2006年重庆高考理科数学真题及答案_重庆数学24已更_1990-2011重庆数学高考真题

2006 年重庆高考理科数学真题及答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合
题目要求的。
（1）已知集合 U   1,2,3,4,5,6,7  ,A  2,4,5,7  ,B   3,4,5 ，则 痧A( B) ＝（ ）
U U
（A） 1,6  （B） 4,5  （C） 2,3,4,5,7  （D）{ 1,2,3,6,7 }
（2）在等差数列 中，若 ， 是数列的 的前n项和，则 的值为（ ）
a a a 12 S a S
n 4 6 n n 9
（A）48 (B)54 (C)60 （D）66
5
（3）过坐标原点且与圆x2  y2 4x2y 0相切的直线方程为（ ）
2
1 1
（A）y  3x或y  x （B）y 3x或y   x
3 3
1 1
（C）y  3x或y   x （D）y 3x或y  x
3 3
（4）对于任意的直线l与平面，在平面内必有直线m，使m与l（ ）
（A）平行 （B）相交 （C）垂直 （D）互为异面直线
n
 1 
（5）若 的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）
3 x  
 
 x 
（A）－540 （B）－162 （C）162 （D）540
（6）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－18岁
的男生体重（kg），得到频率分布直方图如下：
根据上图可得这100名学生中体重在 的学生人数是（ ）
56.5,64.5
（A）20 （B）30 （C）40 （D）50（7）与向量 7 1  1 7的夹角相等，且模为1的向量是（ ）
a , ,b ,
   
2 2 2 2
4 3 4 3  4 3 2 2 1 2 2 1  2 2 1
（A） , （B） , 或 , （C） , （D） , 或 , 
     
5 5 5 5  5 5  3 3   3 3   3 3 
（8）将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配
方案有（ ）
（A）30种 （B）90种 （C）180种 （D）270种
（9）如图所示，单位圆中 的长为 ， 与弦AB所围成的弓形面
AB
x f(x)表示弧
AB
积的2倍，则函数 的图像是（ ）
y  f(x)
（1
0）
若
且 则 的最小值为（ ）
a,b,c0 a(abc)bc42 3, 2abc
（A） （B） （C） （D）
31 31 2 32 2 32
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。把答案填写在答题卡相应位置上
12i
（11）复数 的值是 。
3i3
13 (2n1)

（12）lim  。
n 2n2 n1
（13）已知 ,   3 ,   ,sin 3 , sin(  ) 12，则 cos(  )
 4  5 4 13 4
。
（ 14 ） 在 数 列 a 中 ， 若 a 1,a 2a 3(n1) ， 则 该 数 列 的 通 项 a 
n 1 n1 n n
。
（15）设a 0,a 1，函数 f(x)alg(x22x3) 有最大值，则不等式log  x2 5x7  0的解
a
集为 。
（16）已知变量 满足约束条件 若目标函数 （其中
x,y 1 x y4,2 x y2. z ax y
a0
）仅在点3,1处取得最大值，则
a
的取值范围为 。三、解答题：三大题共6小题，共76分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分13分）
设函数 （其中 ），且 的图象
f(x) 3cos2xsinxcosx 0,R f(x)

y
在 轴右侧的第一个最高点的横坐标为 。
6
（I）求的值。
（II）如果 在区间  5上的最小值为 ，求 的值。
f(x)   ,  3 
 3 6 
（18）（本小题满分13分）
某大夏的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠。若该电梯在底层载
1
有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为 ，用表示这5位乘客在第
3
20层下电梯的人数，求：
（I）随机变量 的分布列;

（II）随机变量 的期望;

