文档内容
西南名校联盟2025届“3+3+3”高考备考诊断性联考(二)
数学试卷
注意事项：
1 .答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答
题卡上填写清楚.
2 .每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3 .考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项符合题目要求)
1 .已知复数z满足(z-l)i=z+2, Mz=
2 .已知tana, ta啖分别为，+6%+3 = 0两个实根，则tan(a+0) =
3
A. 1 B. 2 C. 3 * D.--
2
3,设在△ABC中，点。为8c边上一点，且元=2彷，点E为4c边上的中点.若万=雁，
正二明则丽二
3 3 3
A. n--m B. n-2m C. n+—m D. -n—2m
2 2 2
4 .某班从5名同学中选3名同学分别参加数学、物理和化学知识竞答，已知甲同学不能
参加物理和化学知识竞答，其他同学都能参加这三科知识竞答，则不同的安排有
A. 42 种 B. 36 种 C. 6 种 D. 12 种
5 .已知“p：
吃
4<4'是>： y=%+心与父=/匚7表示的曲线有两个不同交点”的
()条件.
A.必要不充分条件 B,充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6 .四棱锥P-ABC。的底面是边长为2的正方形，且 PA = PB=PC=PD =后,设该四棱锥
的外接球球心与内切球球心分别为。1,。2,则。1。2的长为
A.O B.g C,与 D.当
6 3 2
数学•第1页(共4页)7.莫比乌斯(Mobius)环是殿具有代表性的单侧曲面之一，它由德国数学家奥比乌斯于
1858年发现.就是把一根纸条扭转180。后，两头再粘接起来做成的纸带圈.现将一个
长为30cm、宽为4cm的矩形纸条粘合两端(粘合两端重叠部分忽略不计)，形成一个
莫比乌斯环，如图1:
图1
下列关于莫比乌斯环说法正确的是
A. 一只小虫在不跨过它的边缘情况下沿着表面至少走30cm才能回到原处
B.如果把它沿中线剪开(如图白色线的部分)，曲面被分成独立的两部分
C.如果把它沿中线剪开(如图白色线的部分)，最终得到图形的周长为120cm
D. 一只小虫在不跨过它的边缘情况下不能爬遍整个曲面
8.函数f(%)=sin(g+但)(侬>0且”R)在借，用上单调，且彳五3=0,若
./(%)在(茅，司上恰有2个零点，则/的取值最准确的范围是
人「27 63\ 八 /9 9] 八 /9 18] /9 181
4[1?1 B.《，才 C.(?, y] D.(不7]
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项
中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.下列说法正确的是
A. 一组样本数据％1，%2，…，4n的平均数等于%l + l,化2+I,…，稣+1的平均数
B,样本数据1, 1, 1, 0, 2的标准差大于方差
C.若随机变量§服从二项分布-1),则D(g)=2
D.若随机变量/服从正态分布？~7V(2, a2),且P«N4)=0.21,则P">0)=0.79
10 .函数,=/(%)满足式”+D =学斗，且/(4-4)=叭％),/(1)>0,下列说法正确的有
LJ\X)
A. 7=4为f(%)的一个周期 为奇函数
C. /(1)=1 D. /(2)=0
11 .设函数/(4)=8%4-阮2+%则
A.若6 = 0,则%=0为八④)的唯一的极小值点
B.函数/(%)不一定有最小值
C.若方程/(%)-狂0恰有3个实数根，贝IJ公c
D.若在%1]恒成立，则 6+c = 8
数学•第2更(共4嵬)三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12 .已知双曲线马-5=1(。>0, 〃>0)的左、右焦点分别为用，B,点4 点B是双曲线上两
a2 a
点，点c是夕轴上一点，。为坐标原点若四边形4。比是正方形，且|OCI = IKBI,
则双曲线的离心率e为_________•
13 .数列的前n项和为S”，满足5*/武+九，an>0,则5Hx)=•
14 . f(x)= (x-a)3[lru;+a(x-l) ] >0,则。的取值为.
Va;>0,
四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15 .(本小题满分13分)
在△4BC中，内角A, B, C所对的边分别为。，b, c,且有6sin(A-3-asinAcosC-
csinAcosA = 0.
(1)求角A
(2)若△4BC的面积为4冷，a = 2冷，求△ ABC的周长.
16 .(本小题满分15分)
已知函数 f(%)=lnx+beT.
(1)当收0时,求证：f(%)最大值小于-2；
(2)若/(%)有两个零点，求实数上的取值范围.
