文档内容
第 9 讲 函数的对称性
知识点目录
【知识点1】判断函数的对称性....................................................1
【知识点2】利用对称性求函数值或解析式..........................................3
【知识点3】对称性与奇偶性、周期性的综合应用....................................4
【知识点4】利用对称性解不等式或方程............................................6
基础知识
1．奇函数、偶函数的对称性
(1)奇函数关于原点对称，偶函数关于 y 轴 对称．
(2)若f(x＋a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为 x ＝ a ；若f(x＋a)是奇函数，则函数
f(x)图象的对称中心为 (a ,0 )．
2．若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)，则函数的图象关于直线x＝a对称；
若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点 (a ,0 )对称．
3．两个函数图象的对称
(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于 y 轴 对称；
(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于 x 轴 对称；
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．
知识点1
知识点
【知识点1】判断函数的对称性
第1页 共8页1.轴对称：
验证 是否对某常数a恒成立．
若为多项式函数，观察是否满足 （整理后各项系数为0）．
2.中心对称：
验证 是否对某常数a,b恒成立．
若为多项式函数，观察是否满足 （整理后各项系数为0）．
技巧：
二次函数 必关于 对称．
三次函数 必关于其拐点 中心对称．
典型例题
例1：
【例1】（2025•四川模拟）已知函数 ，则函数 的图象
A．关于点 对称 B．关于点 对称
C．关于直线 对称 D．关于直线 对称
【例2】（2024春•潮阳区期中）定义在 上的函数 满足 ．若 的图象
关于直线 对称，则下列选项中一定成立的是
A． B． C． （4） D． （6）
【例 3】（2025•苏州三模）已知函数 ，定义域为 的函数 满足
第2页 共8页，若函数 与 的图象有四个交点，分别为 ， ， ， ， ，
， ， ，则
A．0 B．4 C．8 D．12
【例4】（2024秋•衢州期末）已知函数 的图象关于点 中心对称的充要条件是函
数 为奇函数，则函数 图象的对称中心是
A． B． C． D．
【例5】（2024•泸州模拟）已知函数 满足 ，若函数 与
图象的交点横坐标分别为 ， ， ， ，则
A． B． C． D．0
知识点2
知识点
【知识点2】利用对称性求函数值或解析式
1.利用对称性建立等式：
若关于 对称，则 ，代入已知点求未知值．
若关于 对称，f(x)=2b-f(2a-x)，用于递推或构造方程．
2.对称变换法：
第3页 共8页若 关于 对称，则 （g为偶函数）．
若 关于 对称，则f(x)=b+h(x-a)（h为奇函数）．
典型例题
例1：
【例6】（2025•梅河口市二模）已知函数 为 上的奇函数，若函数 与
的图象关于点 对称，则 （4）
A．1 B．0 C． D．
【例7】（2024秋•温州期末）已知函数 ．
（1）求 （1）的值；
（2）求函数 的定义域；
（3）证明：曲线 是中心对称图形．
【例 8】（2024 秋•谷城县期中）已知定义在 上的函数 ，对 ，都有
，若函数 的图象关于直线 对称，则
A． B． C．2 D．1
【例9】（2024秋•鼓楼区期中）函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条
件是函数 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 的图象关于点
成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数．已知函数 ，则
第4页 共8页（1）
A．0 B．2024 C．4051 D．8102
【例 10】（2024 秋•淮阴区月考）若偶函数 满足 ，且当 时，
，则
A． B． C． D．
知识点3
知识点
【知识点3】对称性与奇偶性、周期性的综合应用
1.对称性与周期性的关系：
若函数有两条对称轴 和 （ ），则周期 ．
若函数有一个对称中心 和一条对称轴 （ ），则周期 ．
若函数有两个对称中心 和 （ ），则周期 ．
2.奇偶性与对称性的结合：
奇函数+关于 对称 周期 ．
偶函数+关于 对称 周期 ．
典型例题
例1：
【例 11】（2025•黑龙江模拟）函数 的定义域为 ，且对任意的实数 ，都有
第5页 共8页，且 ，则下列说法错误的是
A． 为偶函数 B． 为周期函数且周期为12
C． （4） D．
【例12】（2025•李沧区模拟）已知函数 是 上的奇函数，且 ，当 ，
时， ，则
A．2 B．1 C．0 D．
【例13】（2025•鹤山区二模）已知函数 的定义域为 ，若 为奇函数，且
为偶函数，则
A． B． C． D．
【例 14】（2025 春•大祥区期中）已知 的图像关于点 对称，对 ，都有
成立，且当 时， ，则 等于
A． B．2 C．0 D．
【例 15】（2025 春•青羊区期中）已知函数 的定义域是 ，满足 ，
，函数 的导函数 在 上总有意义，则 （5）
A．0 B．1 C．2 D．4
第6页 共8页知识点4
知识点
【知识点4】利用对称性解不等式或方程
1.利用对称性化简表达式：
若 关于 对称，令 ，将不等式转化为关于t的偶函数形式，利用单调性求解．
若 关于 对称，令t=x-a，将表达式转化为关于t的奇函数形式，结合中心对称性质
分析.
2.对称性与单调性结合：
对称轴 / 中心两侧的单调性相反（如偶函数在x>a单调递增，则 单调递减），利用对
称性将不等式两边转化到同一单调区间求解．
典型例题
例1：
【例16】（2024•博望区学业考试）已知函数 为定义在 上的函数，对任意的 ，均
有 成立，且 在 ， 上单调递减，若 ，则不等式 的解
集为
A． ， B． ， C． ， D． ，
【例17】（2024秋•蔡甸区月考）已知函数 为定义在 上的函数，对任意的 ，均有
成立，且 在 ， 上单调递减，若 ，则不等式 的解集
第7页 共8页为 ， ．
【例 18】（2024 秋•沙坪坝区期末）已知函数 ，则使得不等式
成立的实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
【例19】（2023秋•垫江县月考）已知函数 ．
（1）若 为偶函数，求 的值；
（2）解关于 的不等式 ．
【例20】（2024秋•耒阳市月考）已知偶函数 与奇函数 的定义域都是 ， ，它们
在 ， 上的图象如图所示，则使关于 的不等式 成立的 的取值范围为
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
第8页 共8页
