2009年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷）
数学（理工农医类）
第I卷
一， 选择题：（本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中
，中有一项是符合题目要求的。
（1） 已知集合A= 1,3,5,7,9,B=0,3,6,9,12 ,则A C B=
I N
(A)
1,5,7
(B)
3,5,7
(C)
1,3,9
(D)
1,2,3
3+2i 3-2i
(2) 复数 - =
2-3i 2+3i
（A）0 （B）2 （C）-2i (D)2
（3）对变量x, y 有观测数据理力争（x ，y ）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u ，v
1 1
有观测数据（u ，v ）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断。
1 1
（A）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关
（C）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关
x2 y2
（4）双曲线 - =1的焦点到渐近线的距离为
4 12
（A）2 3 （B）2 （C） 3 （D）1
（5）有四个关于三角函数的命题：
x x 1
p ：$xÎR, sin2 +cos2 = p : $x、yÎR, sin(x-y)=sinx-siny
1 2 2 2 2
1-cos2x p
p : "xÎ0,p , =sinx p : sinx=cosyÞx+y=
3 2 4 2
第- 1 -页 | 共7页其中假命题的是
（A） p ， p （B） p ， p （C） p ， p （D） p ， p
1 4 2 4 1 3 2 4
ì2x+ y³4
ï
（6）设x,y满足íx- y³-1,则z = x+ y
ï
x-2y£2
î
（A）有最小值2，最大值3 （B）有最小值2，无最大值
（C）有最大值3，无最小值 （D）既无最小值，也无最大值
（7）等比数列a 的前n项和为s ，且4a ，2a ，a 成等差数列。若a =1，则s =
n n 1 2 3 1 4
（A）7 （B）8 （C）15 （D）16
（8） 如图，正方体ABCD-ABC D 的棱线长为1，线段
1 1 1 1
2
BD 上有两个动点E，F，且EF = ，则下列结论中
1 1 2
错误的是
（A）AC ^ BE
（B）EF //平面ABCD
（C）三棱锥A-BEF 的体积为定值
（D）异面直线AE,BF 所成的角为定值
（9）已知O，N，P在DABC所在平面内，且 OA = OB = OC ,NA+NB+NC =0，且
PA·PB= PB·PC = PC·PA，则点O，N，P依次是DABC的
（A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心
（C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
（10）如果执行右边的程序框图，输入x=-2,h=0.5，那么输出的各个数的合等于
第- 2 -页 | 共7页（A）3 （B） 3.5 （C） 4 （D）4.5
（11）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm2）为
（A）48+12 2 （B）48+24 2 （C）36+12 2 （D）36+24 2
（12）用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值
设f（x）=min{2x, x+2,10-x} (x³ 0),则f（x）的最大值为
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
第II卷
二、填空题；本大题共4小题，每小题5分。
（13）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点
。若AB的中点为（2，2），则直线i的方程为_____________.
（14）已知函数y=sin（ wx+j）（w>0, -
p£j<p）的图像如 图所示，则 j=________________
第- 3 -页 | 共7页（15）7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排3人，则不同
的安排方案共有________________种（用数字作答）。
（16）等差数列{a }前n项和为S 。已知a +a -a2 =0，S =38,则m=_______
n n m-1 m+1 m 2m-1
三、解答题：解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同
一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方
案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计
算M，N间的距离的步骤。
（18）（本小题满分12分）
某工厂有工人1000名，
其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训(称为B类
工人），现用分层抽样方法（按A类、B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调
查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）。
（I）求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A类工人，乙为B类工人；
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（II）从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽插结果分别如下表1和表2.
表1：
生产能力分 100,110 110,120 120,130 130,140 140,150
组
人数 4 8 x 5 3
表2：
生产能力分组 110,120 120,130 130,140 140,150
人数 6 y 36 18
第- 4 -页 | 共7页（i）先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A类工人中
个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方
图直接回答结论）
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（ii）分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平
均数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（19）（本小题满分12分）
如图，四棱锥S-ABCD
的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的 2 倍，P为侧棱SD上的点。
（Ⅰ）求证：AC⊥SD；
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；
若不存在，试说明理由。
第- 5 -页 | 共7页（20）（本小题满分12分）
已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离
分别是7和1.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
OP
（Ⅱ）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点， =λ，求点M的轨迹
OM
方程，并说明轨迹是什么曲线。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（21）（本小题满分12分）
已知函数 f(x)=(x3 +3x2 +ax+b)e-x
（I） 如a=b=-3，求 f(x)的单调区间；
（II） 若 f(x)在(-¥,a),(2,b)单调增加，在(a,2),(b,+¥)单调减少，证明
b-a＜6.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一
题记分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
（22）本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
第- 6 -页 | 共7页如图，已知DABC的两条角平分线AD和CE相交于H，ÐB=600，F在AC上，
且AE = AF 。
（I） 证明：B,D,H,E四点共圆：
（II） 证明：CE平分ÐDEF。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程。
ìx=-4+cost, ìx=8cosq,
已知曲线C ：í （t为参数）， C ：í （q为参数）。
1 îy =3+sint, 2 îy =3sinq,
（1）化C ，C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
1 2
p
（2）若C 上的点P对应的参数为t = ，Q为C 上的动点，求PQ中点M 到直线
1 2 2
ìx=3+2t,
C :í （t为参数）距离的最小值。
3 îy =-2+t w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
如图，O为数轴的原点，A,B,M为数轴上三点，C为线段OM上的动点，设x表示C与原点的距
离，y 表示C到A距离4倍与C道B距离的6倍的和.
（1）将y表示成x的函数；
（2）要使y的值不超过70，x 应该在什么范围内取值？
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
第- 7 -页 | 共7页
