湖南长郡中学2026届高三暑假作业暨开学模拟检测数学试题（学生版）_2025年8月_250807湖南长郡中学2026届高三上学期暑假作业暨开学模拟检测

2026 届高三暑假作业暨开学模拟检测
数学
(本试卷共4页，时量120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的)
1. 已知函数f(x)=ln(ax+2)在区间(1,2)上单调递减，则实数a的取值范围是 ( )
A. a<0 B. -1≤a<0 C. -1<a<0 D. a≥-1
2. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号
为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 ( )
A. 12种 B. 18种 C. 36种 D. 54种
3. 已知直线l :ax+(a+2)y+2=0与l :x+ay+1=0平行，则实数a的值为
1 2
A. -1或2 B. 0或2 C. 2 D. -1
4. 已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E，F分别在边AD，BC上，且AE=1，BF=3，
如图所示，沿EF将四边形AEFB翻折成AEFB，设二面角B-EF-D的大小为α，在翻
折过程中，当二面角B-CD-E取得最大角，此时sinα的值为 ( )
3 4 2 2 1
A. B. C. D.
5 5 3 3
5. 已知实数a，b∈(1，+∞)，且2a+b  =e2a+2lnb+1，e为自然对数的底数，则 ( )
A. 1<b<a B. a<b<2a C. 2a<b<ea D. ea<b<e2a
6. 若a=log 3，b=log 6，c=log 3，则 ( )
2 4 6
A. a=b=c B. a<b<c C. b<c<a D. c<b<a
7. 已知等差数列a
n
 的前n项和为S ，对任意n∈N*，“数列S
n n
 为递增数列”是“数列a
n

为递增数列”的 ( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知四面体ABCD的顶点均在半径为 5的同一球面上，且AB=2CD=4，则该四面体体
积的最大值为 ( )
A. 2 2 B. 3 C. 4 D. 3 2
二、选择题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，
有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9. 过点P(2，2)作圆C：(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)的两条切线，切点分别为A，B，下列结
论正确的是 ( )
A. 0<r<2 2 B. 若△PAB为直角三角形，则r=4
C. △PAB外接圆的方程为x2+y2=4 D. 直线AB的方程为4x+4y+16-r2=0
10. 已知曲线C:sin(x+2y)=2x-y，Px ,y
0 0
 为曲线C上任一点，则下列说法中正确的有
( )
A. 曲线C与直线y=x+1恰有四个公共点
B. 曲线C与直线y=2x-1相切
C. y 是关于x 的函数
0 0
D. x 是关于y 的函数
0 0
11. 已知曲线C:x-2 x+y2=0，下列结论正确的是 ( )
A. 曲线C关于直线x=1对称
B. 曲线C上恰好有4个整点(即横，纵坐标均是整数的点)
C. 曲线C上存在一点P，使得P到点(1,0)的距离小于1
D. 曲线C所围成区域的面积大于4
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 已知5x2y2+y4=1(x,y∈R)，则x2+y2的最小值是 ．
13. 写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程 ．
14. 若实数x，y满足(x+ x2+4)(y+ y2+4)=4，则x2+2y的最小值为 ．四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
1
15. 已知函数f(x)=lnx+λ -x
x
 (λ∈R).
(1)当x>1时，不等式fx

<0恒成立，求λ的最小值；
1
(2)设数列a = n∈N*
n n

a
，其前n项和为S ，证明：S -S + n >ln2.
n 2n n 4
16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC⎳AD，AB
⊥AD，AD=2AB=2BC=2，PC= 2，E,F分别为PD,BE的中点.
(1)证明：P,A,C,F四点共面；
(2)求直线DF与平面PAC所成角的正弦值.17. 某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为
200，每局比赛，棋手胜加100分；平局不得分；棋手负减100分．当棋手总分为0时，挑战失
败，比赛终止；当棋手总分为300时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛棋
1 1 1
手胜、平、负的概率分别为 、 、 ，且各局比赛相互独立.
4 4 2
(1)求两局后比赛终止的概率；
(2)在3局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率；
(3)在挑战过程中，棋手每胜1局，获奖5千元．记nn≥10

局后比赛终止且棋手获奖1万
元的概率为Pn

，求Pn

的最大值．
18. 正方体ABCD-A B C D 的棱长为4，E、F分别为A D ,C B 中点，CG=3GC ．
1 1 1 1 1 1 1 1 1
(1)求证：GF⊥平面FBE；
(2)求平面FBE与平面EBG夹角的余弦值；
(3)求三棱锥D-FBE的体积．19. 已知函数fx  =x-1  lnx，
(1)已知函数fx  =x-1  lnx的图象与函数gx  的图象关于直线 x=-1对称，试求gx  ；
(2)证明fx

≥0；
(3)设x 是fx
0
 =x+1的根，则证明：曲线y=lnx在点Ax ,lnx
0 0
 处的切线也是曲线y=
ex的切线.