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广安中学 2026 高考冲刺月测卷一
数学试卷
一、单选题
1. 某中学有10个学生社团，每个社团的人数分别是70，60，60，50，60，40，40，30，30，10，则这组
数据的平均数，众数，中位数的和为（ ）
A. 165 B. 160 C. 150 D. 170
【答案】C
【解析】
【分析】将数字从小到大（或从大到小）排列，得到众数和中位数，再算出平均数，即可得到答案.
【详解】人数分别是10,30,30,40,40,50,60,60,60,70，则众数为60，中位数为 ，平均数为
，
∴平均数，众数，中位数的和为：60+45+45=150.
故选：C.
2. 已知复数 满足 ，则复数 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的除法化简复数 ，由此可得出复数 的虚部.
【详解】由已知可得 ，
因此，复数 的虚部为 .
故选：C.
3. 若 ，则 .
A. B.
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学科网（北京）股份有限公司C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用集合的交集运算易得.
【详解】因为 ，
则 .
故选：C
4. 设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式求得集合 ，利用交集的意义可求 .
【详解】由 ，得 ，解得 ，所以集合 ，
又因为 ，所以 .
故选：B.
5. 三角形的两边分别为5和3，若它们夹角的余弦值是方程 的根，则三角形的另一边长为
A. 52 B.
C. 16 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】设已知两边的夹角为 ．求出 ，再利用余弦定理求解.
【详解】设已知两边的夹角为 ．根据题意得 或 （舍去），
∴三角形的另一边长为 ．
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学科网（北京）股份有限公司故选B．
【点睛】本题主要考查余弦定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
6. 已知点 是抛物线 的焦点，点 分别是抛物线上位于第一、四象
限的点，若 ，则 的面积为
A. B. C. D.
【答4案2 】A 30 18 14
【解析】
【分析】利用焦半径公式可得 ，得到抛物线方程，求得 的坐标，得到 方程，
求出 与 轴交点 ，再由面积公式求解．
【详解】
因为 到焦点 的距离，等于 到准线 的距离，
所以 ， ，
则抛物线的方程为 ，
把 代入方程，得 舍去 ，即 ．
同理可得 ，则 ： ，即 ．
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学科网（北京）股份有限公司设直线 与 轴交于 点，已知 ，
，故选 ．
A
【点睛】本题考查抛物线的方程、定义与简单性质，是中档题 与焦点、准线有关的问题一般情况下都与
拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与.点到直线的距离的转化：（ ）将抛线上的
点到准线距离转化为该点到焦点的距离； 将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的1距离，使问题得
到解决 (2)
.
7. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A. 12 B. 16 C. 20 D. 22
【答案】D
【解析】
【分析】由等差数列及前 项和的性质即可求解；
【详解】由 ，可得： ，
所以 ，
又 ，
故选：D
8. 已知函数 为奇函数，则参数 的一个可能值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据奇函数 ，运用排除法，再验算对于任意的 ， 是否成立即可.
【详解】 是奇函数，并在 时有意义， ，
对于A项， ，故A项错误；
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学科网（北京）股份有限公司对于B项， ，故B项错误；
对于C项， ，
又
，
即 ，
所以 ，即 ，
所以 是奇函数，故C项正确；
对于D项， ，故D项错误.
故选：C.
二、多选题
9. 设数列 是各项均为正数的等比数列， 是 的前 项之积， ， ，则当
最大时， 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】设等比数列 的公比为 ，求出 的值，进而可求得数列 的通项公式，解不等式 ，
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学科网（北京）股份有限公司求出 的取值范围，即可得解.
【详解】设等比数列 的公比为 ，则 ，可得 ，
，所以， ，
令 ，解得 ，
故当 最大时， 或 .
故选：AB.
10. 已知函数 是定义在R上的奇函数，当 时， ，则下列结论正确的是（
）
A. B. 的单调递增区间为（-1，0），（1，+ ）
C. 当 时， D. 的解集为（- ，-1） （1，+ ）
【答案】BC
【解析】
【分析】根据奇函数的性质可得 ，再根据函数 的单调性及 可得出函数值为正负时，
的范围，从而可判断BD，根据奇函数的定义求出 时函数的解析式即可判断C.
【详解】解：因为函数 是定义在R上的奇函数，所以 ，故A错误；
因为函数 在 都是增函数，
所以函数 在 是增函数，
又 ，则当 时， ，当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，当 时， ，
则函数 的单调递增区间为（-1，0），（1，+ ），故B正确；
当 时，则 ，
，
所以当 时， ，故C正确；
若 ，则 或 ，
所以 或 ，
即不等式 的解集为 ，故D错误.
