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2024 高考数学
点睛密卷
新高考 I 卷(B)
高中数学终极冲刺必备资料
以基为本 一单在手 数学无忧
绝密★启用前
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2024 年高考数学点睛密卷(新高考 I 卷 B)
数 学
本试卷共5页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用 2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡
右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答
案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在
试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目
指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；
不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．已知复数z满足iz+4=3i，则复数z在复平面内对应的点位于
2
( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知圆 C : x 2 + 2 x + y 2 − 1 = 0 ，直线 l : x + n ( y − 1 ) = 0 与圆C( )
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
3．小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若
两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为 ( )
A．48 B．32 C．24 D．16
4．已知D是 △ A B C
1
的AB边上一点，若AD= DB，
2
C D C A C B ( , ) = + R ，则 − =
( )
A．
2
3
B．
1
3
1
C．0 D．−
33
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5．已知函数
3
f ( x ) s in x b c o s x ( 0 ) = + 的最小正周期为 ，且 f ( x ) 的图象关于直线 x =
8
对称，则 b 的值为 ( )
A． −
2
2
B． − 1 C．
2
2
D．1
6．若 a = 0 .7 ， b = e − 0 .3 ，c=ln1.7，则 a ， b ， c 的大小关系为 ( )
A． b a c B． b c a C． c a b D． a b c
7．已知抛物线 C : y 2 = 2 p x ( p 0 ) 的焦点为F ，斜率为 k 的直线 l 经过点F ，并且与抛物线
C 交于A，B两点，与 y 轴交于点M ，与抛物线的准线交于点 N ，若 A F = 2 M N ，则 k =
( )
A． 3 B． 2 C． 2 D． 3
8．在菱形 A B C D 中，AB=2， A C = 2 3 ，将 △ A B D 沿对角线 B D 折起，使点 A 到达 A 的
位置，且二面角 A − B D − C 为直二面角，则三棱锥 A − B C D 的外接球的表面积为 ( )
A．
5
3
B．
1 6
3
C．
2 0
3
D．
1 0 0
9
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知等差数列 { a
n
} 的前n项和为 S
n
， a
2
= 4 ， S
5
= 3 5 ，则 ( )
A． n a
n
的最小值为1 B． n S
n
的最小值为1
C．
S
n
n
为递增数列 D．
a
n
n2
为递减数列
10．已知函数 f ( x ) = e x ( x 2 − x + 1 ) ，则下列选项正确的有 ( )
A．函数 f(x)的极小值为1
B．函数 f(x)在 ( − 1 , + ) 上单调递增
C．当 x [ − 2 , 2 ] 时，函数 f ( x ) 的最大值为 3 e 2
3
D．当k 时，方程
e
f ( x ) = k 恰有3个不等实根4
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11．围棋是古代中国人发明的最复杂的智力博弈游戏之一．东汉的许慎在《说文解字》中说
“弈，围棋也”，因此，“对弈”在当时特指下围棋，现甲与乙对弈三盘，每盘赢棋的概率是
p ，其中甲只赢一盘的概率低于甲只赢两盘的概率．甲也与丙对弈三盘，每盘赢棋的概率
1
是p ，而甲只赢一盘的概率高于甲只赢两盘的概率．若各盘棋的输赢相互独立，甲与乙、
2
丙的三盘对弈均为只赢两盘的概率分别是
4
P ( A ) 和 P ( B ) ，则以下结论正确的是( )
A． 0 p
2
1
2
p
1
1
B．当 p + p =1时，P(A)P(B)
1 2
C． p
1
( 0 ,1 ) ，使得对 p
2
( 0 ,1 ) ，都有 P ( A ) P ( B )
D．当 P ( A ) = P ( B ) 时， p 21 + p
1
p
2
+ p 22
4
3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若 s in
6
4
5
−
= ，则 c o s 2
2
3
+
= ．
13．已知 x 6 = a
0
+ a
1
( x + 1 ) + a
2
( x + 1 ) 2 + + a
6
( x + 1 ) 6 ，则
a
12 +
a
2
22 + +
a
2
66 = ．
14．已知椭圆 C :
x
4
2
+
y
3
2
= 1 ， F
1
， F
2
为 C 的左、右焦点， P 为 C 上的一个动点(异于左右顶
点)，设 △ F
1
P F
2
的外接圆面积为 S
1
，内切圆面积为 S
2
，则 S
1
+ 2 S
2
的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．(13分)已知数列{a }的前
n
n 项和为 S
n
，且 S
n
= 2 a
n
− 2 ( n N * ) ．
(1)求数列 { a
n
} 的通项公式；
1 1
(2)若b =log a ，c = ，求证：c +c +c + +c ．
n 2 2n−1 n bb 1 2 3 n 2
n n+15
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16．(15分)某小区在2024年的元旦举办了联欢会，现场来了1000位居民．联欢会临近结束
时，物业公司从现场随机抽取了20位幸运居民进入摸奖环节，这20位幸运居民的年龄用随
机变量
5
X 表示，且 X ~ N ( 4 5 , 2 2 5 ) ．
(1)请你估计现场年龄不低于60岁的人数(四舍五入取整数)；
(2)奖品分为一等奖和二等奖，已知每个人摸到一等奖的概率为 4 0 % ，摸到二等奖的概率为
6 0 % ，每个人摸奖相互独立，设恰好有n(0 n 20)个人摸到一等奖的概率为P(n)，求当P(n)
取得最大值时 n 的值．
附：若 X ~ N ( , 2 ) ，则 P { | X | } 0 .6 8 2 7 − = ， P { | X | 2 } 0 .9 5 4 5 − = ．
17．(15分)如图，在四棱锥 P − A B C D 中， P A ⊥ 平面 A B C D ，AD⊥CD， A D ∥ B C ，
P A = A D = C D = 3 ，BC=4，点 E 在棱 P D 上，且
P
E
E
D
= 2 ， F 为棱 P C 的中点．
(1)求证： C D ⊥ 平面 P A D ；
(2)设平面 A E F 与棱 P B 交于点 G ，求
P
P
G
B
的值．
18. (17 分)已知椭圆 C :
x
a
2
2
+
y
b
2
2
= 1 ( a b 0 ) 的离心率是
1
2
，点 Q 在椭圆上，且 | Q F
1
|= 2 ，
F Q1 F
2
= 6 0 ．
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)如图，设椭圆 C 的上、下顶点分别为A，
1
A
2
， P 为该椭圆上异于A，
1
A
2
的任一点，直线
AP，
1
A
2
P 分别交x轴于M ，N两点，若直线OT与经过M ，N两点的圆G相切，切点为
T ．证明：线段 O T 的长为定值．6
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19．(17 分)定义：若函数
6
f ( x ) 图象上恰好存在相异的两点P， Q 满足曲线y= f(x)在P和
Q 处的切线重合，则称 P ， Q 为曲线 y = f ( x ) 的“双重切点”，直线 P Q 为曲线 y = f ( x ) 的
“双重切线”．
1
(1)直线y=2x是否为曲线 f(x)=x3+ 的“双重切线”，请说明理由；
x
(2)已知函数 g ( x ) =
x e
ln
−
x ,
2
ex
,
x
0
0
，求曲线y=g(x)的“双重切线”的方程；
(3)已知函数 h ( x ) = s in x ，直线 P Q 为曲线 y = h ( x ) 的“双重切线”，记直线 P Q 的斜率所有可
能的取值为 k
1
， k
2
，…，k ，若
n
k
1
k
2
k
i
( i =
k 15
3，4，5，…，n)，证明： 1 ．
k 8
2
