文档内容
第 8 讲 函数的奇偶性、周期性
一．选择题（共10小题）
1．（2025•河池二模）设函数 是定义在 上的偶函数，且在区间 上
单调递增．若实数 满足 （2），则 的取值范围是
A． B． C． 或 D．
2．（2025•银川三模）已知函数 ， ， ， 是偶函数，则
不等式 的解集为
A． B．
C． ， ， D．
3．（2025•浦东新区模拟）设函数 是奇函数．若函数 ，
（4） ，则
A．27 B．28 C．29 D．30
4．（2025•浙江模拟）已知函数 为奇函数，则 （a）
A． B． C． D．2
5．（2025•广州模拟）若函数 为偶函数，则实数
A．1 B． C． D．6．（2025 春•番禺区期中）若函数 是定义在 上的奇函数，当 时，
，则 等于
A．2 B．6 C． D．0
7．（2025 春•河南月考）已知函数 ，且 ，则
A． B． C．0 D．
8．（2025春•许昌期中）设 是定义域为 的奇函数，且 ．若
，则
A． B． C． D．
9．（2025•福州模拟）已知函数 的定义域为 ， ，且
， ，则下列结论中一定正确的是
A． B． C． D．
10．（2025•黑龙江模拟）函数 与 都为奇函数，且对 ，
都有 ，则 （1） （2）
A．2525 B．2526 C．5049 D．5050
二．多选题（共4小题）
（多选）11．（2025•毕节市模拟）已知函数 满足对任意的 ， ，都有
，且 ．下列结论正确的是
A．B． 是偶函数
C．若 （2） ，则 （4）
D．若 （1） ，则4是 的一个周期
（多选）12．（2025•湖南模拟）若函数 满足：对任意 ， ，恒有
，则称函数 为“类余弦型”函数．已知函数
为“类余弦型”，若 ，且对任意非零实数 ， ．则下列结论
正确的是
A．
B．若 ，则
C．函数 为偶函数
D．若有理数 ， 满足 ，则
（多选）13．（2025•信阳二模）已知函数 的定义域和值域均为 ，
， 对 于 任 意 非 零 实 数 、 ， ， 函 数 满 足 ：
，且 在 上单调递减， （1） ，则下
列结论正确的是
A． B．C． 为奇函数 D． 在定义域内单调递减
（多选）14．（2025•邵阳模拟）已知函数 的定义域为 ，且 ，
，当 ， 时， 单调递减，则下列说法正确的是
A．函数 的图象关于直线 对称
B．函数 为奇函数
C．
D．
三．填空题（共4小题）
15．（2025•吉林四模）若函数 是定义域为 ，
的偶函数，则 ．
16．（2025•北京模拟）已知 为奇函数，则实数 的值是 ．
17．（2025•遵义模拟）已知函数 是偶函数，且当 时， ，
则不等式 的解集为 ．（用区间表示）
18．（2025•湖北三模）已知奇函数 在 时的图象如图所示，则不等式
的解集 ．四．解答题（共6小题）
19．（2025•江苏三模）已知函数 ．
（1）讨论 的奇偶性；
（2）若 ，不等式 恒成立，求 的取值范围．
20．（2024秋•深圳期末）已知函数 是定义在 ， 上的奇函数，
且 （1） ．
（1）求 ， 的值：
（2）试判断函数 的单调性，并证明你的结论；
（3）求使 成立的实数 的取值范围．
21．（2025 春•浙江期中）已知 为奇函数，且定义域为 ，
．
（1）求 的值，判断 的单调性，并用定义法证明；
（2）若 ，求 的取值范围；
（3）若存在两个不相等的实数 ， ， ，使 ，且
．求实数 的取值范围．
22．（2024秋•包河区期末）已知定义域为 的函数 是奇函数．
（1）求实数 的值；
（2）判断函数 的单调性，并证明；（3）若不等式 对任意的 恒成立，求实数 的取值范
围．
23．（2025 春•宁波期中）已知 是定义在 上的函数，对 ， 都有
，且满足 ．
（1）判断函数 的奇偶性，并证明之；
（2）证明： ；
（3）求 （1） （2） 的值．
24．（2025春•温州期中）已知函数 ．
（1）若 ，求 （a）的值；
（2）根据函数单调性的定义证明函数 在 上单调递增；
（3）若存在 ， ，使得不等式 成立，求实
数 的取值范围．一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B C C C C B B D
二．多选题（共4小题）
题号 11 12 13 14
答案 ABD ACD AC BC
