文档内容
重庆一中 2025 届 12 月高考适应性月考卷
数 学 试 题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在
本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.已知复数 ，则
A．2B． C．1D．
2.已知集合 ，则
A．(1，3)B． C． D．
3.设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则
，则
A．若
B．若 ，则
，则
C．若
D．若 ，则
4.函数 在区间 内的零点个数为
A．4B．3C．2D．1
5.已知一个项数为偶数的等比数列 所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．2B．－2C．－1D．2或－2
6.已知函数 ，若 （ 为自然对数的底数），使得
，则实数 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
7.计算 的结果是
A．2B． C．1D．
8.已知 分别为双曲线 的左，右顶点， 分别为 的左、右焦点， 为
原点，第二象限内的点 在双曲线 的渐近线上， 为 的平分线，若线段 的长为双曲线 的
焦距的一半，则双曲线 的离心率为
A．2B． C． D．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题
目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司9.下列关于轨迹方程的说法，正确的是
A．已知点 ，若 ，则动点 的轨迹方程为
B．已知面积为16的正方形 的顶点 分别在 轴和 轴上滑动， 为坐标原点，
，则动点 的轨迹方程为
C．斜率为 的动直线与椭圆 交于 两点，记线段 的中点为 ，点 ，则线段
的长度的最小值为
D．若 ，向量 ，则同时满足 且 的点
有且仅有一个
10.如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形， 平面 ，且 ，点
分别为棱 的中点，则下列说法正确的是
A． 平面
B．直线 与平面 所成角为
C．异面直线 和 所成的角为
D．过点 的平面截四棱锥 所得的截面面积为
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司11.过点 向曲线 引斜率为 的切线 ，切点为
，则下列结论正确的是
A．
B．数列 的通项为
时，
C．当
D．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知平面向量 满足 ， ， 则 ________.
13.与圆台的上下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若某圆台的上底面圆的半径为1，且该圆台的
内切球半径为2，则该圆台的侧面积为________.
14.已知函数 为中心对称函数，有唯一的对称中心，请写出该对称中心________；若函数
也为中心对称函数，其中 ，则满足条件的点（a，
b）的个数是________.
四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
已知函数 .
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）若 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围；
（2）若 有极小值，且极小值不大于 ，求实数 的值.
16.（本小题满分15分）
记 的内角 的对边分别为 ，已知 ，且 .
（1）若 ，求 的面积；
（2）若 ，求 的周长.
17.（本小题满分15分）
如图， 是斜三棱柱 的高， ， ，点 ， 在线段
上，其中 是 的中点， .
（1）证明： ；
（2）若三棱锥 的体积为 ，求二面角 的余弦值.
18.（本小题满分17分）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司已知圆 的圆心 在抛物线 上，且圆 与抛物线
的准线相切.如图，过抛物线 上的三个不同点 （ 在 之间），作抛物线的三条切线，
分别两两相交于点 .
（1）求圆 和抛物线 的方程；
（2）是否存在常数 ，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由；
（3）当点 的横坐标为4时，以 为直角顶点，作抛物线的两个内接 及 ，求线段
的交点坐标.
19.（本小题满分17分）
马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，在人工智能、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着
极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是 ， ，那么 时刻的
状态的条件概率仅依赖前一状态 ，即 .
已知甲盒子中装有2个黄球和1个黑球，乙盒子中装有1个黄球和2个黑球（6个球的大小形状完全相同）.
记操作 ：从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中.在重复 次 操作后，记甲盒子中黄球
个数为 ，恰有3个黄球的概率为 ，恰有2个黄球的概率为 ，并记 的数学期望为 .
（1）求 ；
（2）求 ；
（3）证明： .
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