2009年高考数学试卷（理）（广东）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2009·高考数学真题

绝密★启用前 试卷类型：B 2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（理科） 本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签宇笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题 卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码 粘贴处”。 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置 上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求 作答的答案无效。 4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的， 答案无效。 5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 1 参考公式：锥体的体积公式V  sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高 3 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ． １．巳知全集U  R，集合M {x -2£ x-1£2}和N {x x2k-1,k 1,2, }的关系的韦恩（Ｖenn）图如 L 图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 A．３个 Ｂ．２个 Ｃ．１个 Ｄ．无穷个 ２．设z是复数，a(z)表示满足zn 1的最小正整数n，则对虚数 单位i，a(i) Ａ．８ Ｂ．６ Ｃ．４ Ｄ．２ ３．若函数y  f(x)是函数y ax(a >0,且a ¹1)的反函数，其图像经过点( a,a)，则 f(x) 1 Ａ．log x Ｂ．log x Ｃ． Ｄ．x2 2 1 2x 2 3。 ４．巳知等比数列{a }满足a >0,n1,2, ，且a ×a 22n(n³3)，则当n³1时， n n L 5 2n-5 log a +log a + +log a  2 1 2 3 L 2 2n-1 Ａ．n(2n-1) Ｂ．(n+1)2 Ｃ．n2 Ｄ．(n-1)2 4 5．给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行； ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是 Ａ．①和② Ｂ．②和③ Ｃ．.③和④ Ｄ．②和④ 6．一质点受到平面上的三个力F,F ,F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知F,F 成600角，且F,F 1 2 3 1 2 1 2 第1页 | 共12页的大小分别为２和４，则F 的大小为 3 Ａ．６ Ｂ．２ Ｃ．2 5 Ｄ．2 7 A 7．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗 F 、小王五名志愿 1 者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同 工作，若其中小 D 张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项 C F 3 O 工作，则不同的 F 选派方案共有 2 B Ａ．36种 Ｂ．12种 Ｃ．18种 Ｄ．48种 8．已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为 直线）行驶． 甲车、乙车的速度曲线分别为v 和v （如图2所示）．那么对于 图中给定的 甲 乙 t 和t ，下列判断中一定正确的是 0 1 A．在t 时刻，甲车在乙车前面 1 B．t 时刻后，甲车在乙车后面 1 C．在t 时刻，两车的位置相同 0 D．t 时刻后，乙车在甲车前面 0 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（９～１２题） ９．