文档内容
第 1 讲 集合
知识点目录
【知识点1】判断自然语言描述内容能否组成集合....................................1
【知识点2】常用数集及其记法....................................................5
【知识点3】集合的确定性、互异性、无序性........................................8
【知识点4】集合的表示方法.....................................................11
【知识点5】集合的相等.........................................................14
【知识点6】子集与真子集.......................................................17
【知识点7】集合的基本运算.....................................................22
知识点1
知识点
【知识点1】判断自然语言描述内容能否组成集合
【知识点的认识】
判断自然语言描述内容能否组成集合是高中数学中集合概念的重要部分．集合是由某种特
定性质确定的对象组成的整体，这些对象称为元素．自然语言描述内容能否组成集合，关
键在于描述内容是否明确、具体．例如，描述“所有小于10的偶数”能组成集合，因为
可以明确确定这些元素为 2，4，6，8．而描述“所有美丽的花”则不能组成集合，因为
“美丽”是主观的，缺乏明确标准．判断时，需要分析描述的内容是否具有唯一性和清晰
性，以确保所有元素均能明确归类到该集合中．
【解题方法点拨】
在解题过程中，判断自然语言描述内容能否组成集合，通常需要以下步骤．首先，仔细阅
读描述内容，确定其标准或特征．其次，检验这些标准是否具体明确，是否能对所有元素
第1页 共26页进行唯一判断．例如，描述“所有3的倍数小于20的数”能组成集合，因为这些元素可以
明确列举为3，6，9，12，15，18．再者，通过反例验证描述内容的标准是否严谨，如描
述“所有高个子的学生”因“高”定义不明确，无法组成集合．最后，综合判断描述内容
是否具备形成集合的条件．
【命题方向】
在高中数学考试中，关于判断自然语言描述内容能否组成集合的命题，常以简单明了的方式
出现．这类题目主要考查学生对集合概念的理解和应用能力．例如，题目可能会给出一段描
述，要求学生判断其能否组成集合并说明理由．题目可能描述“所有小于100的平方数”或
“所有以字母A开头的英语单词”，学生需通过分析描述的明确性和唯一性进行判断．这类
命题旨在培养学生的逻辑思维和严谨性，要求他们在阅读理解和分析推理方面具备一定的能
力．通过这些练习，学生能够更好地掌握集合的基础知识．
典型例题
例1：
例1.（2025秋•南充校级期中）下列选项中，能够构成集合的是（ ）
A．南充高中高2024级个子较高的学生
B．高中数学人教A版必修第一册中的难题
C．关于x的方程x2-1=0的所有实根
D．无限接近于π的所有实数
【答案】C
【分析】根据集合中的元素满足的特征即可求解．
【解答】解：对于A，个子较高，不满足集合元素的确定性，故A错误；
对于B，难题，不满足集合元素的确定性，故B错误；
对于C，x2-1=0的根为x=±1，故集合为{-1，1}，故C正确；
对于D，无限接近于π，不满足集合元素的确定性，故D错误．
故选：C．
例2.（2025秋•西乡塘区期中）下列对象能组成集合的是（ ）
A．非常接近0的数 B．身高很高的人
C．绝对值为5的数 D．著名的数学家
【答案】C
【分析】借助集合中元素的性质逐项判定即可得．
第2页 共26页【解答】解：由集合中元素的确定性可知，A、B、D选项中的对象都不能组成集合，
故A、B、D错误；
对于C：绝对值为5的数有5或-5，符合集合的概念，故C正确．
故选：C．
跟踪训练
【跟踪训练1】（2025秋•于都县校级月考）下列叙述能够组成集合的是（ ）
A．我校所有体质好的同学
B．我校所有800米达标的女生
C．全国所有优秀的运动员
D．全国所有环境优美的城市
【答案】B
【分析】根据集合元素的确定性，逐一分析可得答案．
【解答】解：A中，我校所有体质好的同学不具有确定性，不能构造集合；
B中，我校所有800米达标的女生具有确定性，能构造集合；
C中，全国所有优秀的运动员不具有确定性，不能构造集合；
D中，全国所有环境优美的城市不具有确定性，不能构造集合；
故选：B．
【跟踪训练2】（2025秋•北碚区校级月考）下列说法中正确的是（ ）
A．联合国所有常任理事国（共5个）组成一个集合
B．朝阳中学年龄较小的学生组成一个集合
C．{1，2，3}与{2，1，3}是不同的集合
D．由1，0，5，1，2，5组成的集合有六个元素
【答案】A
【分析】根据集合元素的确定性、互异性和无序性判断即可．
【解答】解：对于选项A，联合国所有常任理事国共5个，即：中国，美国，俄国，英国，法
国，可以组成集合，故选项A正确；
对于选项B，“年龄较小”的标准不明确，无法确定集合的元素，故选项B错误；
对于选项C，集合的元素满足无序性，{1，2，3}与{2，1，3}是相同集合，故选项C错误；
对于选项D，集合的元素满足互异性，由1，0，5，1，2，5可组成的集合{0，1，2，5}，且
第3页 共26页有4个元素，故选项D错误．
故选：A．
【跟踪训练3】（2024秋•嘉定区校级月考）下列各对象的全体不能构成集合的有 ______．
（填序号）
