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2026 届高三暑假作业暨开学模拟检测
数学
(本试卷共4页，时量120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的)
1. 已知函数f(x)=ln(ax+2)在区间(1,2)上单调递减，则实数a的取值范围是 ( )
A. a<0 B. -1≤a<0 C. -10)的两条切线，切点分别为A，B，下列结
论正确的是 ( )
A. 01时，不等式fx
<0恒成立，求λ的最小值；
1
(2)设数列a = n∈N*
n n
a
，其前n项和为S ，证明：S -S + n >ln2.
n 2n n 4
16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC⎳AD，AB
⊥AD，AD=2AB=2BC=2，PC= 2，E,F分别为PD,BE的中点.
(1)证明：P,A,C,F四点共面；
(2)求直线DF与平面PAC所成角的正弦值.17. 某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为
200，每局比赛，棋手胜加100分；平局不得分；棋手负减100分．当棋手总分为0时，挑战失
败，比赛终止；当棋手总分为300时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛棋
1 1 1
手胜、平、负的概率分别为 、 、 ，且各局比赛相互独立.
4 4 2
(1)求两局后比赛终止的概率；
(2)在3局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率；
(3)在挑战过程中，棋手每胜1局，获奖5千元．记nn≥10
局后比赛终止且棋手获奖1万
元的概率为Pn
，求Pn
的最大值．
18. 正方体ABCD-A B C D 的棱长为4，E、F分别为A D ,C B 中点，CG=3GC ．
1 1 1 1 1 1 1 1 1
(1)求证：GF⊥平面FBE；
(2)求平面FBE与平面EBG夹角的余弦值；
(3)求三棱锥D-FBE的体积．19. 已知函数fx =x-1 lnx，
(1)已知函数fx =x-1 lnx的图象与函数gx 的图象关于直线 x=-1对称，试求gx ；
(2)证明fx
≥0；
(3)设x 是fx
0
=x+1的根，则证明：曲线y=lnx在点Ax ,lnx
0 0
处的切线也是曲线y=
ex的切线.