一．选择题（共10小题）
1．【答案】
【分析】根据偶函数 可将不等式 （2）转化为
（2），再结合函数在 上单调递增的性质得到关于 的绝对值不等式，最
后求解绝对值不等式得出 的取值范围．
【解答】解：由于 是偶函数，则 恒成立，
不等式 （2）可以转化为 （2）．
函数 在 上单调递增，根据偶函数对称性可知， 在 上单调递
减，
所以 ，解得 或 ．
故选： ．
2．【答案】
【分析】先利用函数的奇偶性求参数 ，再求导函数分类求出函数的单调性，再利用函数的单调性解不等式即可．
【解答】解：因为 为偶函数，所以 （1），即 ，即
．
因 为 ， 所 以 ， ， ， 即
（1）．
当 时， ，
当 时， ， ，所以 ， 单调递增；
当 时， ， ，所以 ， 单调递增，
综上， 在 上单调递增．
由 （1），即得 （1），得 ，解得 ．
故选： ．
3．【答案】
【分析】根据题意，由奇函数的性质可得 （4） ，由此求
出 的值，进而计算可得答案．
【 解 答 】 解 ： 根 据 题 意 ， 函 数 是 奇 函 数 ， 则 （ 4 ）
，
又由 （4） ，则 ，
则 ．
故选： ．
4．【答案】【 分 析 】 根 据 题 意 ， 假 设 ， 结 合 函 数 的 解 析 式 和 奇 偶 性 可 得
恒成立，变形可得 的值，结合函数的解析式计算可得
答案．
【解答】解：根据题意，函数 为奇函数，
当 时，有 ， ，
则有 恒成立，
必有 ，
故 （a） ．
故选： ．
5．【答案】
【分析】根据题意，求出 的表达式，由函数奇偶性的定义，分析可得关于
的恒等式，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，函数 ，
则 ，
函数 为偶函数，
则 ，即 ，
变形可得： ，必有 ．
故选： ．
6．【答案】
【分析】利用奇函数的性质可求得 的值．【解答】解：根据题意，当 时， ，则 （2） ，
又因为函数 是定义在 上的奇函数，则 （2） ．
故选： ．
7．【答案】
【分析】计算得 即可得到．
【解答】解：因为 ， ，
又 ，
所以 ，
又 ，所以 ．
故选： ．
8．【答案】
【分析】由函数奇偶性与已知 关系，证明 是周期函数，利用
函数周期性与奇偶性结合已知条件，求函数值即可．
【解答】解：因为 是定义域为 的奇函数，
所以 ，
又 ，
则 ，
则 ，故 是以2为周期的周期函数，
由 ，则 ．
故选： ．
9．【答案】【分析】根据抽象函数的性质即可求解．
【解答】解：由题， ，设 （1） ， （2） ，
则 （3） ， （4） ， （5） ， （6） ， （7）
（1），
所以函数 的周期为6，
故 （5） ， （1） ，
（6） ， （4） ，
由 ，则 ，即 ，
由 ，则 ，即 ，
所以 ，可得 ， 无法确定，
所以 （2） ， 无法判断，
综上所述， ．
故选： ．
10．【答案】
【分析】根据题意，可得 ，结合 ，可得 ，利用等
差数列求和公式，即可求得答案．
【解答】解：因为 与 都为奇函数，
则 ， ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以
，
即 ，
所以 ，即 ，
又 ， （1） ，得 （1） ，
所以 （2） ， （3） （1） ， ， ，
所以 ．
故选： ．
二．多选题（共4小题）
11．【答案】
【分析】根据赋值法及抽象函数的奇偶性、周期性一一判定即可．
【 解 答 】 解 ： 函 数 满 足 对 任 意 的 ， ， 都 有
，
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，故 正确；
令 ，则 ， 恒成立，
所以函数 为偶函数，故 正确；（2） ，令 ，则 （4） （2） （2） （4） ，故
错误；
（1） ，令 ，则 （1） ，
所以 ， ，
则 为周期函数且4为其一个周期，故 正确．
故选： ．
12．【答案】
【分析】对于 ，根据条件，令 ， ，即可求解；对于 ，令 ，
结合选项 中结果，即可求解；对于 ，令 ，得到 ，即可求解；
对于 ，令 ，证明出 ，即可说明对任意 、
且 ，有 ，然后设 ， ， 、 是非负整数， 、
为正整数，利用偶函数和前面的结论，即可求解．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于 ，对任意 ， ，恒有 ，