①上大嘉高高一年级全体学生；
②与1非常接近的全体实数；
③7的正整数倍的全体；
④给定的一条长度为1的线段上的所有点．
【答案】②．
【分析】根据集合的概念判断即可．
【解答】解：因为②所表示的研究对象不能确定，所以不能构成集合，
而①③④研究对象确定符合集合的概念．
故答案为：②．
【跟踪训练4】（2025秋•浦东新区期末）请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横
线上 ______．
①上海市2022年入学的全体高一年级新生；
②在平面直角坐标系中，到定点（0，0）的距离等于1的所有点；
③影响力比较大的中国数学家；
④不等式3x-10＜0的所有正整数解．
【答案】①②④．
【分析】根据已知条件，结合集合的含义，即可求解．
【解答】解：①上海市2022年入学的全体高一年级新生，符合集合的定义，故①正确，
②在平面直角坐标系中，到定点（0，0）的距离等于1的所有点，符合集合的定义，故②正
确，
③影响力比较大的中国数学家，不符合集合的确定性，故③错误，
④不等式3x-10＜0的所有正整数解，即原不等式的集合为{1，2，3}，符合集合的定义，故
④正确．
故答案为：①②④．
第4页 共26页知识点2
知识点
【知识点2】常用数集及其记法
【知识点的认识】
数学中一些常用的数集及其记法
全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作
N；
全体正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N+；
全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；
全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；
全体实数组成的集合称为实数集，记为R．
【解题方法点拨】
熟练掌握几个常见数集的符号与含义，能判断给出的数是否属于这些数集．
典型例题
例1：
1
例1.（2024秋•双清区校级期末）给出下列关系：① ∈R；②√2∉R；③|-3|∈N；④
2
|-√3|∈Q．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据给定信息，利用元素与集合的关系判断作答．
1
【解答】解：显然 ，√2都是实数，①正确，②错误；
2
|-3|=3是自然数，③正确；|-√3|=√3是无理数，不是有理数，④错误，
所以正确的个数为2．
故选：B．
例2.（2024•包河区校级学业考试）下列元素与集合的关系中，正确的是（ ）
1
A．-3∈N* B．√5∈R C． ∈Z D．0∉N
2
【答案】B
【分析】根据元素与集合的关系依次判断选项即得．
【解答】解：选项A，因-3不是正整数，故A错误；
第5页 共26页选项B，√5是无理数，故必是实数，故B正确；
1
选项C， 是分数，故不是整数，故C错误；
2
选项D，0是自然数，故D错误．
故选：B．
跟踪训练
【跟踪训练1】（2025秋•武威月考）下列关系正确的是（ ）
5
A．0∈N* B． ∈Z C．-√2∈Q D．-7.8∈R
2
【答案】D
【分析】根据选项中大写字母代表的数集，结合元素与集合的属于关系逐一判断即可．
【解答】解：对于A，因为0不是正整数，所以0∉N*，故A错误；
5 5
对于B，因为 不是整数，所以 ∉Z，故B错误；
2 2
对于C，因为-√2不是有理数，所以-√2∉Q，故C错误；
对于D，因为-7.8是实数，所以-7.8∈R，故D正确．
故选：D．
【跟踪训练2】（2025秋•海陵区校级月考）设有下列关系：①√2∈R；②4∈Q；③0∈N；
④0∈{0，1}．其中正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】根据元素与集合的关系以及数集的分类可解．
【解答】解：①√2∈R，故①正确；
②4∈Q，故②正确；
③0∈N，故③正确；
④0∈{0，1}，故④正确．
故选：A．
【跟踪训练3】（2025春•武威月考）用符号“∈”或“∉”填空：√5 ______N，√16
第6页 共26页______N．
【答案】∉，∈．
【分析】根据元素和集合的关系求解即可．
【解答】解：因为集合N代表自然数集（非负整数集），
所以√5∉N，√16=4∈N，
故答案为：∉，∈．
【跟踪训练4】（2025秋•虹口区校级期中）在下列表达式中，①0∉N；②∅⊂{0}；③π∈Q；
④{1}∈{0，1}，其中正确的为 ______（填写所有正确的序号）．
【答案】②．
【分析】根据集合的概念与表示、集合的包含关系和元素与集合的关系，对各项逐一判断，
即可得到本题的答案．
【解答】解：根据题意，因为0是自然数，所以①0∉N错误；
因为空集是任何非空集合的真子集，故②∅⊂{0}正确；
因为π不是有理数，所以③π∈Q错误；
因为{1}⊂{0，1}，所以④{1}∈{0，1}错误．
综上所述，其中的真命题是②．
故答案为：②．
知识点3
知识点
【知识点3】集合的确定性、互异性、无序性
【知识点的认识】
集合中元素具有确定性、互异性、无序性三大特征．
（1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的
元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可，例如“著名科学家”，“与2接近
的数”等都不能组成一个集合．
