文档内容
2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学（理科）
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接
填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
2-x
1.不等式 >0的解集是 （-4,2） 。
x+4
2-x
解析：考查分式不等式的解法 >0等价于（x-2）(x+4)<0,所以-4ç
è3
÷
ø
,ç
è2
÷
ø
ç
è2
÷
ø
，∴x
0
属于区间(
3
,
2
)
1 1 1
18. 某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为 , , ，则此人能
13 11 5
【答】（D）
（A）不能作出这样的三角形 （B）作出一个锐角三角形
（C）作出一个直角三角形 （D）作出一个钝角三角形
解析：设三边分别为a,b,c，利用面积相等可知
1 1 1
a b c,a:b:c 13:11:5
13 11 5
52 +112 -132
由余弦定理得cosA 0，所以角A为钝角
2511
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规
定区域内写出必要的步骤。
19.（本题满分12分）
p
已知0 x ，化简：
2
x p
lg(cosx×tanx+1-2sin2 )+lg[ 2cos(x- )]-lg(1+sin2x).
2 4
=0
20. (本题满分13分)本题共有2个小题，第一个小题满分5分，第2个小题满分8分。
已知数列a 的前 n项和为S ，且S n-5a -85，nÎN*
n n n n
（1）证明：a -1是等比数列；
n
（2）求数列S 的通项公式，并求出n为何值时，S 取得最小值，并说明理由。
n n
5
（2）S =n+75( )n-1-90 n=15取得最小值
n 6
第4页 | 共7页5
解析：(1) 当n1时，a -14；当n≥2时，a S -S -5a +5a +1，所以a -1 (a -1)，
1 n n n-1 n n-1 n 6 n-1
又a -1-15≠0，所以数列{a -1}是等比数列；
1 n
(2)
æ5ö n-1 æ5ö n-1 æ5ö n-1
由(1)知：a -1-15×ç ÷ ，得a 1-15×ç ÷ ，从而S 75×ç ÷ +n-90(nÎN*)
n è6ø n è6ø n è6ø
；
æ5ö n-1 2 2
解不等式S n log 5 25 +1»14.9，当n≥15时，数列{S n }单调递增；
6
同理可得，当n≤15时，数列{S }单调递减；故当n15时，S 取得最小值．
n n
21、（本大题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分.
如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，
骨架把圆柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.
(1)当圆柱底面半径r取何值时，S 取得最大值？并求出该
最大值（结果精确到0.01平方米）;
（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，
当灯笼的底面半径为0.3米时，求图中两根直线AB 与A B 所
1 3 3 5
在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示）
解析：(1)
设圆柱形灯笼的母线长为l，则l1.2-2r(02ab ab，a2b+ab2 >2ab ab，
因为|a3 +b3 -2ab ab|-|a2b+ab2 -2ab ab|(a+b)(a-b)2 >0，
所以|a3 +b3 -2ab ab|>|a2b+ab2 -2ab ab|，即a3+b3比a2b+ab2远离2ab ab ；
ì p 3p
sinx, xÎ(kp+ ,kp+ )
ï
ï 4 4
(3) f(x)í ，
p p
ïcosx, xÎ(kp- ,kp+ )
ïî 4 4
p
性质：1f(x)是偶函数，图像关于y轴对称，2f(x)是周期函数，最小正周期T ，
2
kp p kp kp kp p
3函数f(x)在区间( - , ]单调递增，在区间[ , + )单调递减，kÎZ，
2 4 2 2 2 4
2
4函数f(x)的值域为( ,1]．
2
23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9
分.
x2 y2
已知椭圆G的方程为 + 1(a>b>0)，点P的坐标为（-a，b）.
a2 b2
（1）若直角坐标平面上的点M、A(0,-
® 1 ® ®
b)，B(a，0)满足PM= (PA+PB),求点M 的坐标；
2
（2）设直线l : y k x+ p交椭圆G于C、D两点，交直线l : y k x于点E.若
1 1 2 2
b2
k ×k - ，证明：E为CD的中点；
1 2 a2
（3）对于椭圆G上的点Q（a cosθ，b
® ® ®
sinθ）（0＜θ＜π），如果椭圆G上存在不同的两个交点P 、P 满足PP +PP =PQ,写出求
1 2 1 2
作点P 、P 的步骤，并求出使P 、P 存在的θ的取值范围.
1 2 1 2
a b
解析：(1) M( ,- )；
2 2
第6页 | 共7页ìyk x+ p
ï 1
(2) 由方程组íx2 y2 ，消y得方程(a2k2 +b2)x2 +2a2k px+a2(p2 -b2)0，
ï + 1 1 1
îa2 b2
因为直线l : y k x+ p交椭圆G于C、D两点，
1 1
所以>0，即a2k2 +b2 - p2 >0，
1
设C(x ,y )、D(x ,y )，CD中点坐标为(x ,y )，
1 1 2 2 0 0
ì x +x a2k p
ïx 1 2 - 1
ï 0 2 a2k2 +b2
则í 1 ，
ï
b2p
y k x + p
ï
î
0 1 0 a2k2 +b2
1
ìyk x+ p
由方程组í 1 ，消y得方程(k
2
-k
1
)xp，
îyk x
2
ì p a2k p
ïx - 1 x
b2 ï k -k a2k2 +b2 0
又因为k - ，所以í 2 1 1 ，
2 a2k
1 ï yk x
b2p
y
ï
î
2 a2k2 +b2 0
1
故E为CD的中点；
a(1-cos) b(1+sin)
(3) 求作点P 、P 的步骤：1求出PQ的中点E(- , )，
1 2
2 2
b(1+sin)
2求出直线OE的斜率k - ，
2 a(1-cos)
uuur uuur uuur b2 b(1-cos)
3由PP +PP PQ知E为CD的中点，根据(2)可得CD的斜率k - ，
1 2 1 a2k a(1+sin)
2
b(1+sin) b(1-cos) a(1-cos)
4从而得直线CD的方程：y- (x+ )，
2 a(1+sin) 2
5将直线CD与椭圆Γ的方程联立，方程组的解即为点P 、P 的坐标．
1 2
欲使P 、P 存在，必须点E在椭圆内，
1 2
(1-cos)2 (1+sin)2 1 p 2
所以 + 1，化简得sin-cos ，sin(- ) ，
4 4 2 4 4
p p 3p p p 2
又0<