不妨设 ， ，则有 （1） （1） （1） ，
即 （1） （1） ，
又因为对任意非零实数 ， ，所以 ，故 正确，
对于 ，令 ，得 （2） （1） （1），由选项 知 ，又 ， ，得到 ，故 错误，
对于 ，令 ，得到 ，又 ，得到 ，
故 正确，
对于 ，因为 时， ，则 ，所以
，
令 ，即对任意的正整数 有 ，
则 ，
所以，对于任意正整数 ， 成立，
对任意的 、 且 ，则有 成立，
、 为有理数，所以可设 ， ，其中 、 为非负整数， 、
为正整数，则 ， ，
令 ， ， ，则 、 为正整数，
， ，所以， ，即 ，
由 选 项 知 ， 函 数 为 偶 函 数 ， ， ，
，故 正确，
故选： ．
13．【答案】【分析】利用对恒等式赋值来得到 的值，通过赋值得到递推关系求等比数
列的和，通过赋值可得到奇函数恒等式，由于定义域是有断点，所以不能确定
在定义域内是否单调．
【 解 答 】 解 ： 对 于 任 意 非 零 实 数 、 ， ， 函 数 满 足 ：
，
且 在 上单调递减， （1） ，
对于 ，令 ，则 ，因 ，故 ，故
正确；
对于 ，令 ，则 ，
则 ，即 ，故 是以 为首项，
2为公比的等比数列，
于是 ，故 错误；
对于 ，由题意，函数 的定义域为 ， ， ，
令 ，则 （1），
将 、 都取成 ，可得： （2），
将 （ 2 ） 式 代 入 （ 1 ） 式 ， 可 得
，化简可得 ，即 为奇函数，故 正确．
对于 ， 在 上单调递减且为奇函数，可得 在 上单调递减，
但不能判断 在定义域上的单调性，例如 ，故 错误．
故选： ．
14．【答案】
【分析】结合已知函数的奇偶性及对称性进行转化，求出函数的周期，然后结
合函数周期性，对称性及奇偶性检验各选项即可求解．
【解答】解： ， ，
关于点 中心对称，故 错误；
令 ，
，又 ，
，故函数 为奇函数，故 正确；
，即 为偶函数， ，
， ，
是周期为4的函数，
令 ，得 （1） ，
令 ，得 （1） （3） ，
令 ，得 （2） （4） ．
（1） （2） （3） （4） （1） （1） ，故
正确；，
而 ，
故 ，又 当 ， 时， 单调递减，且 ，
，
关于点 中心对称， 在区间 上单调递减， ，
即 ，故 错误．
故选： ．
三．填空题（共4小题）
15．【答案】 ．
【分析】整理可得 ，根据偶函数性质列式求解即可
得结果．
【解答】解：因为 ，
可知 ， ， 均为偶函数， 为奇函数，
若函数 是定义域为 ， 的偶函数，
则 ，可得 ， ，所以 ．
故答案为： ．
16．【答案】 ．
【 分 析 】 根 据 题 意 ， 由 奇 函 数 的 定 义 可 得
，变形分析求出 的值，验证即可得答案．
【解答】解：根据题意，设 ，则 ，
若 为奇函数，则 ，
必有 ，变形可得 或0，
当 时， ，其定义域为 或 ，
又由 ， 为奇函数，符合题意，
当 时， ，其定义域为 ，不是奇函数，不符合题意，
故 ．
故答案为： ．
17．【答案】 ， ．
【分析】根据题意，由函数的解析式分析 在 ， 上的解集，结合偶
函数的性质，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，当 时， ，即 ，
当 时，不等式 即 或 ，解可得 ，
又由函数 是偶函数，当 时，不等式 的解集为 ，
综合可得：不等式 的解集为 ， ．
故答案为： ， ．
18．
【分析】由 是奇函数得函数图象关于原点对称，由 可得 与 符号相反，根据奇函数的对称性可求得结果
【解答】解：
①当 时， ，
结合函数的图象可得， ，
（2） 时， ，
根据奇函数的图象关于原点对称可得， ，
不等式 的解集为 ， ， ．
故答案为： ， ， ．
四．解答题（共6小题）
19．【答案】（1）当 时， 是 上的偶函数；当
时， 是 上的奇函数；
当 且 时， 既不是奇函数也不是偶函数；
（2） ．
【分析】（1）利用函数奇偶性定义，分类讨论即可；
（2）确定函数的单调性，结合奇函数的性质求解不等式即可．
【解答】解：（1）函数 的定义域为 ，且 ，
当 时， ，即 恒成立，
所以 ，即 ，此时 ，经检验 是 上的奇函数；
当 时， ，即 恒成立，