随机抽取某产品n件，测得其长度分别为a ,a , ,a ，则图3所示的程序框图输出的s  1 2 L n ，表示的样本的数字特征是 ．（注： 框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”） １０．若平面向量a,b满足 a+b 1，a+b平行于x轴， b(2,-1)，则a ． 3 11．巳知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为 ，且 2 G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程 为 _________________ ． 12．已知离散型随机变量X 的分布列如右表．若EX 0，DX 1，则a ，b ． （二）选做题（13 ~ 15题，考生只能从中选做两题） 13．（坐标系与参数方程选做题）若直线 x1-2t, xs, l : (t为参数)与直线l : （s为参数 ）垂直，则 1 y 2+kt. 2 y 1-2s. k  ． x+1 14．（不等式选讲选做题）不等式 ³1的实数解为 ． x+2 第2页 | 共12页15．(几何证明选讲选做题）如图4，点A,B,C是圆O上的点， 且AB4,ACB450，则圆O的面积等于 ． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程 和演算步骤， 16．(本小题满分12分）  已知向量a (sin,-2)与b(1,cos)互相垂直，其中(0, )． 2 （1）求sin和cos的值； 10  （2）若sin(-) ,0 ，求cos的值． 10 2 17．（本小题满分12分） 根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表: 对某城 市一年（365 天）的空气质 量进行监测， 获得API数据 按照区间 [0,50],(50,100],(100,150],(150,200],(200,250],(250,300] 进行分组，得 到频率分布直方图如图5 （1）求直方图中x的值； （2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数 ； （3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微 污染的 概率. (结果用分数表示．已知57 78125,27 128, 3 2 7 3 8 123 + + + +  , 1825 365 1825 1825 9125 9125 365735） 18．（本小题满分１４分） 如图６，已知正方体ABCD-ABC D 的棱长为２， 点Ｅ是 1 1 1 1 正方形BCC B 的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱C D,AA 的中点．设点E ,G 分别是点Ｅ、Ｇ在平面DCC D 内的正 1 1 1 1 1 1 1 1 1 投影． （１）求以Ｅ为顶点，以四边形FGAE在平面DCC D 内 1 1 的正投影为底面边界的棱锥的体积； （２）证明：直线FG 平面FEE ； 1 1 （３）求异面直线EG与EA所成角的正弦值 1 1 19．（本小题满分１４分） 第3页 | 共12页已知曲线C: y  x2与直线l:x- y+20交于两点A(x ,y )和B(x ,y )，且x  x ．记曲线C在点A A A B B A B 和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．设点P(s,t)是L上的任一点，且点P与点 A和点B均不重合． （１）若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M 的轨迹方程； 51 （２）若曲线G:x2 -2ax+ y2 -4y+a2 + 0与D有公共点，试求a的最小值． 25 20．（本小题满分１４分） 已知二次函数y  g(x)的导函数的图像与直线y 2x平行，且y  g(x)在x-1处取得极小值 g(x) m-1(m¹0)．设 f(x) ． x （１）若曲线y  f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为 2 ，求m的值； （２）k(kR)如何取值时，函数y  f(x)-kx存在零点，并求出零点． 21．（本小题满分１４分） 已知曲线C :x2 -2nx+ y2 0(n1,2, )．