17 .(本小题满分15分)
中心。在原点，左、右焦点分别为K,尸2的椭圆的离心率0=乎，椭圆上的动点P
(不与顶点重合)，满足当乙V/% = 90。时，P到左焦点K的距离为3.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当IPK ।的最大值小于5时，过点P作椭圆的切线，与％轴交于Q,与y轴交于
R,求S40QR的最小值.
数学•第3页(共4页)18 .(本小题满分17分)
一只猫和一只老鼠在两个房间内游走.每经过1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次
移动.猫从当前房间移动到另一房间的概率为0.6,留在该房间的概率为0.4；若上
一分钟猫和老鼠都在一个房间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老
鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0. 5.已知在第0分钟时,
猫在0号房间，老鼠在1号房间.设在第n分钟时，猫和老鼠在0号房间的概率分别
为 Pn，Qn,
(1)求第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率；
r I 5 41
(2)求证：1%-不均为等比数列；
(3)在第几分钟时，老鼠在0号房间的概率最大？
19 .(本小题满分17分)
如图2,半径为2的半球面。底面设为四”是半球面。的直径，点C在半球面上,
HT _
且乙40c=义，平面43CJ.平面仪过点C的平面0与半球面。相交形成圆S, CD
为
O
qr
圆S的一条直径，且O在平面ABC上.且平面a与夕的夹角为彳，点C,。均在平面
覆的同侧，记 an0=Z, CDC\AB=T.
(1)求证：ODJ■平面a ;
(2)点P在圆S上，设Z.CSPY,册［0, 2口］.且PQ〃QD, Q在平面覆上•
(i)用。表示PQ的长；
(ii)当。Q与平面ABC所成角最大时，求cos"
数学•第4页(共4页)西南名校联盟2025届"3+3+3〃高考备考诊断性联考（二）
数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C D B A B C B
【解析】
-2- i -1 -3i - -l + 3i ,,,
1 . (z - l)i = z + 2 => z(l - i) = -2 -i => r - --—=: 一-—» 故选 C・
jtaiia + tan^=-6, tana + tan// , 西业厂
2 . => tan(a + fl) =----------------= 3 , 故选 C.
tan a tan 夕=3 1 - (an a tiin p
3 . DC — AC — AD — n — nt» 且易得 5d 2DC ~ 2（/t — /w） > KJ BE = BC + CE = 2（w- nt） - -^-/t =
^n-2m .故选 D.
4 .因为甲同学不能参加物埋和化学知识竞答，所以分两种情况讨论.情况一：甲不参加，
A：=24种安排方法.情况二：甲参加，用只能参加数学竞赛，A；=12种安排方法.所以
总的安排方法有24+12=36种，故选B.
5 .y=«方化简为％2+,=*/0）表示的曲线为工轴上方的半个圆，结合图象发现相切时
k =五,过点（-1, 0）时，k = 1,所以丁 =》+ 〃与旷=x/T^P"表示的曲线有两个不同交点
时，1Sk<6 ,故选A.
6 .设底面ABCD的中心为O,根据对称性不难知4 , 02都在线段PO
上.如图I,易知40 = & ,故P0 = Jp42-402 =百，设。014,
则4a = 在Ajoa 中，62+d：=（石-4）2,解得
d, = — .设力。和BC的中点分别为E, F,则易知为等边
6
三角形，&恰好为尸的中心，故0。2二左，因此。。2 =。。2-001二器，故选B.
7 . 一只小虫在不跨过它的边缘情况下沿着表面至少走完中间白色线一圈才能回到原处，白色
线的长为矩形条长的2倍，所以A不正确，D不正确；若沿着中线剪开（如图白色线的部
数学参考答案.第1页（共12页）分)，曲面变成一个更大的莫比乌斯环，且周长为原来的2倍，原来的周长为60厘米，所
以C对，R错误，故选C.
8 .因为哈］+ /伶卜0,且/(X)在信,周上单调，^<|0.4,故B选项正确；二项分布的方差计算公式为
2 1
7)(4) =叩(1-p),故pC)二9x：x3二2 , C选项正确；根据正态分布图象的对称性
P《24)=PC4)) = 0.21 , 13jtt >0) = 1 - = 0.79 ,故 D 选项正确,故选 BCD.
10.方法一：/(= + 2) = -1=/4+4) = /(二),所以的周期为
f(x)
7 = 4, /(4-a) = -/«=> /(t) = -/(x),所 以 /(、)为奇 函数，所以
/(I) = 一/⑶={)n /(I) = 1 ,如果 /(2)有意义，则 /⑵=一/(2) n /(2) = 0 n /(2)=
⑴二>/(1) = 一| 矛盾，故选 ABC.