故选：BC.
11. 已知点 ， 分别为双曲线 的左、右顶点，点 ， 是 右支上不同两点，若
且 的面积为 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 双曲线 的渐近线方程为 B. 点 为 的重心
C. D. 为等边三角形
【答案】ABD
【解析】
的
【分析】根据等轴双曲线求得渐近线判断A；根据重心 向量形式判断B；设 ， ，
根据重心坐标性质得 ， 关于 轴对称，进而求得 ，根据 的面积求得 判断C，结
合选项C求得 ，根据对称性可得 为等边三角形判断D.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由于双曲线 是等轴双曲线，故其渐近线为 ，故A正确；
由 知点 为 的重心，故B正确；
设 ， ， ， ，
由点 为 的重心知 ， ，
故 ， 关于 轴对称且 ， ，
故 的面积 ，解得 ，故C错误；
由C可知， ， 关于 轴对称且 ， ，
所以 ，所以 ，所以 ，
因此 为等边三角形，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
12. 已知向量 ，则与向量 平行的单位向量为__________.
【答案】 或
【解析】
【分析】利用与向量 平行的单位向量为 ，求解即可
【详解】因为 ，所以 ，所以与向量 平行的单位向量为
或 .
故答案为： 或
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学科网（北京）股份有限公司13. 已知二次函数 ，且 ， ，则
_____.
【答案】2025
【解析】
【分析】由 ， 解出 ，进而得出答案.
【详解】由 ，解得
故答案为：
14. 在半径为5的球体内部放置一个圆锥，则该圆锥体积的最大值为______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】利用球的截面小圆性质，用圆锥的高表示出圆锥的底面圆半径，再求出圆锥体积的函数关系，利
用导数求出最大值即得.
【详解】过圆锥的轴的平面截球面得大圆，截圆锥得轴截面等腰三角形，是球的截面大圆的内接三角形，
如图，
设圆锥的高为 ，圆锥底面圆半径为 ，球心 到圆锥底面距离 ，
则 ，即 ，圆锥体积 ，
求导得 ，当 时， ，当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司因此函数 在 上单调递增，在 上单调递减， ，
所以圆锥体积的最大值为 .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：涉及与旋转体有关的组合体，作出轴截面，借助平面几何知识解题是解决问题的关
键.
四、解答题
15. 已知 ，函数 .
（1）当 时，求 的单调递增区间；
（2）若 在区间 上单调，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）令 求 的范围，即可得增区间；
（2）由题意 在 上单调，讨论分别为递减区间、递增区间求 的取值范围.
【小问1详解】
由题设 ，令 ，
所以 ，故 的单调递增区间为 .
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
由 ，则 ，
所以 在 上单调，又 ，
若 ， ，则 ， ，
所以 ， ，故 时 ，满足题设；
若 ， ，则 ， ，
所以 ， ，此时没有满足题设的k值；
综上， .
16. 从椭圆 上一点 向 轴作垂线，垂足恰好为左焦点 ， 是椭圆与 轴正半轴
的交点， 是椭圆与 轴正半轴的交点，且 ， ，求此椭圆方程.
【答案】
【解析】
【分析】
根据椭圆方方程可确定 点坐标，利用 可构造方程求得 ，结合 和椭圆 的
关系可构造方程求得 ，进而得到椭圆方程.
【详解】由椭圆方程可知： ， ，
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学科网（北京）股份有限公司设椭圆焦点 ，又 ，则 ，
， ， ，整理可得： ，
又 ， ， ， ， ，
此椭圆的方程为： .
【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解问题，解题关键是能够根据直线平行得到斜率相等关系，属于基础
题.
17. 如图，在三棱柱 中， 平面 ， 为 的中点， ， ，
， .
（Ⅰ）证明： 平面 ；
的
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角 正弦值.
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ） .
【解析】
【分析】（1）连接BC 交B C于点E，连接DE，证明DE∥ ,即可证明 ∥平面 ．（2）以
1 1
CA，CB，CC 为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz，直线DC 与平面B CD所成角
1 1 1
为 ，求出平面B CD的法向量，然后利用空间向量的数量积求解即可．
1
θ
【详解】（Ⅰ）连接 交 于点 ，连接 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵四边形 是平行四边形，
∴点 是 的中点，
又点 为 的中点，
∴ 是 的中位线，∴ .
又DE 平面B CD，AC 平面B CD，
1 1 1
⊂ ⊄
∴ 平面 .
