长沙市一中 2026 届高三月考试卷(一)
数 学
时量:120分钟 满分:150分
得分
一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的)
1.已知集合A={-4,0,1,2,8},B={x|x³=x},则A∩B=
A.{0,1,2} B.{1,2,8}
C.{2,8} D.{0,1}
z
2.若复数z=-1+√3i, 则 =
z⋅z-1
A.-1+√3i
B.-1-√3i
1 √3
C.- + i
3 3
1 √3
D.- - i
3 3
3.(★)从数字1，2，3，4，5，6中随机抽取两个数字(不允许重复)，则这两个数字的乘积是
奇数的概率为
1 2
A. B.
5 5
3 4
C. D.
5 5
4,函数 f(x)= cosx-cos 2x是
A.奇函数，且最大值为2
9
B.偶函数，且最大值为
8
9
C.奇函数，且最大值为
8
D.偶函数，且最大值为2
5.已知函数f(x)满足.f(x+1)为奇函数，f(2x-1)为偶函数，则下列一定成立的是
A. f(-3)=0 B.f(0)=0
C. f(2)=0 D. f(4)=0
6.如图，在△ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的直线分别交直线
AB，AC 于不同的两点 M，N，若 ⃗AB=m⃗AM,⃗AC=n⃗AN,m>0,n>0,则2 8
+ 的最小值为
m n
A.2 B.9 C.10 D.18
7.在平面直角坐标系 xOy中，已知圆C的方程为 x2+ y2-8x+15=0,若直线y=kx-2(k∈R)
上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值为
1 2
A. B. C.1
3 3
4
D.
3
8.已知实数x,y,z满足 ex-e2=e(x-2)≠0,ey-ex=e(y-e)≠0,ex-e3=e(z-3)≠0，其中e为自然
对数的底数，则x，y，z的大小关系是
A. x<y<zB B. y<x<z
C. z<x<yD D. z<y<x
二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符
合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分)
9. 如 图 , 在 平 行 六 面 体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中 , ∣⃗AB∣=∣⃗AD∣=∣⃗A A ∣=1,且
1
π
∠A AD=∠A AB=∠BAD= ,M为A₁C₁与B₁D₁的交点,设 ⃗AB =a,⃗AD=b,⃗A A =c,则下列
1 1 3 1
结论正确的是
A.⃗AC =a+b+c
1
1 1
B.⃗BM= a- b+c
2 2
C.∣⃗AC ∣=√6
1
√6
D.cos⟨⃗AB,⃗AC ⟩=
1 3
10.(★)已知抛物线 C:y2=8x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)
两点，则
A.抛物线C的准线方程为x=-4
B.若|AF|=8,则. x =6
1
C.|AF|·|BF|的最大值为16
D.∠AOB为钝角
11.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, D为边BC 的中点,则下列说法正确的是
A.若AD= csinB,则△ABC是等腰三角形
bsinA
B.若 AD= ,则△ABC是直角三角形
2sinBa
C.若 AD< ,，则△ABC是钝角三角形
2
a
D.若 AD> ,则△ABC是锐角三角形
2
三、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
2n-5
12.已知数列{a }的通项公式为 a = (n∈N*),则数列{a }的最大项为第 项.
n n 2n n
13.若曲线y=(x+a)eˣ有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是 .
14.已知5件产品中恰有2件次品，现逐一检测，直至能找出所有次品为止,记检测的次数为
X,则E(X)= .
四、解答题(本大题共5个小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本题满分13分)
在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了 100名观众进行问卷调查，
得到了如下数据：
喜欢 不喜欢
男性 40 10
女性 20 30
(1)依据小概率值 α=0.001的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关
联?
(2)从这100名样本观众中任选1名，设事件A=“选到的观众是男性”，事件 B=“选到的观众
喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，比较P(B|A)和. P(B∣A)的大小，并解释其意义.
n(ad-bc) 2
附： x2= ,n=a+b+c+d.
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
α 0.050 0.010 0.001
x 3.841 6.635 10.828
α
16.(本题满分15分)
1
如图,在四棱锥 P-ABCD 中,平面PDC⊥平面ABCD,AD⊥DC, AB‖DC,AB= CD=AD=1,M
2
为棱PC 的中点.
(1)证明:. BM‖平 面P;AD
(2)若. PC=√5,PD=1,在线段 PA 上是否存在一点 Q，使得点 Q 到平面 BDM 的距离是
2√6
?若存在，求出 PQ的值；若不存在，请说明理由.
917.(★)(本题满分15分)
已知数列 {a }的前n项和为 S =n2+2n+c,其中c为常数.
n n
(1)求数列 {a }的通项公式；
n
(2)若数列 {a }为等差数列.
n
{ 2n-1 }
(Ⅰ)若 c =an,求数列 的前n项和. H ;
n 2 c ⋅c n
n-1 n
a
(Ⅱ)若数列 {b }的前n项和为 T ,且 b = n,求证： T <5.
n n n 2n n
18.(本题满分17分)
x2 y2
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的焦点与短轴两个顶点所成三角
a2 b2
√3
形的面积为 √3,，离心率为 .
2
(1)求椭圆C的方程；
(2)设A(4,0),B(0,2),点 P 是椭圆上且在第三象限内的一点.
(|)当 △PAB的面积取最大值时，求点 P 的坐标；
(Ⅱ)记直线PA与y轴交于点M，直线 PB与x轴交于点N，求四边形ABNM面积的最大值.
19.(本题满分17分)
已知函数. f (x)=xlna,g(x)=alnx.
(1)若 ∀x∈(0,+∞),f (x)≥g(x))恒成立，求实数a的取值集合；
1
(2)在(1)的条件下，若函数 G(x)=g( |x+2|)- x2+2x,G'(x)的两个零点分别为 x 与 x ,且
2 1 2x <x ,求证： G(x )-4x -4< -G(-x )-4x ;
1 2 2 2 1 1
n 5 n+1
(3)已知正整数n满足 <ln < ,试求出所有满足条件的n.(已知 e≈2.718)
18e 3 18e