（2）互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元
素．例如不能写成{1，1，2}，应写成{1，2}．
（3）无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序．例如{1，2，3}与{3，2，1}是
相同的集合，也是相等的两个集合．
第7页 共26页【解题方法点拨】
解答判断型题目，注意元素必须满足三个特性；一般利用分类讨论逐一研究，转化为函数
与方程的思想，解答问题，结果需要回代验证，元素不许重复．
【命题方向】
本部分内容属于了解性内容，但是近几年高考中基本考查选择题或填空题，试题多以集
合相等，含参数的集合的讨论为主．
典型例题
例1：
例1.（2025•青山湖区校级模拟）8月20日《黑传说悟空》风靡全球，下列几组对象可以构
成集合的是（ ）
A．游戏中会变身的妖怪
B．游戏中长的高的妖怪
C．游戏中能力强的妖怪
D．游戏中击败后给奖励多的妖怪
【答案】A
【分析】根据集合的确定性依次判断选项即可．
【解答】解：对A：游戏中会变身的妖怪可以构成集合，故A正确；
对B、C、D：不满足集合的确定性，故不能构成集合，故B、C、D错误．
故选：A．
例2.（2024秋•安康期末）有4根火柴棒的长度可以构成一个四元数集，将这4根火柴棒首
尾相接连成一个平面四边形，则这个平面四边形可能是（ ）
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
【答案】A
【分析】根据集合中元素的互异性，可得四个元素互不相等，结合选项，即可求解．
【解答】解：根据题意，4根火柴棒的长度可以构成一个四元数集，则4根火柴棒的长度互不
相等，
依次分析选项：
对于A，梯形的四条边长度可以互不相等，符合题意；
对于B，矩形的对边相等，不能由这4根火柴棒首尾相接连成，不符合题意；
对于C，菱形的四条边都相等，不能由这4根火柴棒首尾相接连成，不符合题意；
对于D，等腰梯形的腰相等，不能由这4根火柴棒首尾相接连成，不符合题意．
第8页 共26页故选：A．
跟踪训练
【跟踪训练1】（2024秋•颍上县校级期末）下列说法中正确的是（ ）
A．1与{1}表示同一个集合
B．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}
C．方程（x-1）2（x-2）=0的所有解的集合可表示为{1，1，2}
D．集合{x|4＜x＜5}可以用列举法表示
【答案】B
【分析】根据集合的相关概念以及表示方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断选择．
【解答】解：1不能表示一个集合，故A错误；
因为集合中的元素具有无序性，故B正确；
因为集合的元素具有互异性，而{1，1，2}中有相同的元素，故C错误；
因为集合{x|4＜x＜5}中有无数个元素，无法用列举法表示，故D错误．
故选：B．
【跟踪训练2】（2025秋•浦东新区校级期中）若集合A={x|（a2-1）x=a-1}，则不论实数a
取何值，集合A不可能是（ ）
A．R B．∅ C．{0} D．{1}
【答案】C
【分析】讨论参数a,结合集合的描述判断可能对应的集合．
【解答】解：当a=1时，有a-1=0，此时A=R；
当a=-1时，有a2-1=0，而a-1=-2，此时A=∅；
1 1
当a≠±1时，A= ，显然a=0，有A={1}，但 ≠0，即集合A不可能是{0}．
a+1 a+1
故选：C．
【跟踪训练3】（2025秋•莎车县期中）若一个集合中的三个元素a,b,c是△ABC的三边长，
则此三角形一定不是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】D
【分析】根据集合的互异性可知a≠b≠c,进而可判定三角形不可能是等腰三角形．
第9页 共26页【解答】解：根据集合的性质可知，
a≠b≠c
∴△ABC一定不是等腰三角形．
故选：D．
【跟踪训练4】（2025秋•水城区月考）若4∈{a,a2-12}，则a= ______．
【答案】-4．
【分析】利用元素与集合的关系和集合中元素的互异性求解．
【解答】解：若4∈{a,a2-12}，
则a=4或a2-12=4，
解得a=4或a=-4，
当a=4时，a2-12=4，不满足元素的互异性，舍去，
当a=-4时，集合为{-4，4}，符合题意，
综上所述，a=-4．
故答案为：-4．
【跟踪训练5】（2025秋•杨浦区校级期中）已知集合M={-1，3a-1}，则实数a的取值范围为
______．
【答案】{a|a≠0}．
【分析】根据元素的性质求解．
【解答】解：由元素的互异性可知，3a-1≠-1，
所以a≠0，
即实数a的取值范围为{a|a≠0}．
故答案为：{a|a≠0}．
知识点4
知识点
【知识点4】集合的表示方法
列举法表示集合
第10页 共26页【知识点的认识】把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的
方法叫做列举法．
【解题方法点拨】把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来即可．
描述法表示集合
【知识点的认识】一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P（x）的
元素x所组成的集合表示为{x|P（x）}，这种表示集合的方法称为描述法．
【解题方法点拨】明确描述对象：要清楚集合中包含的元素以及不包含的元素．理解描述