（19）（本小题满分13分）
如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，DAB为直
角， , E、F分别为 、 中点。
AB//CD ADCD2AB, PC CD
（I）试证：CD平面BEF ;
（II）高 ，且二面角 的平面角大小 ，
PAkAB EBDC 30
求k的取值范围。
（20）（本小题满分13分）
已知函数 f(x)  x2 bxc  e2，其中b,cR为常数。
（I）若 ，讨论函数 的单调性；
b2 4c1 f(x)
f(x)c
（II）若b2 4(c1)，且lim 4，试证：6b2
x x
（21）（本小题满分12分）
已知定义域为R的函数 f(x)满足 f  f(x)x2 x   f(x)x2 x.
（I）若 ，求 ;又若 ，求 ;
f(2)3 f(1) f(0)a f(a)（II）设有且仅有一个实数 ，使得 ，求函数 的解析表达式
x f(x ) x f(x)
0 0 0
（22）（本小题满分12分）
已知一列椭圆 y2 。 ……。
c :x2  1,0b 1 n1,2
n b2 n
n
若椭圆
C
上有一点
P
，使
P
到右准线
l
的距离
d
是p
F
与
n n n n n n n
PG 的等差中项，其中 F 、 G 分别是 C 的左、右焦点。
n n n n n
（I）试证：
b 
3 n1;
n 2
（II）取 2n3 ，并用 表示 的面积，试证：
b  S PFG
n n2 n n n n
S S 且 S S n3
1 2 n n12006年重庆高考理科数学真题参考答案
一、选择题：每小题5分，满分50分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A C A C B B D D
（1）已知集合 U   1,2,3,4,5,6,7  ,A  2,4,5,7  ,B   3,4,5 ， � A ={1，3，6}， � B ={1，2，6，
U U
7}，则 痧A( B) ＝{1，2，3，6，7}，选D.
U U
（2）在等差数列 中，若 ，则 ， 是数列的 的前n项和，则 =
a a a 12 a 6 S a S
n 4 6 5 n n 9
9(a a )
1 9 9a =54，选B.
2 5
5
（3）过坐标原点的直线为y kx，与圆x2  y2 4x2y 0相切，则圆心(2，－1)到直
2
线方程的距离等于半径 10 ，则 |2k1| 10 ，解得 1 ，∴ 切线方程为
 k  »òk 3
2 1k2 2 3
1
y  3x或y  x，选A.
3
（4）对于任意的直线l与平面，若l在平面α内，则存在直线m⊥l；若l不在平面α
内，且l⊥α，则平面α内任意一条直线都垂直于l，若l不在平面α内，且l于α不垂直，
则它的射影在平面α内为一条直线，在平面内必有直线m垂直于它的射影，则m与l垂
直，综上所述，选C.
n
 1 
（5）若 的展开式中各项系数之和为 =64， ，则展开式的常数项为
3 x   2n n6
 
 x 
1
=－540，选A.
C3(3 x)3( )3
6
x
（6）为了了解某地区高三学生的身体发
育情况，抽查了该地区 100 名年龄为
17.5岁－18岁的男生体重（kg），得到
频率分布直方图如下：根据该图可知，
组距=2，得这 100 名学生中体重在
 的学生人数所占的频率为
56.5,64.5
(0.03+0.05+0.05+0.07)×2=0.4，所以
该段学生的人数是40，选C.
（7）与向量  7 1  1 7的夹角相等，且模为 1的向量为(x，y)，则
a , ,b ,
   
2 2 2 2 4  4
 x2  y2 1 x x
 
 ，解得 5 或 5，选B.
7 1 1 7  
x y  x y 3 3
  
y  y 
2 2 2 2
 5  5
（8）将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5名
C1C2
教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有 5 4 15 种方法，再将3组分到3个班，共
A2
2
有 种不同的分配方案，选B.
15A3 90
3
（9）如图所示，单位圆中 的长为 ， 与弦AB所围成的弓形面积的2倍，
x f(x)表示弧
AB AB
当 的长小于半圆时，函数 的值增加的越来越快，当 的长大于半圆时，函数
y  f(x)
AB AB
的值增加的越来越慢，所以函数 的图像是D.
y  f(x) y  f(x)
（10）若 且 所以 ，
a,b,c0 a(abc)bc42 3, a2 abacbc42 3
1 1
42 3 a2 abacbc (4a2 4ab4ac2bc2bc)≤ (4a24ab4ac2bcb2c2)
4 4
∴ ，则( )≥ ，选D.
(2 32)2≤(2abc)2 2abc 2 32
二、填空题：每小题4分，满分24分。
1 7 1 56
（11）  i （12） （13） （14）2n13
10 10 2 65
（15）2,3 （16）
a1
12i 12i (12i)(3i) 17i
（11）复数 =   。
3i3 3i 10 10
（12） 13  (2n1) n2 1 。
lim  lim 
n 2n2 n1 n2n2 n1 2
（13）已知 ,   3 ,   ,sin 3 , sin(  ) 12， ( 3 ,2) ，
 4  5 4 13 2
  3 4  5
 ( , )，∴ cos() ，cos( ) ，
4 2 4 5 4 13
 
