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福州四校联盟 2025-2026 学年第一学期期中联考
高三数学
（完卷时间：120分钟 总分：150分）
命题：福清元洪高级中学 审核：永泰城关中学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则A B＝
A. B. (1,2) C. (2, ) D. （ ，0）
【答案】A
【解析】
【分析】解集合A与集合B，求得集合的交集即可．
【详解】解集合A可得
集合B为 }
所以A B＝
所以选A
【点睛】本题考查了集合的简单并集运算，属于基础题．
2. 设f(x)是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x(1＋x)，则 ＝（ ）
A. － B. － C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用函数的周期性和奇偶性转化 ，再利用已知条件求解即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】∵ 是周期为4的奇函数，
∴ ＝ ＝ ，
又 时， ，
.
故 ＝ ＝ ＝
故选：A.
【点睛】本题主要考查了利用函数的周期性和奇偶性求值的问题.属于容易题.
3. 已知正数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件，利用“ ”的妙用，即可求解.
【详解】因为正数 满足 ，则
，
当且仅当 ，即 时取等号，
故选：B.
4. 设向量 ， ，则（ ）
A. “ ”是“ ”的必要条件 B. “ ”是“ ”的必要条件
C. “ ”是“ ”的充分条件 D. “ ”是“ ”的充要条件
【答案】C
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据向量平行、垂直、充分和必要条件等知识确定正确答案.
【详解】若 ，则 ，解得 或 .
所以“ ”是“ ”的充分条件，不是必要条件，A选项错误.
所以“ ”是“ ”的充分条件，C选项正确.
若 ，则 ，解得 ，
所以“ ”不是“ ”的必要条件，“ ”不是“ ”的充要条件，
所以BD选项错误.
故选：C
5. 在梯形 中， ， ， ， ， ，则 （ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】将 用 来表示，再求数量积即可.
【详解】由题可知 ，所以 ，
因 ，
则
故选：C.
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学科网（北京）股份有限公司6. 已知 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用和差角的正弦公式求出 ，再利用二倍角的余弦公式计算即得.
【详解】由 ，得 ，而 ，
因此 ，
所以 .
故选：A
7. 如图，在三棱锥 中， ， ， 两两垂直， ， ， ， 为线段
上靠近 的三等分点，点 为 的重心，则点 到直线 的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可得
到结果.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】
根据题意，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则 ，
又点 为 的重心，所以 ，
则 ， ，
则 ，
则 ，
所以点 到直线 的距离为 .
故选：B
8. 已知函数 .若函数 存在零点，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对 求导，求出 的单调性和最值，函数 存在零点，即 与
的图象有交点，即可求出 的取值范围.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】 ，
令 ，解得： ；令 ，解得： ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
， ， ，
所以 的最大值为 ，最小值为 ，故 ，
函数 存在零点，即 ，
即 与 的图象有交点，所以
故选：C,
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数 的部分图象如图所示，则（ ）
的
A. 最小正周期为
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学科网（北京）股份有限公司B. 为偶函数
C. 在区间 内的最小值为1
D. 的图象关于直线 对称
【答案】AC
【解析】
【分析】由图知， 的最小正周期为 ，结论A正确；
求出 ，从而 不是偶函数，结论B错误；
因为 ， ，则 在区间 内的最小值为1，结论C正确；
因为 为 的零点，不是最值点，结论D错误.
【详解】解：由图知， 的最小正周期为 ，结论A正确；
因为 ， ，则 ．因为 为 在 内的最小零点，则
，得 ，所以 ，从而
不是偶函数，结论B错误；
因为 ， ，结合图像可得 在区间 内
的最小值为1，结论C正确；
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，则 为 的零点，不是最值点，结论D
错误.
故选：AC．
10. 已知等差数列 的前n项和为 ，若 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. 数列 是递增数列 B.
C. 当 取得最大值时， D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用等差数列的性质得出 ， ，即可逐一判断.
【详解】因数列 是等差数列，
则 ， ，
则 ， ，则 ，
则公差 （数列 是递减数列）， ， 时 取得最大值，
故A、D错误；B、C正确；
故选：BC
11. 如图，正方体 的棱长为1，E是 的中点，则（ ）
A.
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学科网（北京）股份有限公司B. 三棱锥 的体积为
C. 三棱锥 的外接球的表面积为
D. 由 ，C，E三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为
【答案】ACD
【解析】
【分析】由线面垂直的性质定理可判断A，由三棱锥的体积公式计算可判断B，由直棱锥的外接球半径计
算方法可判断C，作出过 ，C，E三点确，进而求得截面的周长判断D.
【详解】对于A，∵ ， ， ，
平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，
又 平面 ，∴ ，故A正确；
对于B：三棱锥 的体积 ，故B错误；
对于C，设三棱锥 的外接球的半径为 ，
的外接圆半径为 ， ，
在 中，由余弦定理得， ，
所以 ，则有 ，
三棱锥 的外接球的表面积为 ，故C正确.
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学科网（北京）股份有限公司对于D，如图，过 ，C，E三点确定的平面与正方体相交形成的截面为等腰梯形
（其中F为 的中点，故等腰梯形 的周长为 ，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边过点 ，则 _____
【答案】
【解析】
【分析】由三角函数的定义即可求解.