1-7(1)
方法二：代模型，不妨取.〃幻=1驮］：］满足条件，发现ABC满足要求，故选ABC.
数学参考答案.第2页(共12页)11.当方=0时，/口) = 32/，那么/*)在(-3, 0)上单调递减，在(0, 4oc)上单调递增，故x = 0
为/。)的极小值点，故A选项正确：当640时，/(X)在(-如0)上单调递减，在(0, +oo)
上单调递增，目xf to与xf loo时，均有则/(x)在产0处有最小值,而
当b>o时，/⑴在-以-乎］上单调递减，在-乎，o上单调递增，在［，/］上
单调递减，在 4，+°°上单调递增，且X -8与X f+8 口寸，均有/(工)-> +为，则/(X)
在"土迈处有最小值，故B选项错误；方程/a)-A=O恰有3个实数根，等价于直线
4
歹=火的图象与y = /(x)的图象有3个交点，显然此时〃>0,皎前面讨论知，此口寸A=c,
因此C选项正确；注意到/(K)是偶函数，故只需xw［O, 1］对，［八%)| W1恒成立.①当6W0
名));:工，显然不存在
时，f(x)在［0, 1］上单调递增，要使得.只需
这样的人c;②与6216时，〃x)在n1J上单调递减，要使得|/(')/&，只需
〃O) = c〈L
显然也不孕彩这样的6, c；③当0|O3|=®nB(c,c),所以点8为通径
端点,贝U L / 一/一次'=0= / 一” 1= One =心里.
a 2
S,=；a；+ 〃⑴，
13. 相减得到：(4 - 2/==可-6I = 2或q+ a„.x =2(〃 河，
Si=/3+”KG2)⑵，
乂4=2,。” >0,所以M 一。"_| = 2(〃22)时，Sl00 = 10100 .
14 .分析 /(.v) = (x - a)3［ln a + a(x -1)］^0 » 说明 0, /与［lnx + G(x-1)］同号，又
)，=(内一［)3与)，=彳一4同号，所以等价于 \7.v>0, y= (x-a)与y = lnx + G(x-l)同
号.令g(') = Inx+a(x-1) = g'(.r) = 1+〃 r 讨论：当 a20时.g'(x) =，+ a >Ong(x)单
X X
增,且g⑴=0 ,结合y = 3। =g(x)的图象彳导到a = l ；当。<0时，
y — g(x)在(o,—)上单增，任| —, +co | 上单减，g1—J = -ln(-a)-1 — 〃，利用导数,
画出y = g(x)图象，罗理不可能有这样的a成立，综述。=1.
四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15 .(本小题满分13分)
解：(1)在△/1，。中，由止弦定理，有
sinBsin(力- = sin/(sin4cosC 4-cos/lsinC),
也即 sin /?sin^,4-y^ = sin Nsin(/f+ C),
/?g (0, k),因此有=sin4 ,
从而.4一1=71-力，解得/= = . ..................................................... (6分)
3 3
数学参考答案•第4页(共12页)(2)由余弦定理，得 12 = /+。2-2从cos12()o = S + c)2-Ac ,
又=；6csinl200 = 46, .................................................. (9 分)
所以△/8C的周长为2" + 2百. .......................（13分）
16.（本小题满分15分）
解：（1） /（x） = lnx - e"n/'（x）= ।-e",
x
....................................................（1 分）
易知/'（X）在（0, +8）上单调递减，
在 XT+M /'（x）＜0, x-＞0, /'（x）＞ 0=存在唯一的点 X, ,用 / （%） = 0 ,
所以y=/（x）在（0, %）上单调递增，在（知+8）上毕调:电减，
................................................（5 分）
则 /（X）max = /（/） = In / - e% ,其中 M 满足 e " = "!"，则 In x0 = -x0,
X。
....................................................（6 分）
所以/（X）mG=/（/）= J-L W-2 （"二”成立的条件为比=1,事实上与日），
“0 ）
所以/（X）*＜—2. .................................................. （7分）
（2）方法一：直接法
八K）=1_ei,易知/'&）在（0, +8）上单调递减，
x
当 XfO 时，/'（x）＞0, Kf+oo 时，/'（x）＜0,
所以存在唯•的士使得,区）=0,
且/（＞）在（0, X）上单调递增，在（孙+8）上单调递减，
所以/（从吹=/（为）， ........................... （9分）
由于x -＞ 0时，J\x） ＜0, x-＞ +oc 时，/（x）＜0 ,
数学参考答案•第5页（共12页）因为〃x)有两个零点，则必须有/(内)>0,
即 lnX1+A-c'f >0,其中c”“=L,
而
所以/*(*) =21nX［+*-'>0 , ................................................. (13 分)
令。(x) = 21nK + x-L
X
易知献k)在(0, +8)上单调递增，且方(l) = 0 = /a)>0 = M>l ,
又［=苞+lnXi，当*>1 时，k>\.
