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NT20 第一学期高三年级 10 月联考
数学
考试说明：
1.本试卷共150分.考试时间120分钟.
2.请将各题答案填在答题卡上.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则集合 的元素个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合新定义计算即可求解.
【详解】若 ， ，
则 可能为 ，所以 的元素个数为3.
故选：C.
2. 命题 的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由命题的否定的定义即可得解.
【详解】命题 的否定是 .
故选：D.
3. 若 ，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 1 B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】由导数的定义和运算法则即可求解.
【详解】因为 ，
所以 .
故选：B.
4. 下列函数中，在区间 上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数解析式确定函数在 上的单调性判断ACD；利用导数确定单调性判断B.
【详解】对于A，当 时， ，函数 在 上单调递减，A
不 是；
对于B，当 时， ，
函数 在 上单调递增，
则函数 在 上单调递增， ，
则 ，函数 在 上单调递增，B是；
对于C，函数 在 上单调递减，C不是；
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学科网（北京）股份有限公司对于D， ，
函数 在上单调递增，
函数 在 上单调递增，
所以函数 在 上单调递减，D不是.
故选：B
5. 已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得 ，利用基本不等式，结合常数代换法即可求解.
【详解】 ，由题意得 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为4.
故选： .
6. 已知 ，则 的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】A
【解析】
【分析】利用对数运算，分离“1”之后，结合底数、真数的大小关系，画出图象进行比较即可.
【详解】由 ， ， ，
因为 ，而 ，
画出 的图象，
由图可知， ，那么 ，
则 ，则 ，即 ．
故选：A．
的
7. 已知函数 ，若 ，则实数 取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数 ，确定函数 的奇偶性，利用导数确定其单调性，进而求出 的范
围.
【详解】令函数 ， ，则 ，
因此函数 是奇函数，又 ，
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学科网（北京）股份有限公司则函数 在R上单调递减，不等式
，于是 ，即 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：B
8. 定义在 上的函数 的导数为 ，若 ， ，则下列不等式
一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设 ， ，利用导数判断单调性，利用单调性比较大小，结合题
意对选项逐一分析即可.
【详解】设 ，则 ．
已知 ，所以 ，则 在 上单调递增．
设 ，则 ．
已知 ，所以 ，则 在 上单调递减．
因为 在 上单调递增， 在 上单调递减．
对于A， ，所以 ， ，
， ，
则 ， ，
即 ，无法确定 ，故A错误；
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学科网（北京）股份有限公司对于B， ，所以 ， ， ， ，
则 ，即 ，
，即 ，
所以 ，无法确定 ，故B错误；
对于C， ，所以 ， ， ， ．
则 ，即 ，
，即 ，所以 ，故C正确；
对于D， ，所以 ，
又因为 ，则 ，
所以 ，无法确定 ，故D错误.
故选：C．
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 已知全集 ，集合 ，若 ，
，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】AC
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】利用集合的运算法则求得集合 ，再验证各个选项.
【详解】利用集合的运算法则得：
，
.
对于 A： ，故正确；
对于 B： ，故错误；
对于 C： ，故正确；
对于 D： ，故错误.
故选：AC
10. 已知关于 的不等式 的解集为 ，或 ，则（ ）
A.
B.
C. 不等式 的解集为 ，或
D. 不等式 的解集为
【答案】ABD
【解析】
【分析】由题意得 ，由此可判断AB，进一步解二次不等式可判断CD.
【详解】对于A，已知关于 的不等式 的解集为 ，或 ，
则 ，解得 ，故A正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于B， ，故B正确；
对于C， 或 ，故C错误；
对于D， ，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知函数 ，则下列说法中正确的有（ ）
A. 曲线 的对称中心为
B. 若关于 的方程 有三个实数解，则
C. 若 在 上有两个极值点，则 的最小值为2
D. 过点 作曲线 的切线，切线一共有两条
【答案】BD
【解析】
【分析】利用中心对称的性质判断A；利用导数求出函数的极值，再结合图象判断 B；由函数的极值点判
断C；利用导数求出过给定点的切线判断D.
【详解】对于A， 恒成立，函数 图象
的
对称中心为 ，而 ，A错误；
对于B， ，由 ，得 ，由 ，
得 ，函数 在 上单调递减，在 和 上单调递增，
则 的极大值为 ，极小值为 ，由关于x的方程 有三解，
得两曲线 与 有三个交点，因此 ，B正确；
对于C，由 在 上有两个极值点，且极值点为0和2，得 ，C错误；
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学科网（北京）股份有限公司对于D，设切点为 ，则切线方程为 ，
由切线过点 ，得 ，即 ，
，解得 或 ，因此切线共有两条，D正确.
故选：BD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若函数 满足 ，则 __________.
【答案】2
【解析】
【分析】令 ， ，联立式子即可求解.
【详解】令 得 ①，
令 得 ，
可得 ，代入①式得 ，
解得 .
故答案为：2.