【详解】因为终边过点 ，故 ，
所以 .
故答案为：
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学科网（北京）股份有限公司13. 已知等比数列 的前 项和为 ，且 ， ，数列 的公比 ______．
【答案】
【解析】
【分析】利用等比数列前n项和公式联立方程组即可求解.
【详解】由题意可知： ，
根据等比数列的前 项公式可得： ①， ②,
.
联立①②可得 ，解得
故答案为：
14. 已知函数 有两个极值点 与 ，若 ，则实数a＝
____________.
【答案】4
【解析】
【分析】由 得 ，所以 ，根据
解方程即可求出结果．
【详解】因为函数 有两个极值点 与
由 ，则 有两根 与
所以 ，得
因为 ，
所以 ，又
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
所以
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，且 .
（1）求 的通项公式；
（2）设 为数列 的前 项和，求使得 的 的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由等差数列的前 项和公式建立方程组，解得数列的首项和公差，即可得到等差数列的通
项公式；
（2）由（1）可得等差数列的前 项和 ，然后即可得到 ，从而求出该数列的前 项和 ，然后代入
条件中的不等式，解二次不等式即可求得 的范围，根据题意即可得到其最小值.
【小问1详解】
由于 ，
故 解得
所以 .
【小问2详解】
由（1）知 ，所以 ，
则数列 是以4为首项，3为公差的等差数列；
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学科网（北京）股份有限公司所以 .
由 ，得 ，
即 ，
则 ，或 ，
又因为 ，所以 的最小值为4.
16. 平面凸四边形 中， ．
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，由勾股定理求出 ，即可得到 的正、余弦值，再求出 ，即可得到
的正、余弦值，再由两角和的余弦公式求出 ，最后由余弦定理计算可得；
（2）首先求出 ，再由锐角函数计算可得.
【小问1详解】
连接 ，由（1）知 ，
在 中易知 ．
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学科网（北京）股份有限公司在 中，由 ，得 ，
易知 ．
．
在 中由余弦定理得：
，
；
【小问2详解】
连接 ，在 中，由 ．
得 ，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司在 中，由 知 ．
17. 在三棱锥 中，侧面 是边长为2的等边三角形， ， ， .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求平面 与平面 的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
的
【分析】（1）取 中点为 ，连接 ，通过证明 平面 ，即可解决问题；
（2）建系求得平面法向量，代入夹角公式即可.
【小问1详解】
取 的中点为 ，连接 ，
因为 是边长为2的等边三角形，所以 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司在直角三角形 中， ， 为 中点，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，即 ，又 为平面 内两条相交直线，
所以 平面 ，又 在平面 内，
所以平面 平面 .
【小问2详解】
由（1）知过 作 的平行线作为 轴， 分别为 轴，
则 ，
所以 ， ,
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，可得 ，
设平面 的法向量为 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，即 ，
令 ，可得 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 .
18. 已知 ，且曲线 在点 处的切线方程为 .
（1）求 的值；
（2）设 的导函数为 ，求 的单调区间；
（3）证明：当 时， .
【答案】（1）
（2）单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出函数的导函数，根据 计算可得；
（2）求出 的解析式，从而求出其导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；
（3）由（2）可得 的单调性，结合零点存在性定理得到 ，使得 ，即可得到
的单调性，从而求出 ，即可得证.
【小问1详解】
因为 ，所以 ，
因为曲线 在点 处的切线方程为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，解得 ；
【小问2详解】
由（1）可得 ，所以 ，
则 ，定义域为 ，
所以 ，
因为 ，令 ，即 ，解得 ；
令 ，即 ，解得 ，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
【小问3详解】
由（2）可知 在 上单调递增，
又 ， ，
又 ，
所以 ，即 ，
所以 ，使得 ，
所以当 时 ，即 ，所以 在 上单调递减；
当 时 ，即 ，所以 在 上单调递增；
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学科网（北京）股份有限公司又 ， ，
所以 ，
所以当 时， .
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
19. 若数列 满足 ，则称 为“阶跃数列”.
（1）若 ，判断 是否为“阶跃数列”；
（2）在“阶跃数列” 中，若 ，求实数 的取值范围；
（3）记“阶跃数列” 的前 项和为 ，证明：数列 是“阶跃数列”.
【答案】（1） 为“阶跃数列”；
（2） .
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据“阶跃数列”的定义，证明 即可；
（2）根据“阶跃数列”的定义可得 恒成立，令 ，利用数列单调性求出 的最大值即可；
（3）先根据“阶跃数列”的定义，结合放缩法、累加法证明 ，再证明
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学科网（北京）股份有限公司即可.
【小问1详解】
令 ，则 ，
所以 ，即 ，所以 为“阶跃数列”；
【小问2详解】
令 ，
则 ，
又 为“阶跃数列”，所以 ，
所以 ，即 ，
令 ，则 ，所以 为递减数列，
所以当 时， 取到最大值1，所以 .
【小问3详解】
因为 为“阶跃数列”，所以 ，即 ，
所以
所以 .
当 时， ，
整理得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 ；
当 时，
所以对 ，即数列 是“阶跃数列”.
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学科网（北京）股份有限公司
