2009年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷）
数学（理工农医类）
第I卷
一， 选择题：（本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中
，中有一项是符合题目要求的。
（1） 已知集合A= 1,3,5,7,9,B=0,3,6,9,12 ,则A C B=
I N
(A)
1,5,7
(B)
3,5,7
(C)
1,3,9
(D)
1,2,3
3+2i 3-2i
(2) 复数 - =
2-3i 2+3i
（A）0 （B）2 （C）-2i (D)2
（3）对变量x, y 有观测数据理力争（x ，y ）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u ，v
1 1
有观测数据（u ，v ）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断。
1 1
（A）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关
（C）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关
x2 y2
（4）双曲线 - =1的焦点到渐近线的距离为
4 12
（A）2 3 （B）2 （C） 3 （D）1
（5）有四个关于三角函数的命题：
x x 1
p ：$xÎR, sin2 +cos2 = p : $x、yÎR, sin(x-y)=sinx-siny
1 2 2 2 2
1-cos2x p
p : "xÎ0,p , =sinx p : sinx=cosyÞx+y=
3 2 4 2
第- 1 -页 | 共14页其中假命题的是
（A） p ， p （B） p ， p （C） p ， p （D） p ， p
1 4 2 4 1 3 2 4
ì2x+ y³4
ï
（6）设x,y满足íx- y³-1,则z = x+ y
ï
x-2y£2
î
（A）有最小值2，最大值3 （B）有最小值2，无最大值
（C）有最大值3，无最小值 （D）既无最小值，也无最大值
（7）等比数列a 的前n项和为s ，且4a ，2a ，a 成等差数列。若a =1，则s =
n n 1 2 3 1 4
（A）7 （B）8 （C）15 （D）16
（8） 如图，正方体ABCD-ABC D 的棱线长为1，线段
1 1 1 1
2
BD 上有两个动点E，F，且EF = ，则下列结论中
1 1 2
错误的是
（A）AC ^ BE
（B）EF //平面ABCD
（C）三棱锥A-BEF 的体积为定值
（D）异面直线AE,BF 所成的角为定值
（9）已知O，N，P在DABC所在平面内，且 OA = OB = OC ,NA+NB+NC =0，且
PA·PB= PB·PC = PC·PA，则点O，N，P依次是DABC的
（A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心
（C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
（10）如果执行右边的程序框图，输入x=-2,h=0.5，那么输出的各个数的合等于
第- 2 -页 | 共14页（A）3 （B） 3.5 （C） 4 （D）4.5
（11）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm2）为
（A）48+12 2 （B）48+24 2 （C）36+12 2 （D）36+24 2
（12）用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值
设f（x）=min{2x, x+2,10-x} (x³ 0),则f（x）的最大值为
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
第II卷
二、填空题；本大题共4小题，每小题5分。
（13）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点
。若AB的中点为（2，2），则直线i的方程为_____________.
（14）已知函数y=sin（ wx+j）（w>0, -
p£j<p）的图像如 图所示，则 j=________________
第- 3 -页 | 共14页（15）7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排3人，则不同
的安排方案共有________________种（用数字作答）。
（16）等差数列{a }前n项和为S 。已知a +a -a2 =0，S =38,则m=_______
n n m-1 m+1 m 2m-1
三、解答题：解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同
一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方
案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计
算M，N间的距离的步骤。
（18）（本小题满分12分）
某工厂有工人1000名，
其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训(称为B类
工人），现用分层抽样方法（按A类、B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调
查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）。
（I）求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A类工人，乙为B类工人；
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（II）从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽插结果分别如下表1和表2.
表1：
生产能力分 100,110 110,120 120,130 130,140 140,150
组
人数 4 8 x 5 3
表2：
生产能力分组 110,120 120,130 130,140 140,150
人数 6 y 36 18
第- 4 -页 | 共14页（i）先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A类工人中
个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方
图直接回答结论）
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（ii）分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平
均数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（19）（本小题满分12分）
如图，四棱锥S-ABCD
的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的 2 倍，P为侧棱SD上的点。
（Ⅰ）求证：AC⊥SD；
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；
若不存在，试说明理由。
第- 5 -页 | 共14页（20）（本小题满分12分）
已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离
分别是7和1.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
OP
（Ⅱ）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点， =λ，求点M的轨迹
OM
方程，并说明轨迹是什么曲线。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（21）（本小题满分12分）
已知函数 f(x)=(x3 +3x2 +ax+b)e-x
（I） 如a=b=-3，求 f(x)的单调区间；
（II） 若 f(x)在(-¥,a),(2,b)单调增加，在(a,2),(b,+¥)单调减少，证明
b-a＜6.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一
题记分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
（22）本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
第- 6 -页 | 共14页如图，已知DABC的两条角平分线AD和CE相交于H，ÐB=600，F在AC上，
且AE = AF 。
（I） 证明：B,D,H,E四点共圆：
（II） 证明：CE平分ÐDEF。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程。
ìx=-4+cost, ìx=8cosq,
已知曲线C ：í （t为参数）， C ：í （q为参数）。
1 îy =3+sint, 2 îy =3sinq,
（1）化C ，C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
1 2
p
（2）若C 上的点P对应的参数为t = ，Q为C 上的动点，求PQ中点M 到直线
1 2 2
ìx=3+2t,
C :í （t为参数）距离的最小值。
3 îy =-2+t w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
如图，O为数轴的原点，A,B,M为数轴上三点，C为线段OM上的动点，设x表示C与原点的距
离，y 表示C到A距离4倍与C道B距离的6倍的和.