....................................................(15 分)
方法二：同构
/(x)有两个零点U>lnx = e" * - A有两个实数根
。lnx + x = ei +K-&有两个实数根o Inx +a +lne""有两个实数根，
々A(x) = lnx + xnA：(x) = A(eT),
又因为无&)单调递增，所以*三有两个实数根，
等价丁• lnx = x-A有两个受数根，等价于y = x- Inx^ = k有两个交点，
令T(x) = x-lnxn尸(x)=±r=>T(x)在［0, 1)上单调递减，在(1, +刈上单调递增
x
=>A>r(i)=i.
方法三：注意到歹=尸"与y = lnx + %互为反函数，
所以lnx = c'“-A的实数根个数等于y = c'"与y = lnx + *交点个数，
由于y = 与y=lnx + A图象关于y = x对称，
所以等价于y = x与y = lnx+4右两个交点，
下面同方法二，得到4>1.
数学参考答案•第6页(共12页)17.（本小题满分15分）
加
渐：（1） PF. 2a-3^ （2a -3）2 + 9 4c? = e ~ 2 或都.
2a 4
.....................................................（5 分）
当 a = 2 时，—+^=1 ；
4 3
当〃 —60寸，—+^-1 . ....................................................... （7 分）
36 27
（2） （i）当尸片的最大值小于5时，椭圆的方程为=+竺=1,设P（x“，％）,
4 3
方法1：
则在产（工0, %）的切线方程为，：旷-盟=Hx-Xo）= y = b+必•小，访0 -,
则切线方程为/： y kx + n,
则联立/： y-kx + n^—+^—= 1» 得到M（3+ 弘》1必出 + 班‘一12 = 0 ,
4 3
由 A = 0n8标-2〃2+3 = 0 =公（8-2芯）+ 4h；+3-2北=0 .
.....................................................（9 分）
因为年• +牛=1 = 8-2片=印；• = （父,
4 3 弋 4
带入上式得至U 64炉炉+小囚% + 9x；=0 => A=-.
8%
所以切线方程为会+攀=1. ............................................... （12分）
4 3
方法2：由极点极线可得在尸（毛，％）的切线方程号+ 竽=1.
方法3：由椭圆的第三定义可得勺・自尸--K，所以切线方程为出+型-1，
cr 4 3
所以。序。｝“喘），
所以S~型“ =—J="+孕■]= ； &+2 区■ 2# （=在£ = 2, 乂： = ?成立）.
1%%1 IWolk4 3 J 4 % / 4
.....................................................（15 分）
数学参考答案•第7页（共12页）18.（本小即满分17分）
（1）解：第。分仲时，猫在0号房间，老鼠在1号房间.
设为第I分钟时，猫在i号房间，名鼠在/号房间的概率,
则£o = 04x05 = 02， /0>| =0 4x0.5 = 0,2 ,
/. 0 = 0 6x0.5 = 0.3 » । = 0.6x0.5 =0.3 .
I > V Ii I
设第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为X,则P（x-1） %|十40=0.5,
所以第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率为。5.
（4分）
（2）证明：易知 p°=l, %=0,且由（1）得 Pi=2，<7）= y .
5 2
当〃21时，猫在第〃分钟时位于0号房间包含2种情形：
①上•分钟仍在。弓房间，继续保持在。号房间的概率为土北
②上•分钟在I号房间，转移到0号房间的概率为TLP“_J,
2 ? c 1
则由全概率公式，〃” =+彳。一0"-1）= ?一 ，
进而外-；=-/1.|一, ...................
（6分）
结合由一!=一乙，故世首项为一L 公比为」的等比数列，
2 10 [ 2 1 10 5
即p" 一5 =（-5一二,注意到当〃=（）时也满足题意，
因此，m）+ .......................................