13. 设函数 则满足 的 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】画出函数图像，结合图像讨论即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】画出 图像如图所示，
若 ，则 或 ，
解得 ，
故答案为： .
14. 已知函数 ，当 时， 的图象始终在 的图象上方，则实数
的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】把问题转化为 在 上恒成立，再构造函数 ，利用导数求出
的范围.
【详解】函数 ，由 的图象始终在 的图象上方，
得 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
当 时，恒有 成立，当 时， 恒成立；
当 时， ，令 ，
，函数 在 上单调递增，
当 ，且 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司若 ，即 时， 在 上恒成立，
函数 在 上单调递增，当 且 时， 且 ，
在
则 上恒成立，因此 ；
当 时， ， ，则存在唯一的 ，使 ，
且当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，不符合题意，
所以a的取值范围为 .
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知集合 ，集合 .
（1）若 ，求实数 的取值范围；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）由对数函数单调性求出集合 ，再利用并集的结果列式求解.
（2）由（1）的信息，利用交集的结果列式求解
【小问1详解】
由 ，解得 ， ，
由 ，得 ，而 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，解得 ，所以实数 的取值范围是 .
【小问2详解】
由（1）知 ，由 ，即 ，
当 时， ，解得 ；
当 时，则 ，无解，
所以实数 的取值范围是 .
16. 设函数 .
（1）命题 ，使得 成立.若 为假命题，求实数 的取值范围；
（2）求不等式 的解集.
【答案】（1） ；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）将问题转化为全称量词命题为真命题，再利用一元二次型不等式恒成立求解.
（2）分类讨论求解含参数的不等式.
【小问1详解】
由命题 ，使得 成立为假命题，得命题 ， 为真命题，
不等式 ，
当 时， 恒成立；
当 时， ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司不等式 ，
当 时，不等式 ，解得 ；
当 时，不等式为 ，解得 ；
当 时，不等式为 ，
当 时，解得 或 ；当 时， ；当 时，解得 或 ，
所以当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 .
17. 已知函数 .
（1）若 ，求函数 在 处的切线方程；
（2）若函数 有三个零点，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）只需求得 即可；
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学科网（北京）股份有限公司（2） ，分离参数得 ，构造函数 ，利用导数
研究函数 的单调性，进一步画图即可求解.
【小问1详解】
若 ， 的导数为 ，所以 ，
故所求切线方程为 ，即 ；
【小问2详解】
因为 ，即 不是函数的零点，所以 ，
令 ，求导得 ，
令 或 ，
令 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， ，当 时， ， ，当 时， ，
由此可作出函数 的图象，如图所示，
由题意，函数 有三个零点，结合图象可知， 的取值范围为 .
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学科网（北京）股份有限公司18. 已知 ，函数 的最大值为3，最小值为 .
（1）求 的值；
（2）若不等式 在 上有解，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ， ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用对数运算法则化简函数 ，再利用对数函数单调性及二次函数性质列式求出 .
（2）由（1）求出 并化简给定不等式，分离参数并利用对勾函数单调性求出最大值即得.
【小问1详解】
依题意， ，
由 ，得 ， ，又 ，
因此 ， ，
所以 ， .
【小问2详解】
由（1）知 ，则 ，
即 ，依题意，不等式 在 上有解，
因此 ，不等式 成立，
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学科网（北京）股份有限公司函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
而 ， ，则 ，于是 ，
所以k的取值范围是 .
19. 已知函数 .
（1）讨论函数 的极值点个数；
（2）当 时，证明： ；
（3）函数 有两个零点 ，求证： .
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，分 、 、 三种情况讨论其单调性即可；
（2）令 ，利用同构思想求证 即可；
（3）根据 得出 ，将目标转化为求 ，再
令 ，进而转化为求证 ，再构造函数求最值即可.
【小问1详解】
函数 定的义域为 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
令 ， ，
当 ，即 时， 恒成立，则 在 上单调递增，无极值点；
当 时，即 或 时，
有两个不等的实数根 ，
当 时， ， ， 得 ； 得 ；
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
则函数 有一个极小值点，无极大值点；
当 时， ， 得 或 ； 得 ；
则 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
故 为极大值点， 为极小值点，即函数 有两个极值点，
综上， 时， 无极值点；
时， 有一个极小值点，无极大值点；
时， 有一个极小值点，一个极大值点.
【小问2详解】
当 时， ，
即证 ，
令 ，即证 ，即证 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，则函数 在 上单调递增，
当 时， ；当 时， ，所以函数 的值域为 ，
令 ，其中 ，则 ，
由 可得 ，由 可得 ，
所以函数 的减区间为 ，增区间为 ，则 ，
故 ，即 ，故原不等式得证；
【小问3详解】
，
因为函数 有两个零点 、 ，不妨设 ，
则 ，所以 ，
则 ，即 ，
要证 ，即证 ，
即证 ，
令 ，即证 ，
令 ，其中 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以函数 在 上为增函数，则 ，
即 ，即 ，故原不等式得证．
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学科网（北京）股份有限公司