（1）将y表示成x的函数；
（2）要使y的值不超过70，x 应该在什么范围内取值？
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
2009年普通高校招生全国统一考试
第- 7 -页 | 共14页理数数学试题参考答案
一．选择题
(1) A (2) D (3) C (4) A (5) A (6) B
(7) C (8) D (9) C (10) B (11) A (12) C
二．填空题
9
(13) y = x (14) p (15) 140 (16) 10
10
三．解答题
(17) 解：
方案一：①需要测量的数据有：A
点到M，N点的俯角a,b；B点到M，
1 1
N的俯角a,b；A，B的距离 d （如图）
2 2
所示） . ……….3分
dsina
②第一步：计算AM . 由正弦定理AM = 2 ；
sin(a+a)
1 2
dsinb
第二步：计算AN . 由正弦定理AN = 2 ；
sin(b -b)
2 1
第三步：计算MN. 由余弦定理MN = AM2 + AN2 -2AM ´ANcos(a-b) .
1 1
方案二：①需要测量的数据有：
A点到M，N点的俯角a，b；B点到M，N点的府角a ，b ；A，B的距离 d
1 1 2 2
（如图所示）.
dsina
②第一步：计算BM . 由正弦定理BM = 1 ；
sin(a+a)
1 2
dsinb
第二步：计算BN . 由正弦定理BN = 1 ；
sin(b -b) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
2 1
第三步：计算MN . 由余弦定理MN = BM2 +BN2 -2BM ´BNcos(b +a)
2 2
(18) 解：
第- 8 -页 | 共14页1
（Ⅰ）甲、乙被抽到的概率均为 ，且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”相互
10
独立，故甲、乙两工人都被抽到的概率为
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
1 1 1
p= ´ = .
10 10 100
（Ⅱ）（i）由题意知A类工人中应抽查25名，B类工人中应抽查75名.
故 4+8+x+5=25，得x=5，
6+ y+36+18=75，得y =15 .
频率分布直方图如下
从直方图可以判断：B类工人中个体间的关异程度更小 .
uur 4 8 5 5 3
（ii） x = ´105+ ´115+ ´125+ ´135+ ´145=123，
A 25 25 25 25 25
uur 6 15 36 18
x = ´115+ ´125+ ´135+ ´145=133.8，
B 75 75 75 75
r 25 75
x= ´123+ ´133.8=131.1
100 100
A类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的平均数的
会计值分别为123，133.8和131.1 .
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（19）解法一：
（Ⅰ）连BD，设AC交BD于O，由题意SO^ AC。在正方形ABCD中，AC ^ BD，所以
AC ^平面SBD,得AC ^SD.
(Ⅱ)设正方形边长a，则SD= 2a。
2
又OD= a，所以ÐSOD=600,
2
连OP，由（Ⅰ）知AC ^平面SBD,所以AC ^OP,
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
第- 9 -页 | 共14页且AC ^OD,所以ÐPOD是二面角P-AC-D的平面角。
由SD^平面PAC,知SD^OP,所以ÐPOD=300,
即二面角P-AC-D的大小为300。
（Ⅲ）在棱SC上存在一点E，使BE//平面PAC
2
由（Ⅱ）可得PD= a，故可在SP上取一点N ,使PN = PD,过N 作PC的平行线
4
与SC的交点即为E。连BN。在 BDN 中知BN //PO，又由于NE//PC,故平面
V
BEN //平面PAC ，得BE//平面PAC,由于SN：NP=2：1,故SE：EC =2：1.
解法二：
（Ⅰ）；连BD,设AC交于BD于O，由题意知SO^平面ABCD.以O为坐标原点，
OB，OC，OS分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系O-xyz如图。
6
设底面边长为a，则高SO= a。
2
6 2
于是 S(0,0, a),D(- a,0,0)
2 2
2
C(0, a,0)
2
2
OC =(0, a,0)
2
2 6
SD=(- a,0,- a)
2 2
OC×SD=0
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
故 OC ^SD
从而 AC ^SD
2 6
(Ⅱ)由题设知，平面PAC 的一个法向量DS =( a,0, a)，平面DAC的一个法向量
2 2
第- 10 -页 | 共14页6 OS×DS 3
OS =)0,0, a)，设所求二面角为q，则cosq= = ,所求二面角的大小为
2 OS DS 2
300
（Ⅲ）在棱SC上存在一点E使BE//平面PAC.