条件：描述条件要准确、简洁，通常用文字或符号来表示集合中的元素特征．统一标准：
确保描述的方法能够唯一确定一个集合，避免模糊或歧义的描述．
区间法
【知识点的认识】设a＜b，①开区间：{x|a＜x＜b}=（a，b）
②闭区间：{x|a≤x≤b}=[a，b]
③半开半闭区间：{x|a＜x≤b}=（a，b]{x|a≤x＜b}=[a，b）
正无穷：在实数范围内，表示某一大于零的有理数或无理数数值无限大的一种方式，没
有具体数字，但是正无穷表示比任何一个数字都大的数值． 符号为+∞． 数轴上可表示为向
右箭头无限远的点．
负无穷：某一负数值表示无限小的一种方式，没有具体数字，但是负无穷表示比任何一
个数字都小的数值． 符号为-∞．
{ x|a≤x }=[a，+∞）
{ x|a＜x }=（ a，+∞）
{ x|x≤a }=（-∞，a]
{ x|x＜a }=（-∞，a ）
{ x|x∈R }=（-∞，+∞）
【解题方法点拨】通常情况下，解答不等式，函数的单调性的问题利用单调性的定义，或者
函数的导数等知识，注意函数的定义域，变量的取值范围，集合一般利用区间表示，函数的
单调性多个区间时，区间之间必须用“，”分开；不能利用并集符号连接．解题时注意区间
的端点的数值的应用．
【命题方向】区间上的最值，函数的单调性，函数的导数在闭区间上的最值，恒成立等知识
有关问题，高考常考题目．
典型例题
第11页 共26页例1：
例1.（2024秋•新泰市校级期末）集合{x∈N*|x-3＜2}的另一种表示法是（ ）
A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4}
C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5}
【答案】B
【分析】集合{x∈N+|x-3＜2}是用描述法来表示的，用另一种方法来表示就是用列举法，看
出描述法所表示的数字，在集合中列举出元素．
【解答】解：∵集合{x∈N+|x-3＜2}是用描述法来表示的，用另一种方法来表示就是用列举
法，
∵{x∈N+|x-3＜2}={x∈N+|x＜5}={1，2，3，4}
故选：B．
例2.（2024秋•玉溪期末）已知集合A={x|5x2+4x=0}，则集合A=（ ）
4 4 4
A．{0} B．- C．0，- D．0，
5 5 5
【答案】C
【分析】解一元二次方程，即可求出集合A．
【解答】解：由5x2+4x=0，得x（5x+4）=0，
4
解得x =0，x =- ，
1 2 5
4
故A=0，- ．
5
故选：C．
跟踪训练
【跟踪训练1】（2025春•唐县校级期中）集合{x∈N |x-2≤1}用列举法表示为（ ）
+
A．{0，1，2，3} B．{1，2，3} C．{0，1，2，3，4} D．{1，2，3，4}
【答案】B
【分析】解不等式x-2≤1可得x≤3，再由x∈N 即可求得结果．
+
【解答】解：易知{x∈N |x-2≤1}={x∈N |x≤3}={1，2，3}．
+ +
故选：B．
第12页 共26页【跟踪训练2】.（2025秋•安溪县期中）已知集合M={1，5，9，13，17}，则M=（ ）
A．{x|x=2n+1，n∈N，n≤8} B．{x|x=2n-1，n∈N，n≤9}
C．{x|x=4n+1，n∈N，n≤4} D．{x|x=4n-3，n∈N，n≤5}
【答案】C
【分析】根据集合中元素的特点用描述法表示即可．
【解答】解：由题意可知，集合M={1，5，9，13，17}，
则集合M中5个元素都是被4整除余1的正整数，即x=1+4n,且n∈N，n≤4，
所以{x|x=4n+1，n∈N，n≤4}．
故选：C．
【跟踪训练3】（2025•黄浦区校级开学）用列举法表示集合{x|-2≤x≤2，x∈N}= ______．
【答案】{0，1，2}．
【分析】利用列举法的定义求解．
【解答】解：用列举法表示集合{x|-2≤x≤2，x∈N}={0，1，2}．
故答案为：{0，1，2}．
【跟踪训练4】（2025秋•普陀区校级期中）能被3整除余2的自然数组成的集合可以用描述
法表示为 ______．
【答案】{x|x=3k+2，k∈N}．
【分析】根据被3整除余2的自然数为3k+2，k∈N，结合集合的表示方法，即可求解．
【解答】解：由题意，被3除余2的自然数组成的集合为{x|x=3k+2，k∈N}．
故答案为：{x|x=3k+2，k∈N}．
【跟踪训练5】（2025秋•牡丹区校级期中）已知集合A={x|x（x-1）（x+1）=0}，则A=
______．
【答案】{-1，0，1}．
【分析】根据集合描述，应用列举法表示集合即可．
【解答】解：由x（x-1）（x+1）=0可得x=0或x=-1或x=1，
所以A={-1，0，1}．
故答案为：{-1，0，1}．
x+ y=0
【跟踪训练1】（2024秋•仁寿县校级期末）方程组{ 的解组成的集合为 ______．
x2-4=0
【答案】{（-2，2），（2，-2）}．
第13页 共26页x+ y=0
【分析】解方程组{ ，能求出结果．
x2-4=0
x+ y=0
【解答】解：方程组{ ，解得x=-2，y=2或x=2，y=-2．
x2-4=0
x+ y=0
∴方程组{ 的解组成的集合{（-2，2），（2，-2）}．
x2-4=0
故答案为：{（-2，2），（2，-2）}．
知识点5
知识点
【知识点5】集合的相等
【知识点的认识】
（1）若集合A与集合B的元素相同，则称集合A等于集合B．
（2）对集合A和集合B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时