则 cos( ) cos[()( )]=
4 4
 
cos()cos( )sin()sin( )
4 44 5 3 12 56
= ( )( ) 
5 13 5 13 65
（14）在数列a 中，若
a 1,a 2a 3(n1)
，∴
a 32(a 3)(n1)
，即{
n 1 n1 n n1 n
}是以 为首项，2为公比的等比数列， ，所以该数列的
a 3 a 34 a 342n1 2n1
n 1 n
通项 .
a  2n13
n
（15）设 a 0,a 1 ，函数 f(x)alg(x22x3) 有最大值，∵ lg(x2 2x3)≥lg2 有最小值，
∴ 0<a<1 ， 则 不 等 式 的 解 为
log  x2 5x7  0
a
y
x2 5x70 4

，解得2<x<3，所以不等式的解集为2,3.
3 B
x2 5x71
2
C
（16）已知变量 满足约束条件 在
x,y 1 x y4,2 x y2. 1 A
x
坐标系中画出可行域，如图为四边形 ABCD，其中 A(3，1)， O 1 2 3 4
-1 D
，目标函数 （其中 ）中的z表示斜
k 1,k 1 z ax y a0
AD AB -2
率为－a的直线系中的截距的大小，若仅在点3,1处取得最大值，
则斜率应小于 ，即 ，所以 的取值范围为(1，+∞)。
k 1 a1 a
AB
三、解答题：满分76分
（17）（本小题13分）
3 1 3
解：（I）f(x) cos2x sin2x 
2 2 2
  3
sin 2x  
 
 3 2
  
依题意得 2   ,
6 3 2
1
解之得 .
2 3
（II)由（I）知, f(x)=sin(x+ ) 
3 2
  5   7
又当x  , 时，x  0, ,
   
 3 6  3  6 
1 
故 sin(x )1,
2 3
  5 1 3
从而f(x)在  , 上取得最小值  
 
 3 6  2 2
1 3 31
因此，由题 设知   3.故
2 2 2
（18）（本小题13分）
解：（1） 的所有可能值为0，1，2，3，4，5。

由等可能性事件的概率公式得
25 32 C124 80
P(0)  . P(1) 5 .
35 243 35 243
C223 80 C322 40
P(2) 5  . P(3) 5 
35 243 35 243
C42 10 1 1
P(4) 5  P(5) 
35 243 35 243
从而， 的分布列为

 0 1 2 3 4 5
32 80 80 40 10 1
P
243 243 243 243 243 243
（II）由（I）得 的期望为

32 80 80 40 10 1
E0 1 2 3 4 5
243 243 243 243 243 243
405 5
 
243 3
（19）（本小题13分）
（I）证：由已知DF//AB且DAB为直角。故ABFD是矩形。从而CD
BF 。又

PB底面ABCD，CD AD，故由三垂线定理知CD PD.D PDC中,E、F分别为PC、CD

的中点，故EF//PD,从而CD EF ，由此得CD面BEF。
（II）连接AC交BF于G，易知G为AC的中点，连接EG，则在 PAC中易知EG//PA。

又因PA底面ABCD，故EG底面ABCD。在底面ABCD中，过G作GHBD。垂足为H，连接EH，由三垂线定理知EHBD。从而EHG为二面角E－BD－C的平面角。
1 1
设AB则在

