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2024 年秋学期高三年级第四次阶段性考试
数学试卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.四个选项中，只有一项是符合题目要求
的）
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数 ，则 （ ）
.
A 2 B. 4 C. 8 D. 16
3. 已知角 终边上一点 ，则 的值为（ ）
.
A B. C. D.
4. 已知函数 过定点M，点M在直线 上且 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
5. 设 与 是两个向量，则 是 或 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 首项为-24的等差数列，从第10项起为正数，则公差d的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数 ，若 ，且 ，则 的取值范围为（ ）
A. (1,+∞) B.
C. D.
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学科网（北京）股份有限公司8. 如图，棱长为 的正方体 中， 为线段 的中点， 分别为线段 和 棱
上任意一点，则 的最小值为（ ）
.
A B. C. 1 D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 命题 ， 的否定是 ， .
B. P是 所在平面内一点，若 ，则P是 的垂心
C. 关于x的方程 有一正一负根，则
.
D 若 ， ， ，则此三角形有两解
10. 若把曲线 上各点 的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单
位长度，得到曲线 ，则（ ）
A. B. 在 上单调递减
C. 图象关于 对称 D. 与 有2个交点
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学科网（北京）股份有限公司11. 如图，在三棱锥 的平面展开图中， ， 分别是 ， 的中点，正方形 的边长
为2，则在三棱锥 中（ ）
A. 的面积为 B.
C. 平面 平面 D. 三棱锥 的体积为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知 ，则 ______.
13. 在四面体 中， ， ， ， ，则该四面体外接球的表
面积为______.
14. 已知函数 ，若 恒成立，则 最大值为
__________．
四、解答题（本题共5小题，共77分，其中15题13分，16题15分，17题15分，18题17
分，19题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知数列 的前 项和 ，其中 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若对于任意正整数 ，都有 ，求实数 的最小值.
16. 如图，三棱柱 中，侧面 与侧面 均为边长为 的正方形， 、 分别是
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学科网（北京）股份有限公司、 的中点，且 ．
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的正切值．
17. 在 中，角 的对边分别为 ，且 ．
（1）求角 的大小；
（2）若 ，角 的平分线交 于点 ，求线段 的长．
18. 已知函数
（1）若 ，求函数 的单调区间；
（2）若存在 ，使 成立，求整数 的最小值．
19. 定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该
数列的一次“和扩充”，例如：数列1，2，3经过第一次“和扩充”后得到数列1，3，2，5，3；第二次“和扩
充”后得到数列1，4，3，5，2，7，5，8，3.设数列a，b，c经过n次“和扩充”后得到的数列的项数为 ，
所有项的和为 .
（1）若 ， ， ，求 ， ；
（2）若 ，求正整数n的最小值；
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学科网（北京）股份有限公司（3）是否存在实数a，b，c，使得数列 为等比数列?若存在，求a，b，c满足的条件；若不存在，请
说明理由.
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