集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A=B．就是如果
A⊆B，同时B⊆A，那么就说这两个集合相等，记作 A=B．
【解题方法点拨】
集合A与集合B相等，是指A 的每一个元素都在B 中，而且B中的每一个元素都在A中．
元素一一对应：两个集合相同，需确保每个元素都在两个集合中出现，且没有遗漏．直接
对比：对于简单集合，可以直接对比元素列举是否完全一致．
典型例题
例1：
例1.（2025•石景山区校级开学）已知集合A={x|x=2k,k∈Z}，B={x|x=4m+6n,m,n∈Z}．则（
）
A．A∩B=∅ B．A⫋B C．A=B D．A∪B=Z
【答案】C
【分析】由集合相等的概念，说明B⊆A，同时A⊆B即可；
【解答】解：从B中任取一个元素x=4m+6n=2（2m+3n），一定是偶数，所以B⊆A，
从A中任取一个元素x=2k=4（-k）+6k,x∈B，所以A⊆B，
第14页 共26页所以A=B．
故选：C．
例2.（2025秋•吉林月考）下列集合中，不同于另外三个集合的是（ ）
A．{x|x=2020} B．{y|（y-2020）2=0}
C．{x=2020} D．{2020}
【答案】C
【分析】根据集合的表示方法判断即可．
【解答】解：选项A、B是集合的描述法表示，选项D是集合的列举法表示，且都表示集合中
只有一个元素2020，都是数集，
选项C它是由方程构成的集合，集合是列举法且只含有一个方程．
故选：C．
跟踪训练
【跟踪训练1】（2024春•博湖县期末）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．M={（3，2）}，N={（2，3）}
B．M={2，3}，N={3，2}
C．M={（x,y）|x+y=1}，N={y|x+y=1}
D．M={2，3}，N={（2，3）}
【答案】B
【分析】利用集合的三个性质及其定义，对A、B、C、D四个选项进行一一判断；
【解答】解：A、M={（3，2）}，N={（2，3）}，不是同一集合，故A错误；
B、M={2，3}，N={3，2}根据集合的无序性，集合M，N表示同一集合，故B正确
C、M={（x,y）|x+y=1}，M集合的元素表示点的集合，N={y|x+y=1}，N表示直线x+y=1的纵
坐标，是数集，故不是同一集合，故C错误；
D、M={2，3} 集合M的元素是点（2，3），N={（2，3）}，集合N的元素是点（2，3），故
D错误；
故选：B．
【跟踪训练2】（2024秋•郧阳区校级期末）下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是（
）
A．P是由元素1，√3，π构成的集合，Q是由元素π，1，|-√3|构成的集合
B．P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合
第15页 共26页C．P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对（2，3）构成的集合
D．P是满足不等式-1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2=1的解集
【答案】A
【分析】由于A中P、Q元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合．
【解答】解：由于A中P、Q元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，
而B、C、D中元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．
故选：A．
【跟踪训练3】下列集合中，A={x=2，y=1}，B={2，1}，C={（x,y）|（x-2）2+|y-1|=0}，D=
x+ y=3
（x,y）|{ }，E={（x,y）|x=2且y=1}，F={（x,y）|x=2或y=1}，其中与集合{（2，
x- y=1
1）}相等的集合共有______个．
【分析】根据点集和数集的区别判断即可．
【解答】解：A={x=2，y=1}={1，2}，B={2，1}，
C={（x,y）|（x-2）2+|y-1|=0}={x,y）|（2，1）}，
x+ y=3
D=（x,y）|{ }={（x,y）|（2，1）}，
x- y=1
E={（x,y）|x=2且y=1}={（x,y）|（2，1）}，
F={（x,y）|x=2或y=1}，
其中与集合{（2，1）}相等的集合共有3个，
故答案为：3．
【跟踪训练4】①M={（1，2）}与N={（2，1）}表示同一个集合；
②M={1，2}与N={2，1}表示同一个集合；
③空集是唯一的；
④若M={y|y=x2+1，x∈R}，N={x|x=t2+1，t∈R}，则集合M=N，以上的说法中正确的序号为
______．
【分析】利用集合相等、空集的定义直接求解．
【解答】解：在①中，M={（1，2）}与N={（2，1）}表示不同的两个集合，故①错误；
在②中，M={1，2}与N={2，1}表示同一个集合，故②正确；
在③中，空集是唯一的，故③正确；
在④中，若M={y|y=x2+1，x∈R}，N={x|x=t2+1，t∈R}，则集合M=N，故④正确．
第16页 共26页故答案为：②③④．
知识点6
知识点
【知识点6】子集与真子集
子集的判断与求解
【知识点的认识】