PAC中，有EG  PA k
2 2
以 下 计 算 GH ， 考 虑 底 面 的 平 面 图 （ 如 答 （ 19 ） 图 2 ） 。 连 结 GD ， 因
1 1
S  BDGH  GBDF
CBD 2 2
GBDF
故 GH ＝ . 在 ABD中，因AB a.AD 2a.得BD  5a 。 而

BD
1 1
GB FB ADa,
2 2
GBAB aa 5
。 因 此 ，
DF  AB,从而得GH    a
BD 5a 5
1
ka
EG 5k
2 。由 知 是锐角。故要使 ，必须
tanEHG    k 0 EHG EHG 30
GH 5a 2
5
5k 3 ，解之得，中的取值范围为 2 15
tan30  k 
2 3 15
（20）（本小题13分）
解：（I）求导得f '(x)x2 (b2)xbce2
 
因b2 4c1.故方程f '(x)0即x2 (b2)xbc0有两根。
b2
b2 4c1
b2
b2 4c1
x    x  
1 2 2 2 2 2
令f '(x)0.解得x x或x x
1 2
又令f '(x)0.解得x  x x
1 2
故当x,x 时，f(x)是增函数;当xx ,时，f(x)也是增函数;
1 2
但当xx ,x 时，f(x)是减函数
1 2
（II)易知 f(0)c, f '(0)bc,因此
f(x)c f(x) f(0)
lim lim  f '(0)bc
x x x x
b+c=4
所以，由已知条件得  ,因此b2 4b120
b2 4(c1)
解得-6b2
（21）题（本小题12分）解：(I)因为对任意xR, 有f(f(x)-x2x) f(x)x2 x
所以f(f(2)-222) f(2)22 2
又由f(2)=3, 得f(3-222）322 2,即f(1)1
若f(0)=a,则f(a02 0)a02 0,即f(a)a
(II)因为对任意xR，有f(f(x)x2 x) f(x)x2 x.
又因为有且只有一个实数x，使得f(x ) x
0 0 0
所以对任意xR,有f(x)x2 x x
0
在上式中令x x，有f(x )x2 x  x
0 0 0 0 0
又因为f(x ) x，所以x x2 0，故x =0或x =1
0 0 0 0 0 0
若x =0，则f(x)x2 x0，即f(x) x2 x
0
但方程x2 x x有两个不相同实根，与题设条件矛盾。故x 0
0
若x =1，则有f(x)x2 x1,即f(x) x2 x1.易验证该函数满足题设条件。
0
综上，所求函数为f(x) x2 x1 (xR)
（22）（本小题12分）
证：（I）由题设及椭圆的几何性质有 2d PF PG 2 ，故 d 4 。设
n n n n n n
1 1 1
，则右准线方程为 .因此，由题意 应满足 即
G  1b2 l 2x d 1d  1.
n n G n G n G
n n n
 1
11
 1 1 3
G ,解之得： G 1。即  1b2 1.从而对任意 n1.b 
 n 2 n 2 n n 2
0G 1

n
（ II ） 高 点 P 的 坐 标 为 x ,y ， 则 由 d 1 及 椭 圆 方 程 易 知
n n n
1 1 1
x  1,y2 b2(1x2)(1G2)(1( 1)2)  (2G2 G2 2G 1). 因
n G n n n n G G2 n n n
n n n
FG  2G ，故
n n n
PFG 的面积为 S G y ，从而 S2 2G3G32G 1 1 G 1 。令
 n n n n n 4 n n n n  2 n  
。由 得两根1 13 从而易知函数
f(c)2c3c2 2c1 f '(c)6c2 2c20. .
6
1 1 13 1 13 
f(c)在  ,  内是增函数。而在  ,1 内是减函数。
   
2 6 6
   现在由题设取 2n3 则 n1 1 是增数列。又
b  , C  1b2  1 ,C
n n2 n n n2 n2 n
易知
3 1 13 4 。故由前已证，知 ，且
C    C S S S S (n 3)
2 4 6 5 3 1 2 n n1