从点P(-1,0)向曲线C 引斜率为k (k >0)的切线l ，切点 n  n n n n 为P (x ,y )． n n n （１）求数列{x }与{y }的通项公式； n n 1-x x （２）证明：x ×x ×x × ×x  n  2sin n 1 3 5 L 2n-1 1+x y n n 第4页 | 共12页答 案 1.解：M {x|-1£ x £3}，N {1,3,5, }，所以 M N {1,3} L  故，选B 2. 解：因为i2  -1 ，i3  -i， i4 1，所以满足in 1的最小正整数n的值是4。故，选C .解：由函数y＝f(x)是函数y ax(a >0,且a ¹1)的反函数，可知 f(x) log x， a 1 又其图像经过点( a,a)，即log a  a，所以a= , f(x) log x。故答B a 2 1 2 。解：在a ×a 22n(n³3)中，令n=5,得a 2  210 (25)2，令n=3,得a ×a  26， 5 2n-5 5 5 1 又a >0,n1,2, ，所以a  25，a  2，从而解得，公比q  2，a  2n， n L 5 1 n a  22n-1，log a  2n-1， 2n-1 2 2n-1 n(1+2n-1) 所以log a +log a + +log a 1+3+…+（2n-1）=  n2 2 1 2 3 L 2 2n-1 2 5.解： 显然 ①和③是假命题，故否定A,B,C, 答 D. 6.解：依题意，可知F +F +F 0，所以F  -(F +F )， 1 2 3 3 1 2 2 2 2 2 1 F  F +F (F +F )2  F + F +2F × F cos60o=22 +42 +224 =28. 3 1 2 1 2 1 2 1 2 2 所以，力F 的大小为 F  28  2 7 ， 答D。 3 3 7。解：若小张和小赵两人都被选中，则不同的选派方案有A2 ×A2 12种， 2 3 若小张和小赵两人只有一人都被选中，则不同的选派方案有C1C1 ×A3  24种， 2 2 3 故， 总的不同的选派方案共有12+24=36种。 答A。 t 8. 解：因为速度函数v(t)是路程函数s(t)的导函数，即s(t) v(t)，所以s(t)   v(t)dt， 0 根据定积分的定义，比较图中速度曲线v 和v 分别与x轴及直线t t ，t t 甲 乙 0 1 围成的图形的面积，即可看出，应选A。 9.解：记i  k时求得的S值为S ,记初始值为S 0, k 0 0S +a a 1S +a a +a 则S  0 1  1 ,S  1 2  1 2 , 1 1 1 2 2 2 2S +a a +a +a S  2 3  1 2 3 ,……, 3 3 3 (n-1)S +a a +a + +a S  n-1 n  1 2 L n n n n a +a + +a 故,答案为(1) 1 2 L n ；(2)这n件产品的平均长度。 n 10。解：设a (x,y)，则a+b (x+2,y-1)，依题意，得   (x+2)2 +(y-1)2 1 x  -1 x  -3  ，解得 或 ，所以a (-1,1)或a (-3,1)。  y-10 y 1 y 1 答： (-1,1)或(-3,1)。 x2 y2 11.解：设椭圆G的方程为 + 1(a >b >0)，焦半径为c, a2 b2 第5页 | 共12页c 3 依题意，得2a=12，且  ， 解得a=6，c=3 3, 所以b2  a2 -c2 36-27 9 a 2 x2 y2 所以， 椭圆G的方程为 + 1。 36 9 12。解：依题意，得  1  5 a+b+c+ 1 a    12 12    1  1 -a+0+c+2 0，解得b  12 4    1  1 a+0+c+22  1 c     12  4 5 1 答： ； 12 4 x1-2t, k 13．解：直线l : (t为参数)化为普通方程是y-2 - (x-1)， 1 y 2+kt. 2 k 该直线的斜率为- ， 2 xs, 直线l : （s为参数）化为普通方程是y  -2x+1， 2 y 1-2s. 该直线的斜率为-2，  k   则由两直线垂直的充要条件，得- × -2  -1， k  -1。  2 x+1 x+1 ³ x+2 (x+1)2 ³(x+2)2 2x+3£0 14。解： ³1      x+2 x+2¹ 0 x ¹ -2 x ¹ -2 3 3 解得x £ - 且x ¹ -2。所以原不等式的解集为{x|x £ - 且x ¹ -2} 2 2 15．