1、子集定义：一般地，对于两个集合 A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的
元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）．
记作：A⊆B（或B⊇A）．
2、真子集是对于子集来说的．
真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A是
集合B的真子集．
也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集，
若 B 中有一个元素，而A 中没有，且A 是 B 的子集，则称 A 是 B 的真子集，
注：①空集是所有集合的子集；
②所有集合都是其本身的子集；
③空集是任何非空集合的真子集
例如：所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集．
所有的自然数的集合是所有整数的集合的真子集．
{1，3}⊂{1，2，3，4}
{1，2，3，4}⊆{1，2，3，4}
【解题方法点拨】
定义子集：A是B的子集，当且仅当A中的每一个元素都在B中．
验证元素：逐个检查A中的元素是否在B中．符号表示：用⊆表示子集关系，若A是B的
子集，记为A⊆B．
【命题方向】
本考点要求理解，高考会考中多以选择题、填空题为主，曾经考查子集个数问题，常常与
第17页 共26页集合的运算，概率，函数的基本性质结合命题．
空集及空集的性质
【知识点的认识】
1、空集的定义：不含任何元素的集合称为空集．记作∅．空集的性质：空集是一切集合的
子集．
2、注意：
空集不是没有；它是内部没有元素的集合，而集合是存在的．这通常是初学者的一个难理
解点．
将集合想象成一个装有其元素的袋子的想法或许会有帮助；
袋子可能是空的，但袋子本身确实是存在的．
例如：{x|x2+1=0，x∈R}=∅．虽然有x的表达式，但方程中根本就没有这样的实数x使得
方程成立，所以方程的解集是空集．
3、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
【解题方法点拨】
解答与空集有关的问题，例如集合A∩B=B⇔B⊆A，实际上包含3种情况：
①B=∅；
②B⊂A且B≠∅；
③B=A；往往遗漏B是∅的情形，所以老师们在讲解这一部分内容或题目时，总是说“空
集优先的原则”，就是首先
考虑空集．
【命题方向】
一般情况下，多与集合的基本运算联合命题，是学生容易疏忽、出错的地方，考查分析
问题解决问题的细心程度，难度不大，可以在选择题、填空题、简答题中出现．
子集的个数
【知识点的认识】
1、子集真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集
合A是集合B的真子集．
也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集，若 B 中
有一个元素，而A 中没有，且A 是 B 的子集，则称 A 是 B 的真子集，
注：①空集是所有集合的子集；
第18页 共26页②所有集合都是其本身的子集；
③空集是任何非空集合的真子集
2、一般来说，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以对于含有 n个（n不等于0）元素
的集合而言，它的子集就有2n个；真子集就有2n-1．但空集属特殊情况，它只有一个子集，
没有真子集．
【解题方法点拨】
公式计算：若一个集合有n个元素，则它的子集个数为2^n．理解幂集：幂集是一个集合的所
有子集组成的集合．
典型例题
例1：
例1.（2023秋•绥宁县校级期末）下列集合中，是集合{1，2}的真子集的是（ ）
A．{1，2} B．∅ C．{∅} D．{1，2，3}
【答案】B
【分析】根据真子集的定义判断即可．
【解答】解：集合{1，2}的真子集是∅，{1}，{2}，
故选：B．
例2.（2025秋•襄城区校级月考）已知集合M={-1，0，1}，N={0，1}，则（ ）
A．M⊆N B．M∩N=∅ C．N⫋M D．M=N
【答案】C
【分析】确定N是M的真子集，得到答案．
【解答】解：集合M={-1，0，1}，N={0，1}，则N是M的真子集，即N⫋M．
故AD错误，C正确，M∩N={0，1}≠∅，B错误．
故选：C．
例3.（2025秋•敖汉旗校级月考）若∅是集合M={x|x2-ax+1=0，a∈R}的真子集，则a的取值
范围是（ ）
A．-2＜a＜2 B．a＜-2或a＞2 C．-2≤a≤2 D．a≤-2或a≥2
【答案】D
【分析】依题意可知方程x2-ax+1=0有实数解，则Δ≥0，即可求解．
【解答】解：因为∅是集合M={x|x2-ax+1=0，a∈R}的真子集，
所以M≠∅，即方程x2-ax+1=0有实数解，
所以Δ=a2-4≥0，
第19页 共26页解得a≤-2或a≥2．
故选：D．
跟踪训练
【跟踪训练1】（2025•武汉模拟）已知集合A={-3，-2，0，2}，B={x|-1＜x＜4}，则A∩B
的子集个数为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【分析】直接求得交集，进而可确定其子集的个数．
【解答】解：由题意，可得A∩B={0，2}，
则A∩B子集的个数为22=4个．
故选：B．
【跟踪训练2】（2025春•北京校级期中）已知集合A={1，2，3，4，5，⋯，2025}的子集B
满足：对任意x,y∈B，有x+y∉B，则集合B中元素个数的最大值是（ ）
