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2025届高三一模
数学
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．如图，在 中，点 是线段 上靠近点 的三等分点，过点 的直线分别交直线 、 于点 、 .
设 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．设 表示不大于 的最大整数，如 ， ，若正数a满足
，则 （ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
3．设集合 ，则集合 与集合 的关系是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知数列 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 所有项恒大于等于 B．若 ，则 是单调递增数列
C．若 是常数列，则 D．若 ，则 是单调递增数列
5．已知圆锥的侧面展开图是一个面积为 的半圆，则该圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径和母线长都是 ，则（ ）
答案第1页，共2页
学科网（北京）股份有限公司A．这两个球体的半径之和的最大值为
B．这两个球体的半径之和的最大值为
C．这两个球体的表面积之和的最大值为
D．这两个球体的表面积之和的最大值为
7．如图，某简单组合体由圆柱与一个半球黏合而成，已知圆柱底面半径为2，高为4，A是圆柱下底面圆周上的一
个定点，P是半球面上的一个动点，且 ，则点P的轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
8．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．英国数学家泰勒发现了如下公式： ， ，某数学兴趣小组在研
究该公式时，提出了如下猜想，其中正确的有（ ）
A． B． （精确到小数点后两位）
C． D．当 时，
答案第2页，共2页10．已知函数 是 的导函数，则（ ）
A．“ ”是“ 为奇函数”的充要条件
B．“ ”是“ 为增函数”的充要条件
C．若不等式 的解集为 且 ，则 的极小值为
D．若 是方程 的两个不同的根，且 ，则 或
11．已知点 在线段 上， 是 的角平分线， 为 上一点，且满足 ，
设 ，下列说法正确的是（ ）
A． 点的轨迹是双曲线
B． 是三角形 的内心
C．
D． 在 上的投影向量为
12．过抛物线 的焦点 的直线 交抛物线 于 两点 ，若
，则下列说法正确的是（ ）
A． 为定值
B．抛物线 的准线方程为
C．过 两点作抛物线的切线，两切线交于点 ，则点 在以 为直径的圆上
D．若过点 且与直线 垂直的直线 交抛物线于 两点，则
三、填空题
13． 的展开式中 的系数为 .
14．将函数 的图象沿 轴向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，则 的值为
.
15．设向量 ．若 ，则实数 .
16．某高中学校为了响应上级的号召，促进学生的全面发展，决定每天减少一节学科类课程，增加一节活动课，
为此学校开设了传统武术、舞蹈、书法、小提琴4门选修课程，要求每位同学每学年至多选2门，从高一到高三3
个学年将4门选修课程学完，则每位同学的不同选修方式有 种，若已知某同学高一学年只选修了舞蹈
答案第3页，共2页
学科网（北京）股份有限公司与书法两门课程，则这位同学高二学年结束后就修完所有选修课程的概率为 ．
四、解答题
17．已知双曲线 的渐近线方程为 ，右顶点为 ，点 在 上.
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线 与C相交于F，G两点，点E与点F关于 轴对称，问直线EG是否过定点？若过定点，求
出定点坐标；若不过定点，请说明理由；
(3)将圆心在 轴上，且与C的两支各恰有一个公共点的圆称为“子圆”，若两个“子圆”外切于点 ，圆心距为
，求 .
18．已知 ，其中 ， .
(1)若 与 相切，求实数 的值；
(2)当 时，证明： ；
(3)若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
19．对于一组向量 、 、 、…、 （ 且 ），令 ，如果存在
，使得 ，那么称 是该向量组的“长向量”．
(1)设 ， 且 ，若 是向量组 、 、 的“长向量”，求实数 的取值范围；
(2)若 ， 且 ，向量组 、 、 、…、 是否存在“长向量”？给出你的结论并说
明理由；
(3)已知 、 、 均是向量组 、 、 的“长向量”，其中 ， ．设在平面
直角坐标系中有一点列 、 、 、…、 ，满足 为坐标原点， 为 的位置向量的终点，且 与 关于
点 对称， 与 （ 且 ）关于点 对称，求 的最小值．
20．已知函数 ， .
(1)当 时，求 的极值；
(2)若函数 有2个不同的零点 ， .
（i）求 的取值范围；
答案第4页，共2页（ii）证明： .
21．已知函数 ．
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)若 ，讨论曲线 与曲线 的交点个数．
22．在直角坐标系中，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线 ，已知
过点 的直线 的参数方程为： ，
直线 与曲线 分别交于 ， .
(1)写出曲线 和直线 的普通方程；
(2)若 ， ， 成等比数列，求 的值.
答案第5页，共2页
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