文档内容
绝密★启用前
2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷（理工农医类）
（满分150分，考试时间120分钟）
考生注意
1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题
纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接
填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
2-x
1.不等式 >0的解集是 。
x+4
2.若复数z =1-2i（i为虚数单位），则z×z+z = 。
解析：考查复数基本运算z×z+z = (1-2i)(1+2i)+1-2i =6-2i
3. 动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等，则P的轨迹方程为
。
p p
cos sin
3 6
4.行列式 的值是 。
p p
sin cos
3 6
5. 圆C:x2 + y2 -2x-4y+4=0的圆心到直线l:3x+4y+4=0的距离d = 。
6. 随机变量x的概率分布率由下图给出：
则随机变量x的均值是
第1页 | 共7页7.
2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。在右边的框图中，S 表示上海世博
会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的
执行框内应填入 。
8.对任意不等于1的正数a，函数f(x)=log (x+3)的反函数的图像都经过点P，则点P的坐标
a
是
9．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为
黑桃”，则概率P（AÈB）= （结果用最简分数表示）
æ 1 2 3 ××× n-2 n-1 n ö
ç ÷
2 3 4 ××× n-1 n 1
ç ÷
10．在n行n列矩阵ç 3 4 5 ××× n 1 2 ÷中，
ç ÷
××× ××× ××× ××× ××× ××× ×××
ç ÷
ç ÷
è n 1 2 ××× n-3 n-2 n-1ø
记位于第i行第 j列的数为a (i, j =1,2×××,n)。当n=9时，a +a +a +×××+a =
ij 11 22 33 99
。
11.
将直线l :nx+ y-n=0、l :x+ny-n=0（nÎN*，n³2）x轴
2 3
、y轴围成的封闭图形的面积记为S ，则limS = 。
n n
n®¥
12．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O,剪去 AOB,将剩余部分沿
V
OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为
第2页 | 共7页l2
13。如图所示，直线x=2与双曲线G: - y2 =1的渐近线交于E ,E 两点，记
4 1 2
uuuur uv uuuur uuv uuur uuuv uuuv
OE =e ,OE =e ，任取双曲线G上的点P，若OP=ae ,+be (a、bÎR)，则a、b满足的
1 1 2 2 1 2
一个等式是
14.以集合U=a，b，c，d的子集中选出2个不同的子集，需同时满足以下两个条件：
（1）a、b都要选出；
（2）对选出的任意两个子集A和B，必有AÍB或BÍA，那么共有 种不同的选法。
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。考生必须在
答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。
p
15．“x=2kp+ kÎZ ”是“tanx=1”成立的 [答]（ ）
4
（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.
（C）充分条件. （D）既不充分也不必要条件.
ìx=1+2t
16.直线l的参数方程是í (tÎR)，则l的方向向量是d 可以是 【答】（ ）
îy=2-t
(A)(1,2) (B)(2,1) (C)(-2,1) (D)(1,-2)
1 1
17.若x 是方程( )x = x3的解，则x 属于区间 【答】（ ）
0 2 0
2 1 2 1 1 1
(A)( ,1) (B)( , ) (C)( , ) (D)(0, )
3 2 3 3 2 3
1 1 1
18. 某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为 , , ，则此人能
13 11 5
【答】（ ）
（A）不能作出这样的三角形 （B）作出一个锐角三角形
（C）作出一个直角三角形 （D）作出一个钝角三角形
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规
定区域内写出必要的步骤。
19.（本题满分12分）
p
已知0< x< ，化简：
2
x p
lg(cosx×tanx+1-2sin2 )+lg[ 2cos(x- )]-lg(1+sin2x).
2 4
第3页 | 共7页20. (本题满分13分)本题共有2个小题，第一个小题满分5分，第2个小题满分8分。
已知数列a 的前 n项和为S ，且S =n-5a -85，nÎN*
n n n n
（1）证明：a -1是等比数列；
n
（2）求数列S 的通项公式，并求出n为何值时，S 取得最小值，并说明理由。
n n
5
（2）S =n+75( )n-1-90 n=15取得最小值
n 6
21、（本大题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分.
如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，
骨架把圆柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.
(1)当圆柱底面半径r取何值时，S 取得最大值？并求出该
最大值（结果精确到0.01平方米）;
（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，
当灯笼的底面半径为0.3米时，求图中两根直线AB 与A B 所
1 3 3 5
在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示）
22.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分1
第4页 | 共7页0分。
若实数x、y、m满足 x-m＞ y-m ，则称x比 y远离m.
（1）若x2 -1比1远离0，求x的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3 +b3比a2b+ab2远离2ab ab ；
kπ π
（3）已知函数 f(x)的定义域D=｛x|x≠ + ，k∈Z，x∈R ｝.任取xÎD， f(x)等
2 4
于sinx和cosx中远离0的那个值.写出函数 f(x)的解析式，并指出它的基本性质（结论不
要求证明）.
23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9
分.
x2 y2
已知椭圆G的方程为 + =1(a>b>0)，点P的坐标为（-a，b）.
a2 b2
（1）若直角坐标平面上的点M、A(0,-
® 1 ® ®
b)，B(a，0)满足PM= (PA+PB),求点M 的坐标；
2
（2）设直线l : y =k x+ p交椭圆G于C、D两点，交直线l : y =k x于点E.若
1 1 2 2
b2
k ×k =- ，证明：E为CD的中点；
1 2 a2
（3）对于椭圆G上的点Q（a cosθ，b
第5页 | 共7页® ® ®
sinθ）（0＜θ＜π），如果椭圆G上存在不同的两个交点P 、P 满足PP +PP =PQ,写出求
1 2 1 2
作点P 、P 的步骤，并求出使P 、P 存在的θ的取值范围.
1 2 1 2
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