A．506 B．507 C．1012 D．1013
【答案】D
【分析】假设B中的最大元素为2025，再将其余元素分组，再结合抽屉原理即可得解．
【解答】解：假设B中的最大元素为2025，
将剩下的元素分成为（1，2024），（2，2023），..，（1012，1013），
则共有1012组，
若B中元素多于1013个，结合抽屉原理可得，
一定有两个数在同一组，两个数的和为2025，
此时与题目条件矛盾．
故B中元素不可能多于1013．
所以当B={1013，1014，1015，⋯，2025}时，
B中元素个数最多有2025-1013+1=1013．
故选：D．
【跟踪训练3】（2025春•徐汇区校级期中）若从两男两女四人中随机选出两人，设两个男生
分别用A，B表示，两个女生分别用C，D表示，相应的样本空间为Ω={AB，AC，AD，BC，BD，
第20页 共26页CD}，则与事件“选出一男一女”对应的样本空间的子集为 ______．
【分析】根据题意选出一男一女，即从A，B中选一个，从C，D中选一个，即可得答案．
【解答】解：由题意可知与事件“选出一男一女”对应的样本空间的子集为{AC，AD，BC，
BD}．
故答案为：{AC，AD，BC，BD}．
【跟踪训练4】（2024秋•仁寿县校级期末）定义集合的商集运算为：
B n k B
=x|x= ，m∈A，n∈B，已知集合A={2，4}，B=x|x= -1，k∈A，则集合 ∪B
A m 2 A
的真子集个数是 ______．
【答案】15．
B B
【分析】求出集合B，利用题中定义可得出集合 ，利用并集的定义可得出集合 ∪B，确
A A
B
定集合 ∪B的元素个数，由此可得出该集合的真子集个数．
A
k
【解答】解：因为A={2，4}，则B=x|x= -1，k∈A=0，1，
2
B n 1 1
又因为 =x|x= ，m∈A，n∈B=0， ， ，
A m 4 2
B 1 1
故 ∪B=0， ， ，1，共4个元素，
A 4 2
B
所以集合 ∪B的真子集个数24-1=15．
A
故答案为：15．
【跟踪训练5】（2025秋•湖北期中）设集合A={x|ax2-（a+1）x+1=0，a∈R}，B={x|x2-
5x+4=0}．
（1）若A∪B=B，求a的取值；
（2）记C=A∪B，若集合C的非空真子集有6个，求实数a的取值范围．
1
【答案】（1）a=0或a=1或a= ；
4
1
（2）a|a≠0且a≠1且a≠ ．
4
第21页 共26页【分析】（1）通过a=0和a≠0两类情况讨论即可；
（2）确定C中元素个数，由（1）即可确定．
【解答】解：（1）ax2-（a+1）x+1=0⇒（ax-1）（x-1）=0；
若a=0，则x=1，此时A={1}；
1 1
若a≠0，则x=1或x= ，当a=1时，A={1}；当a≠0且a≠1时，A=1， ；
a a
又B={1，4}，
1
由若A∪B=B可知A⊆B，有a=0或a=1或a= ；
4
（2）若集合C的非空真子集有6个，则2n-2=6，可得n=3，
即C=A∪B中的元素只有3个，又B={1，4}
1 1
由（1）知，a≠0且a≠1且 ≠4，即a≠0且a≠1且a≠ ，
a 4
1
故实数a的取值所构成的集合为a|a≠0且a≠1且a≠ ．
4
知识点7
知识点
【知识点7】集合的基本运算
求集合的交集
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B={x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算性质：
①A∩B=B∩A．②A∩∅=∅．③A∩A=A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．
【解题方法点拨】
第22页 共26页解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；
求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
求集合的并集
【知识点的认识】
由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B．
符号语言：A∪B={x|x∈A或x∈B}．
A∪B实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．
运算性质：
①A∪B=B∪A．②A∪∅=A．③A∪A=A．④A∪B⊇A，A∪B⊇B．
【解题方法点拨】
定义并集：集合A和集合B的并集是所有属于A或属于B的元素组成的集合，记为A∪B．
元素合并：将A和B的所有元素合并，去重，得到并集．
求集合的补集
【知识点的认识】
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全
集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）．
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合 A相对于全集U
的补集，简称为集合A的补集，记作C
U
A，即C
U
A={x|x∈U，且x∉A}．
【解题方法点拨】
常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法．
通常情况下以小题出现，高考中直接求解补集的选择题，有时出现在简易逻辑中，也可以
与函数的定义域、值域，不等式的解集相结合命题，也可以在恒成立中出现．