（Ⅱ）由 ， ， ，由余弦定理得 可得 ，
以点 为坐标原点， ， ， 为 轴、 轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系 .
则 ， ， ， ，
∴ ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ， ，
即 ，令 ，得 ，
∴ ，
∴直线 与平面 所成角 的正弦值为 .
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，直线与平面所成角的向量求法，考查空间想象能力
以及计算能力，是中档题
.
18 已知函数 .
（1）求 的最大值；
（2）若 ，分析 在 上的单调性.
【答案】（1）最大值为 ；（2） 在 上单调递减.
【解析】
【分析】(1)求导后，判断单调性进而求出最大值即可；
(2)由题意可知， 求导后表达式比较复杂，故因式分解后构造新的函数，通过二次求导来判断
的正负号，进而判断出 在 上的单调性.
【详解】(1)由条件知 ，
令 ，得 ，
由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 的最大值为 .
(2)由已知得 ，
所以 ，
当 时， .
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学科网（北京）股份有限公司令 ，则 ，
当 时， ，所以 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，
从而 ，所以 在 上单调递减.
【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：
(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；
(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；
(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨
论和数形结合思想的应用.
19. 如果数列 中存在四项 ， ， ， ，使得 （ 互不相同），则称数
列 为稳健数列．
（1）若数列 是项数为5的正项等比数列，且 是稳健数列，求 的公比q的个数；
（2）若数列 的项数为6，且 ，从 中任意取出四项组成一个数列，求该数列为稳健数列的
频率；
（3）若数列 为等差数列，且公差不为0，从 中任意取出四项组成一个数列，该数列为稳健数列
的概率超过 ，求数列 的项数的最大值．
【答案】（1）3 （2）
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学科网（北京）股份有限公司（3）21
【解析】
【分析】（1）不妨设数列 为：1，q， ， ， ，分类求解方程，根据解的情况可得.
（2）由列举法及古典概型概率公式可求.
（3）根据公差与项数n的奇偶性分类计数，借助取整函数与数列求和求解．
【小问1详解】
由 ， 互不相同，不妨设 ， ， ，
不妨设数列 为：1，q， ， ， ，由数列为正项等比数列，知 ，
当 时，满足题意；
当 且 时，则数列为递增或递减数列，
依题意， 且 ， 且 ，
①若 ，则 ，即 ， ，
令 ，求导得 ，
当 时， ；当 时， ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
而 ，因此 ，使得 ，
即存在唯一的 ，使得 ；
②若 ，则 ， ，无解；
③若 ，则 ， ，无解；
④若 ，则 ，整理得 ，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，求导得 ，
函数 在 上单调递增，又 ， ，使得 ，
即存在唯一的 ，使得 ；
⑤若 ，则 ，整理得 ，无解；
若 ，则 ，无解，
所以公比q的个数为3.
【小问2详解】
从 中取出的4项所有可能为：1，2，3，4（稳健数列）；1，2，3，5（不是稳健数列）；
1，2，3，6（不是稳健数列）；1，2，4，5（稳健数列）；1，2，4，6（不是稳健数列）；
1，2，5，6（稳健数列）；1，3，4，5（不是稳健数列）；1，3，4，6（稳健数列）；
1，3，5，6（不是稳健数列）；1，4，5，6（不是稳健数列）；2，3，4，5（稳健数列）；
2，3，4，6（不是稳健数列）；2，3，5，6（稳健数列）；2，4，5，6（不是稳健数列）；
3，4，5，6（稳健数列）；共15种，其中7个稳健数列，
所以从 中任意取出4个元素组成一个数列，该数列为稳健数列的概率 .
【小问3详解】
不妨令 ，2，3，…，n，取出的4个数从小到大依次为 ，
当 时，稳健数列a，b，c，d共有 个：
若 ，从a到d共有 个数，
相应的b，c的取法有 种，则 ，
当m为偶数时，
当m为奇数时，若 ，则共有 种，
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学科网（北京）股份有限公司若 ，则回到m为偶数的情况，共有 种；
此时 ；
因此当n为偶数时，从 中取出4个数为稳健数列 的个数为：
由 ，而 ，整理得 ，
则正整数 满足 ，又n为偶数，此时n最大为20；
当n为奇数时，从 中取出4个数为稳健数列的个数为：
，
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学科网（北京）股份有限公司由 ，而 ，整理得 ，
正整数 满足 ，又n为奇数，此时n最大为21．
所以n的最大值为21.
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学科网（北京）股份有限公司