所以 ，即 ，此时 ，经检验 是 上的偶函数；当 且 时， ，此时 既不是奇函数也不是偶函数；
综上，当 时， 是 上的偶函数；当
时， 是 上的奇函数；
当 且 时， 既不是奇函数也不是偶函数；
（2）函数 ，由 ，得 ，而 ， ，
所以 ， ，则 是 上的奇函数且是 上的增函数，
不等式 ，
即 ，则 ，
解 ，得 或 ；
解 ，即 ，得 ．于是 ，
所以 的取值范围是 ．
20．【答案】（1） ， ；（2） 在 ， 上为增函数，证明见解答；
（3） ， ．
【分析】（1）由奇函数的性质可得 ，结合 （1） ，解方程可得 ，
的值；
（2） 在 ， 上为增函数，再由单调性的定义证明，注意运用因式分解
和不等式的性质；
（3）由奇函数 在 ， 上为增函数，可将不等式的两边的“ ”去掉，解不等式可得所求取值范围．
【解答】解：（1）函数 是定义在 ， 上的奇函数，
且 （1） ，可得 即 ；
又 ，则 ，所以 ， ；
（2） 在 ， 上为增函数．
证明：设 ，则
，
由 ，可得 ， ，
则 ，即 ，
所以 在 ， 上为增函数；
（3）由 为奇函数，
可得 即为 ，
由 在 ， 上为增函数，可得 ，
解得 ，即 的取值范围是 ， ．
21．【答案】（1） ，证明见解答；
（2） ；
（3） ．
【分析】（1）结合奇函数的定义可求 ，任取 ， ，且 ，利用作差法比较 与 的大小即可判断；
（2）结合函数的单调性即可求解；
（3）由奇函数定义求出 ，由存在性问题进行转化，然后结合二次方程根
的分布情况即可求解．
【解答】解：（1）因为 为奇函数，定义域为 ，
所以 ，得 ，
在定义域 上为增函数，证明如下：
任取 ， ，且 ，
，
则 ，
所以 ， 在定义域上为增函数．
（2）由（1）可得 ，
解得 ，
故 的范围为 ；
（3）因为 ，
所以 ，
则 ，
因为 ，由 可得 ，
即 ，
令 ， ，
则 ，存在实数 ，使得 ，
只需 （2） 或 ，
即 或 ，
解得 ，
故 的范围为 ．
22．【答案】（1） ；
（2）单调递减，详见解答过程；
（3） ．
【分析】（1）结合奇函数定义即可求解 ；
（2）任取 、 ，且 ，利用作差法比较 与 的大小即可判断；
（3）结合函数的单调性及奇偶性对已知不等式进行转化，然后结合恒成立与最
值关系的转化即可求解．
【解答】解：定义域为 的函数 是奇函数，
（1）由题意可得， ，
可 得
解得 ；故 在 上是递减函数；
（2） 单调递减，证明如下：
证明：任取 、 ，且 ，则 ，
则 ，
即 ，
故 是定义在 上的递减函数；
（3） ， ，
又 是 上的奇函数， ，
是 上的递减函数， ，
对任意的 恒成立，
设 ，且 ，即 ，
， ， ，当且仅当 即 时等
号成立，
，
故 的范围为 ．
23．【答案】（1） 是定义 在的偶函数，理由见解答；（2）证明见解答；
（3）4050．
【分析】（1）根据赋值法，偶函数的定义，即可求解；（2）根据赋值法，点对称的结论，即可证明；
（3）根据周期性， ，即可求解．
【解答】解：（1）令 ，得 （2） ；再令 得 ，
所以 是定义 在的偶函数；
（2）证明：令 ，得 ；
再令 ，得 ，
两式相加得 ，这里 不恒为零，
所以 ，即 ，
所以 是 的一个对称中心，
所以 ，又 ，
所以 ，
所以 ，所以 的周期为8，
即 ；
（3）由（2）知 （3） （1）； （4） ；
令 ，得 （3）；
令 ， ，得 （3） （1） （4） （3） （3），得到
，
所以 （2） （4） （2） （2） ，（6） （8） （2） （4） ， ，
令 ，得 ，
所以 （1） （2）
（2） （4）
．
24．【答案】（1） ；
（2）详见解答过程；
（3） ．
【分析】（1）把 代入，结合对数运算性质即可求解；
（2）任取 ， ，且 ，然后利用作差法判断 与 的大小即可
判断；
（3）结合函数的单调性对已知不等式进行转化，然后结合恒成立与最值关系的
转化即可求解．
【解答】解：（1） ，
则 ，
（2）证明：任取 ， ，且 ，
则
，
，则 ， ， ，
故 ，即 ，
在 上单调递增；
（3） ，
由（2）可知， 在 上单调递增，
，
，
要存在 ， ，使得不等式 成立，
只要存在 ， ，使得 成立，
， ， ， ， ，令 ，
只要存在 ， ，使得 成立，即 ，
， ，函数 在 ， 上单调递增，
则 ，
故 的范围为 ．