典型例题
例1：
例1.（2025•烟台三模）已知集合A={x|-3＜x＜1}，B={x|x2≤3}，则A∪B=（ ）
A．[-√3，1） B．[-√3，√3] C．（-∞，√3] D．（-3，√3]
【答案】D
【分析】结合集合并集的定义，即可求解．
【解答】解：集合A={x|-3＜x＜1}，B={x|x2≤3}=x|-√3≤x≤√3，
第23页 共26页故A∪B=（-3，√3]．
故选：D．
例2.（2025•西城区校级三模）已知集合A={x|x2-x＞0}，B={x|x+1＞0}，那么集合A∩B=（
）
A．（-1，+∞） B．（-1，1）
C．（-1，0）∪（1，+∞） D．（1，+∞）
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
【解答】解：集合A={x|x2-x＞0}={x|x＞1或x＜0}，B={x|x+1＞0}={x|x＞-1}，
故集合A∩B=（-1，0）∪（1，+∞）．
故选：C．
例3.（2025春•汕头校级期中）已知全集U=R，集合A={x||x-1|≤1}，则
∁U
A=（ ）
A．[0，2] B．（2，+∞）
C．（0，2） D．（-∞，0）∪（2，+∞）
【答案】D
【分析】解绝对值不等式求集合，再应用集合的补运算求集合．
【解答】解：集合A={x||x-1|≤1}={x|0≤x≤2}=[0，2]，
则 A=（-∞，0）∪（2，+∞）．
∁U
故选：D．
跟踪训练
【跟踪训练1】（2025•安徽模拟）已知集合A={-1，0，1，2，3，4，5}，B={x||2x-5|＞3}，
则A∩B=（ ）
A．{-1，0，1，4，5} B．{-1，0，5} C．{2，3} D．{5}
【答案】B
【分析】首先求出集合B中的不等式，求出x的范围，然后根据交集的内涵求出A∩B．
【解答】解：集合A={-1，0，1，2，3，4，5}，B={x||2x-5|＞3}=（-∞，1）∪（4，+∞），
则A∩B={-1，0，5}．
故选：B．
【跟踪训练2】（2025•安徽模拟）已知全集U=Z，集合A={x|-5＜x＜2，x∈Z}，B={0，1，2，
第24页 共26页3，4}，则（ A）∪B=（ ）
∁U
A．{x|x≤-5或x≥0，x∈Z} B．{x|x＜-5或x＞0，x∈Z}
C．{x|x≥0，x∈Z} D．{x|x＞0，x∈Z}
【答案】A
【分析】先求出集合A的补集，再利用并集运算求解即可．
【解答】解：由A={x|-5＜x＜2，x∈Z}，得 A={x|x≤-5或x≥2，x∈Z}，
∁U
又B={0，1，2，3，4}，
所以（ A）∪B={x|x≤-5或x≥0，x∈Z}．
∁U
故选：A．
【跟踪训练3】（2025春•靖远县校级月考）已知集合A={x|x≤2}，B={x|x2-2x-3≥0}，
C={x|x＞a}，且A∪（ B）∪C=R，则实数a的取值范围为（ ）
∁R
A．（-1，+∞） B．（-∞，-1] C．（-∞，3） D．（-∞，3]
【答案】C
【分析】解一元二次不等式求得B，再由集合的运算即可求得．
【解答】解：因为集合B={x|x2-2x-3≥0}={x|（x-3）（x+1）≥0}={x|x≥3或x≤-1}，
所以 B={x|-1＜x＜3}，
∁R
又因为集合A={x|x≤2}，所以A∪（ B）={x|x＜3}，
∁R
因为集合C={x|x＞a}，且A∪（ B）∪C=R，所以a＜3，
∁R
所以实数a的取值范围为（-∞，3）．
故选：C．
【跟踪训练4】（2025•杨浦区校级模拟）已知集合A=（-∞，3），集合B=[0，4]，则A∩B=
______．
【答案】[0，3）．
【分析】直接利用交集运算的定义得答案．
【解答】解：∵A=（-∞，3），B=[0，4]，
∴A∩B=[0，3）．
故答案为：[0，3）．
【跟踪训练5】（2025•河北模拟）已知集合M={x|x＜-1或x＞2}，N={x|ax2-bx-2⩽0}，若
M= N，则a-b=______．
∁R
【答案】0．
【分析】由题意可得-1和2是方程ax2-bx-2=0的两根，利用根与系数的关系求得a,b,可求
第25页 共26页a-b的值．
【解答】解：因为M= N，所以 M=N，
∁R ∁R
因为M={x|x＜-1或x＞2}，所以 M={x|-1≤x≤2}，
∁R
所以-1和2是方程ax2-bx-2=0的两根，
b
-1+2=
a a=1
所以{ ，解得{ ，所以a-b=0．
2 b=1
-1×2=-
a
故答案为：0．
【跟踪训练6】（2025•柳州开学）已知集合M={x|-4＜x＜4}，N={x|2m-1＜x＜2m+1}．
（1）当m=-2时，求（ M）∩N；
∁R
（2）若（
∁R
M）∩N=∅，求实数m的取值范围．
【答案】（1）（ M）∩N={x|-5＜x≤-4}；
∁R
3 3
（2）[- ， ]．
2 2
【分析】（1）根据已知，应用集合的交补运算求（ M）∩N；
∁R
（2）由交集结果列不等式组求参数范围即可．
【解答】解：（1）当m=-2时，N={x|2m-1＜x＜2m+1}={x|-5＜x＜-3}，
又M={x|-4＜x＜4}，
所以 M={x|x≤-4或x≥4}，
∁R
则（ M）∩N={x|-5＜x≤-4}．
∁R
（2）因为
∁R
M={x|x≤-4或x≥4}，又（
∁R
M）∩N=∅，且N={x|2m-1＜x＜2m+1}≠∅，
2m-1≥-4 3 3
所以{ ，解得- ≤m≤ ，
2m+1≤4 2 2
3 3
故实数m的取值范围为[- ， ]．
2 2
第26页 共26页