（8分）
老鼠笫〃分钟在0号房间包含3种情形：
①上一分钟猫和老鼠都在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为（1-PiXl-qi）,
②上一分钟猫在0号房间，老鼠在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为
③上一分钟猫在1号房间，老鼠在0号房间，老鼠转移到0号房间的概率为
%。一区T）X；・
数学参考答案.第8页（共]2页）故由全概率公式，分=(1 - p“.J(i 一％-J+p“_i0%(I - p“-Jx
即 q =1 一吐一%L. ............................................... （12 分）
2 2
要证,为等比数列，即证乜-；中-为等比数列，
而夕=1—生1一/=3_耳」］-”L,
2 2 4 415） 2
.. I 1（ \\ 1 If ...111
故依一彳一工卜三1 __^彳1_了一＞_3 ，结合功_彳_工 _£，
2 6\ 5} 21 2 6\ 5J J 2 6 6
故卜为苜项4,公比为一;的等比数列'
%-沁
1 1＞
-,注意到〃 =0时也满足趣意,
5； =一展 2）
（13 分）
（14 分）
显然% =0不是其服，:但,
①当〃为奇数时, W0,当且仅当〃 =1时取等，故为的坡大值为0；
②当〃为偶数且22时，”2=!-；=.，
当力24时，《1＜（；） =；＜J 故。”最大值为% =，
因此外的最大值为% = ； + !4，
即在第2分钟时，老鼠在0号房间概率最大. ......................... （17分）
数学参考答案.第9页（共12页）19.（木小题满分17分）
（1）证明：。。八月3二屋,
TeABaaj
记力为我 £）8 的中点 \^>WO La^>WO 11 ,
平面Z8CJ.平面a
.....................................................（2 分）
又QSlnnOSl/n/l平面MCn/_L7'。"173nNO73为平面a与夕的夹角为三
6
=> Z TOS = 60。=> NCOS = NDOS= 30° ,
所以。01,4。，
又平面N3C_L平面a,所以。。J■平面a. （5分）
（2）解：（i）方法1：由题意，PQ_L平面a.
如图 2,作 CE_L/O 丁点 E, SF±AO 丁点 F, CG//AO 交 SF「点 G,
CH//EQ 交 PQ 于点 H,
则CE = COsinm=1, S” = S0sin==4,
6 3 2
故SG-SF-CE-g PQ PH+OH - PH+CE 1 + PH ,
由（1）可知，NSCG = /Q78为平面a与平面£所成角的平面角,
即 Z5CG =",
6
延Ksp, gh交丁点了,连接a,则有sc_La, gclci,如图3
因此 77/「—(l-cos6?).
2
3 1
故 pQ=i + p〃 = m-5cose. （10 分）
数学参考答案•第10页（共12页）方法 2：由（1）知道CS = L TC = C0 = 2 ,
ZCSP - OnNSDP ZSPD y ,延长 DP交I于K .如图 4,
A 4 0
在三角形 OS尸中，DP = 2cos巴,PK = DK - DP = -\-2cos J
2 0 2
cos一
2
由于K, Q,。二点共线，
所以在三角形QOK中有型= MLnPQ=2-cos2g. ....................................... （10分）
PO PK 2
（ii）方法1：如图，作QJ_L/10 丁点J,
因为平面,48C-平面a且交线为NO,
因此0/1平面/18C,所以/。n/即为。。与平面/BC所成免M平面角.
当 分当,
cos
且。J=|sin6|, OJ =
则 ZV = A（cose+l）[+ 4 = ^cos^+J-eustf-1
。":黑 总公寝沂
2/皿= 3c “3 .................. ⑴分）
4（1-』）
令/（x） = X £ [—1，I] 9
3x2 +6x + 19
川 ”_ 4 —2x（3/ + 6x +19）-（1 一/）（6口 + 6） -^-44x-6_
八 八） （3f+6x + 19）z （3x2+6x + 19）2 ,
尸=-6/-44彳-6在工£[-1, 1]上单调递减并存在唯一零点x =
。一” 叱-"
故/（刈在-1, 4 ）上单调递增,在（ ,1上单调递减.........（16分）
叱
故当0。与平面所成角最大时，cos。= 卫.
...................................................（17 分）
数学参考答案.第U页（共12页）方法2：以。为坐标原点，/8为x轴，过。平行
于/的直线为y轴，。£＞为工轴建立坐标系，如图5,
则止2, 0, 0）, 8（2, 0,0）, 0（0,0,2）,
*6 0,1）, S - — , 0, - ,0（x,y,O）,
X /
尸（X, y, T-；cos0） , PS = 1, PS LOS
2氐+ 3 + 3cos9 = 0,
过0作0N1H8于N .
则QQ与平面48c所成角为夕= NQONn£W = 4：r ,4, WQ=|y|,
-4\/3x
则mil tan a ; ♦I） V） | tail22 a -------；--------
7777 3,+4）
然= ⑶_ 如 条
£
令 4 ：32 16%.前,
3（广+4） 加旷+41
利用导数，当此时x = x - 3学巨时，tana最大,
8V3
鬲+ 一"
所以此时由（*）8§”_2 3,得到83=4"
3 3
（17 分）
数学参考答案•第12页（共12页）
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