由（Ⅱ）知DS 是平面PAC 的一个法向量，
2 6 2 6
且 DS =（ a,0, a),CS =(0,- a, a)
2 2 2 2
设 CE =tCS,
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
2 2 6
则 BE = BC+CE = BC+tCS =(- a, a(1-t), at)
2 2 2
1
而 BE×DC =0Ût =
3
即当SE:EC =2:1时，BE ^ DS
而BE不在平面PAC 内，故BE//平面PAC
（20）解:
(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c，由已知得
ìa-c=1
í
,解得a=4,c=3，
îa+c=7 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
x2 y2
所以椭圆C的标准方程为 + =1
16 7
2
OP
（Ⅱ）设M(x,y)，其中xÎ-4,4。由已知 =l2及点P在椭圆C上可得
2
OM
9x2 +112
=l2。
16(x2 + y2)
整理得(16l2 -9)x2 +16l2y2 =112，其中xÎ-4,4。
3
（i）l= 时。化简得9y2 =112
4 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
4 7
所以点M 的轨迹方程为y =± (-4£ x£4)，轨迹是两条平行于x轴的线段。
3
第- 11 -页 | 共14页3 x2 y2
（ii）l¹ 时，方程变形为 + =1，其中xÎ-4,4
4 112 112
16l2 -9 16l2
3
当0<l< 时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足-4£ x£4
4
的部分。
3
当 <l<1时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足-4£ x£4的部
4
分；
当l³1时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆；
（21）解：
（Ⅰ）当a=b=-3时， f(x)=(x3 +3x2 -3x-3)e-x，故
f '(x)=-(x3+3x2 -3x-3)e-x +(3x2 +6x-3)e-x
=-e-x(x-3-9x)
=-x(x-3)(x+3)e-x
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
当x<-3或 0< x<3时，f '(x)>0;
当-3< x<0或x>3时，f '(x)<0.
从而 f(x)在(-¥,-3),(0,3)单调增加，在（-3，0），（3，+¥）单调减少.
(Ⅱ) f '(x)=-(x3+3x2 +ax+b)e-x +(3x2 +6x+a)e-x =-e-x[x3 +(a-6)x+b-a].
由条件得： f '(2)=0,即23 +2(a-6)+b-a =0,故b=4-a,从而
f '(x)=-e-x[x3 +(a-6)x+4-2a].
因为 f '(a)= f '(b)=0,所以
x3+(a-6)x+4-2a=(x-2)(x-a)(x-b)
=(x-2)(x2 -(a+b)x+ab).
将右边展开，与左边比较系数得，a+b=-2,ab=a-2.故
b-a= (b+a)2 -4ab= 12-4a.
第- 12 -页 | 共14页又(b-2)(a-2)<0,即ab-2(a+b)+4<0.由此可得a<-6.
于是b-a>6.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（22）解：
（Ⅰ）在△ABC中，因为∠B=60°，
所以∠BAC+∠BCA=120°.
因为AD，CE是角平分线，
所以∠HAC+∠HCA=60°，
故∠AHC=120°.
于是∠EHD=∠AHC=120°.
因为∠EBD+∠EHD=180°，
所以B,D,H,E四点共圆.
（Ⅱ）连结BH,则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD=30°
由（Ⅰ）知B,D,H,E四点共圆，
所以∠CED=∠HBD=30°.
又∠AHE=∠EBD=60°，由已知可得EF⊥AD，
可得∠CEF=30°.
所以CE平分∠DEF.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（23）解：
x2 y2
（Ⅰ）C :(x+4)2 +(y-3)2 =1,C : + =1.
1 2 64 9
C 为圆心是（-4,3)，半径是1的圆.
1
C 为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.
2
p 3
（Ⅱ）当t = 时，P(-4,4).Q(8cosq,3sinq),故M(-2+4cosq,2+ sinq).
2 2
5
C 为直线x-2y-7=0,M到C的距离d = |4cosq-3sinq-13|.
3 3 5
4 3 8 5
从而当cosq= ,sinq=- 时，d取得最小值 .
5 5 5
（24）解：
（Ⅰ）y =4|x-10|+6|x-20|,0£ x£30.
（Ⅱ）依题意，x满足
{
4|x-10|+6|x-20|£70,
0£ x£30.
解不等式组，其解集为【9，23】
第- 13 -页 | 共14页所以 xÎ[9,23].
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
第- 14 -页 | 共14页