解法一：连结OA，OB，则∠AOB=2∠ACB=90O， 所以△AOB为等腰直角三角形，又AB4， 所以，圆O的半径R=2 2，圆O的面积等于R2 (2 2)2 8 解法二：设圆O的半径为R，在△ABC中，由正弦定理， 4 得  2R，解得R=2 2， sin45o 所以，圆O的面积等于R2 (2 2)2 8 16．解：（1）∵ 向量a＝sin－2与b＝1，cos互相垂直， ’ ∴ ab sin-2cos0，即sin 2cos①， 又 sin2+cos21 ② 1 ① 代入②，整理，得cos2 ， 5   由0, ，可知cos>0，  2 5 2 5 ∴cos ，代入①得sin 5 5 5 2 5 故 cos ， sin 。 5 5 第6页 | 共12页（2）∵5cos(-) 3 5cos， ∴5(coscos+sinsin) 3 5cos  5 2 5  将（1）的结果代入其中，得5 cos+ sin 3 5cos   5 5   整理，得sincos③， 又sin2+cos21④ 1 ③代入④，整理，得cos2 2  由0 ，可知cos>0， 2 2 所以，解得cos 。 2 17.解：（1）因为，在频率分布直方图中，各个小矩形的面积之和等于1，  3 2 7 3 8  依题意，得 + x+ + + + 501 1825 365 1825 1825 9125 3 2 7 3 8 123 又 + + + +  1825 365 1825 1825 9125 9125 1 123 119 所以 x  -  。 50 9125 18250 119 （2）一年中空气质量为良和的天数为 365 50119 （天）； 18250 2 一年中空气质量为轻微污染的天数为 365 50100 （天）； 365 （3）由（2）可知，在一年之中空气质量为良或轻微污染的天数共有119+100=219（天） 219 3 所以，在一年之中的任何一天空气质量为良或轻微污染的概率是 p   ， 365 5 3 设一周中的空气质量为良或轻微污染的天数为ξ，则ξ~B（7， ） 5 k 7-k 3  3 P( k) Ck  1-  ，（k=0,1,2,…,7） 7 5  5 设“该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染”为事件A，则 0 7 1 6 3  3 3  3 P(A) 1-P(0)-P(1)=1- C0  1-  -C1  1-  7 5  5 7 5  5 2 7 3 2 6 27 +2126 128+1344 76653 =1-  -7   =1- 1-  . 5 5 5 57 78125 78125 18.(1)解：∵点D,E ,G 分别是点A,Ｅ,Ｇ在平面DCC D 内的正投影． 1 1 1 1 ∴四边形FGAE在平面DCC D 内的正投影为四边形FG DE 1 1 1 1 1 1 S  22 - 21-( 11)2 2 FG 1 DE 1 2 2 又EE ⊥平面 DCC D ，且EE 1 1 1 1 1 所以，所求锥体的体积为 1 1 2 V = S ×EE  21 E-FG 1 DE 1 3 FG 1 DE 1 1 3 3 （２）证明：∵EE ⊥平面 DCC D ，FG 平面 DCC D ， 1 1 1 1 1 1 ∴EE ⊥FG 1 1 ∵在正方形DCC D 中，E ,F,G 分别是CC ,C D ,D D的中点， 1 1 1 1 1 1 1 1 第7页 | 共12页∴E C C F  FD  DG 1， 1 1 1 1 1 1 E FC G FD  450 1 1 1 1 ∴E FG 90O 1 1 ∴E F ⊥FG 1 1 又EE ∩E F =E 1 1 1 ∴FG 平面FEE ； 1 1 （３）设GG 的中点为H，连结EH，E G 1 1 1 则EH∥E G ∥CD，且EH=E G =CD=2， 1 1 1 1 ∠AEH就是异面直线EG与EA所成角 1 1 又CD⊥平面AA DD ， 1 1 ∴EH⊥平面AA DD 1 1 在RT△AEH中，EH =2，AH= 2 ，所以EA= 6 AH 2 3 所以，异面直线EG与EA所成角的正弦值为sinAEH    。 1 1 EA 6 3 解法2：（1）依题作点E、G在平面DCC D 内的正投影E 、G ，则E 、G 分别为CC 、DD 的中点，连结 1 1 1 1 1 1 1 1 EE 、EG 、ED、DE ，则所求为四棱锥E-DE FG 的体积，其底面DE FG 面积为 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S  S +S   2 2 + 12 2， DE 1 FG 1 RtE 1 FG 1 RtDG 1 E 1 2 2 1 2 又EE 面DE FG ，EE 1，∴V  S ×EE  . 