A． B． C． D．
16．（2015·北京·高考真题）在 中， ， ， ，则 ．
17．（2015·北京·高考真题）在 中， ， ， ，则 ．
考点05 解三角形小题综合之求边长或线段
1．（2023·全国甲卷·高考真题）在 中， ， 的角平分线交BC于
D，则 ．
2．（2021·全国乙卷·高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 ， ，
，则 ．
3．（2021·全国甲卷·高考真题）在 中，已知 ， ， ，则 （ ）
A．1 B． C． D．3
4．（2019·全国·高考真题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，
cosA=－ ，则 =
A．6 B．5 C．4 D．3
5．（2018·全国·高考真题）在 中， ,BC=1,AC=5，则AB=
A． B． C． D．
6．（2017·山东·高考真题）在 中，角 的对边分别为 ， ， ．若 为锐角三角形，且
满足 ，则下列等式成立的是
A． B． C． D．
7．（2016·上海·高考真题）已知 的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于 ．
8．（2016·北京·高考真题）在△ABC中， ，a= c，则 = .
9．（2016·天津·高考真题）在 中，若 ，则 =
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2016·全国·高考真题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A= ，cos C= ，
a=1，则b= .11．（2015·广东·高考真题）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a= ，sinB= ，C= ，
则b= ．
12．（2015·重庆·高考真题）设 的内角 的对边分别为 ，且
，则 ．
13．（2015·重庆·高考真题）在 中， ， ， 的角平分线 ，则
.
14．（2015·广东·高考真题）设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．若 ， ，
，且 ，则
A． B． C． D．
15．（2015·天津·高考真题）在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 的面积为 ，
，则 的值为 ．
16．（2015·安徽·高考真题）在 中， ， ， ，则 .
17．（2015·福建·高考真题）若 中， ， ， ，则 ．
考点06 解三角形小题综合之求面积
1．（2022·浙江·高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方
法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是
，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边
，则该三角形的面积 ．
2．（2021·浙江·高考真题）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三
角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正
方形的面积为 ，小正方形的面积为 ，则 .3．（2019·全国·高考真题） 的内角 的对边分别为 .若 ，则 的面
积为 .
4．（2018·全国·高考真题） 的内角 的对边分别为 ，已知
，△ ，则 的面积为 ．
5．（2017·浙江·高考真题）已知 ABC，AB=AC=△4，BC=2． 点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，
则 BDC的面积是 ，cos∠BDC= ．
△
6．（2017·浙江·高考真题）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值
△
计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千
多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积 ， ．
考点07 解三角形小题综合之求最值或范围
1．（2022·全国甲卷·高考真题）已知 中，点D在边BC上， ．当
取得最小值时， ．
2．（2019·北京·高考真题）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点， 是锐角，
大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为
A．4β+4cosβ B．4β+4sinβ C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ
3．（2018·江苏·高考真题）在 中，角 所对的边分别为 ， ， 的平分
线交 于点D，且 ，则 的最小值为 ．4．（2018·北京·高考真题）若 的面积为 ,且∠C为钝角，则∠B= ； 的取值
范围是 .
5．（2015·全国·高考真题）如图在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范
围是 ．
考点08 解三角形小题综合之实际应用
1．（2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向， ,存在点A满足
，则 (精确到0.1度)
2．（2021·全国乙卷·高考真题）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测
海岛的高．如图，点 ， ， 在水平线 上， 和 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，
称为“表高”， 称为“表距”， 和 都称为“表目距”， 与 的差称为“表目距的差”则
海岛的高 （ ）A． 表高 B． 表高
C． 表距 D． 表距
3．（2017·浙江·高考真题）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值
计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千
多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积 ， ．
4．（2015·湖北·高考真题）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 处时测得公路北侧一山
顶D在西偏北 的方向上，行驶600m后到达 处，测得此山顶在西偏北 的方向上，仰角为 ，则此
山的高度 m.