1 1 1 1 E-DE 1 FG 1 3 DE 1 FG 1 1 3 （2）以D为坐标原点，DA、DC 、DD 所在直线分别作x轴，y轴，z轴，得E (0,2,1)、G (0,0,1)，又 1 1 1 G(2,0,1)，F(0,1,2)，E(1,2,1)，则FG (0,-1,-1)，FE (1,1,-1)，FE (0,1,-1)， 1 1 ∴FG ×FE 0+(-1)+10，FG ×FE 0+(-1)+10，即FG  FE，FG  FE ， 1 1 1 1 1 1 又FE FE  F ，∴FG 平面FEE . 1 1 1 E G ×EA 2 （3）E G (0,-2,0)，EA(1,-2,-1)，则cos E G ,EA> 1 1  ，设异面直线EG与EA所成 1 1 1 1 1 1 E G EA 6 1 1 2 3 角为，则sin 1-  . 3 3 y  x2 x  -1 x  2 19.解：（1）解曲线C与直线l的联立方程组 ,得 1 , 2 , x- y+20  y 1  y  4 1 2 又x  x ，所以点A，B的坐标分别为A(-1,1),B(2,4) A B ∵点Q是线段AB的中点 1 5 ∴点Q的坐标为Q ,  2 2 ∵点P(s,t)是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合． ∴t  s2 ， 即P(s,s2)，且-1 s  2 设线段PQ的中点为M (x,y),  1 +s  2 x   2 则点M的轨迹的参数方程为 （s为参数，且-1 s  2）； 5  +s2  2 y    2 第8页 | 共12页2  1 5  1 5 消去s 整理，得y  2x-  + ，且-  x    4 4  4 4 2  1 5  1 5 所以，线段PQ的中点M 的轨迹方程是y  2x-  + ，-  x  ；  4 4  4 4 2 51 7 （２）曲线G:x2 -2ax+ y2 -4y+a2 + 0可化为  x-a 2 +  y-2 2   ， 25 5 7 它是以G(a,2)为圆心，以 为半径的圆， 5 设直线l:x- y+20与y轴相交于点E，则E点的坐标为E(0,2)； 自点A做直线l:x- y+20的垂线，交直线y=2 于点F， 在RT△EAF中，∠AEF= 450， AE  2，所以 AF  2 ， 7 ∵  2， 5 ∴当a 0且圆G与直线l相切时，圆心G必定在线段FE上， 且切点必定在线段AE上， 于是，此时的a的值就是所求的最小值。 a-2+2 7 当圆G与直线l:x- y+20相切时  ， 1+1 5 7 2 7 2 解得a  - ，或者a  （舍去） 5 5 7 2 所以，使曲线G与平面区域D有公共点的a的最小值是- ． 5 （备注：讨论圆G与直线l切点的位置的必要性。若圆G的半径大于|AF|,则圆G与直线l的切点将落在线段E A的延长线上，此时，圆G与平面区域D没有公共点，这时令圆G过点A，求出的a 的两个值，其中的那个较小的数，才是所求。） 20.解：设二次函数y  g(x)的解析式为g(x)  ax2 +bx+c(a ¹ 0) 则它的导函数为g(x)  2ax+b(a ¹ 0)， ∵ 函数g(x)  2ax+b(a ¹ 0)的图像与直线y  2x平行， ∴ 2a=2，解得a=1, 所以 g(x)  x2 +bx+c，g(x)  2x+b ∵y  g(x)在x-1处取得极小值m-1(m¹0) g(-1) 0 -2+b 0 b  2 ∴ ，即 ，解得 。 g(-1)  m-1 1-b+c  m-1 c  m g(x) m 所以 g(x)  x2 +2x+m， f(x) =x+ +2（x ¹ 0） x x  m  （1）设点点Px,x+ +2（x ¹ 0，m ¹ 0）为曲线y  f(x)上的任意一点  x   m 2 m2 则点P到点Q(0,2)的距离为 PQ  x2 +x+   2x2 + +2m  x  x2 m2 由基本不等式定理可知 2x2 + +2m ³ 2 2m +2m ， x2 第9页 | 共12页2m 当且仅当x2  时，等号“=”成立，此时 PQ = 2 2m +2m 2 min 又已知点P到点Q(0,2)的距离的最小值为 2 ，所以令 2 2m +2m  2 两边平方整理， 得 2m +m 1 当m >0时， 2m+m 1，解得m  2 -1 当m0时，- 2m+m 1，解得m  - 2 -1 所以，m的值为 2 -1或者- 2 -1； m m （2）函数令h(x)  f(x)-kx=x+ +2-kx (1-k)x+ +2（x ¹ 0） x x m 令h(x) 0，即(1-k)x+ +20（x ¹ 0）， x 整理，得(1-k)x2 +2x+m 0（x ¹ 0），① 函数h(x)  f(x)-kx存在零点，等价于方程①有非零实数根， 由m ¹ 0可知，方程①不可能有零根， m 当k=1 时，方程①变为2x+m 0，解得x  ¹ 0，方程①有唯一实数根， 2 m 此时， 函数h(x)  f(x)-kx存在唯一的零点x  ； 2 当k≠1 时，方程①根的判别式为  4-4m(1-k)，m ¹ 0 1 令  4-4m(1-k)=0，解得k 1- ， m 方程①有两个相等的实数根x  x  -m， 1 2 此时， 函数h(x)  f(x)-kx存在唯一的零点x  -m； 令  4-4m(1-k)>0，得m(1-k)<1 , 1 当m>0时，解得k >1- ， m 1 当m<0时，解得k 1- ， m 以上两种情况下，方程①都有两个不相等的实数根 -1+ 1-m(1-k) -1- 1-m(1-k) x  ，x  1 1-k 2 1-k 此时， 函数h(x)  f(x)-kx存在两个零点 -1+ 1-m(1-k) -1- 1-m(1-k) x  ，x  1 1-k 2 1-k 综上所述，函数y  f(x)-kx存在零点的情况可概括为 m 当k=1 时，函数h(x)  f(x)-kx存在唯一的零点x  ； 2 1 当k 1- 时，函数h(x)  f(x)-kx存在唯一的零点x  -m； m 1 1 当 m>0且k >1- ，或者m<0且k 1- 时，函数h(x)  f(x)-kx存在两个零点 m m 第10页 | 共12页-1+ 1-m(1-k) -1- 1-m(1-k) x  ，x  。 1 1-k 2 1-k 21.（1）解：曲线C :x2 -2nx+ y2 0(n1,2, )可化为(x-n)2 + y2  n2， n  所以，它表示以C (n,0)为圆心，以n 为半径的圆， n 切线l 的方程为y  k (x+1)， n n y  k (x+1) 联立 n ，消去y 整理，得(1+k 2)x2 +(2k 2 -2n)x+k 2 0，① x2 -2nx+ y2 0 n n n  (2k 2 -2n)2 -4k 2(1+k 2)  4n2 -4(2n+1)k 2，k >0 n n n n n n2 n 令 0，解得k 2  ， k  n 2n+1 n 2n+1 n2 2n2 n2 此时，方程①化为(1+ )x2 +( -2n)x+ 0 2n+1 2n+1 2n+1 n 整理，得  (n+1)x-n 2 0，解得x  ， x n+1 n n n 所以 y  ( +1)  2n+1 n 2n+1 n+1 n+1 n ∴数列{x }的通项公式为x  n x n+1 n 数列{y }的通项公式为y  2n+1。 n n n+1 n 1- 1-x n+1 1 （２）证明：∵ n   ， 1+ x n 2n+1 n 1+ n+1 2n-1 (2n-1)2 (2n-1)2 2n-1    2n 4n2 4n2 -1 2n+1 1 3 5 2n-1 1 3 5 2n-1 ∴x 1 ×x 3 ×x 5 × L ×x 2n-1  2  4  6  L  2n  3  5  7  L  2n+1 1 1-x = = n 2n+1 1+ x n x 1 1-x 1 1  ∵ n  = n ，又0 £  y 2n+1 1+ x 2n+1 3 4 n n x  令 n  x，则0 x  ， y 4 n x x  要证明 n  2sin n ，只需证明当0 x  时，x  2sinx恒成立即可。 y y 4 n n  设函数 f(x)  x- 2sinx，0 x  4  则 f (x) 1- 2cosx，0 x  4   ∵ 在区间0, 上 f (x) 1- 2cosx为增函数，  4   ∴当0 x  时， f (x) 1- 2cosx 1- 2cos 0， 4 4 第11页 | 共12页  ∴ f(x)  x- 2sinx在区间0, 上为单调递减函数，  4  ∴ f(x)  x- 2sinx  f(0) 0对于一切0 x  很成立， 4 1-x x x ∴ x  2sinx，即 n = n  2sin n 1+ x y y n n n 1-x x 综上，得x ×x ×x × ×x  n  2sin n 1 3 5 L 2n-1 1+x y n n 第12页 | 共12页