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2010年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数学（理工农医类）
第Ⅰ卷
一、选择题：
（1）i是虚数单位，计算i+i2 +i3 =
（A）－1 （B）1 （C）-i （D）i
（2）下列四个图像所表示的函数，在点x=0处连续的是
（A） （B） （C） （D）
（3）2log 10+log 0.25=
5 5
（A）0 （B）1 （C） 2 （D）4
（4）函数 f(x)= x2 +mx+1的图像关于直线x=1对称的充要条件是
（A）m=-2 （B）m=2 （C）m=-1 （D）m=1
uuur2 uuur uuur uuur uuur
（5）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC =16,½AB+ AC½=½AB-AC½,则
uuuur
½AM½=
（A）8 （B）4 （C） 2 （D）1
p
（6）将函数y =sinx的图像上所有的点向右平行移动 个单位长度，再把所得各点的横
10
坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是
第1页 | 共5页p p
（A）y =sin(2x- ) （B）y =sin(2x- )
10 5
1 p 1 p
（C）y =sin( x- ) （D）y =sin( x- )
2 10 2 20
（7）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱
原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一
箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间
每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时
，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为
（A）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
（B）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
（C）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
（D）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
a
（8）已知数列a 的首项a ¹0，其前n项的和为S ，且S =2S +a ，则lim n =
n 1 n n+1 n 1 n®¥S
n
1
（A）0 （B） （C） 1 （D）2
2
x2 y2
（9）椭圆 + =1(a>b>0)的右焦点F ，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存
a2 b2
在点P满足线段AP的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是
（A） æ ç ç è 0, 2 2ù û ú （B） æ ç è 0, 1 2 ù û ú （C） é ë 2-1,1 （D） é ê ë 1 2 ,1÷ ö ø
（10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是
（A）72 （B）96 （C） 108 （D）144
（11）半径为R的球O的直径AB垂直于平面a，垂足为B，VBCD是平面a内边长为
R的正三角形，线段AC、AD分别与球面交于点M，N，那么M、N两点间的球面距
离是
17 A
（A）Rarccos
25
18
（B）Rarccos O
25
N
（C） 1 pR M D
3 B
a C
4
（D） pR
15
第2页 | 共5页1 1
（12）设a>b>c>0，则2a2 + + -10ac+25c2的最小值是
ab a(a-b)
（A）2 （B）4 （C） 2 5 （D）5
2010年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数学（理工农医类）
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
1
（13）(2- )6的展开式中的第四项是__________．
3 x
（14）直线x-2y+5=0与圆x2 + y2 =8相交于A、B两点，则½AB½=________．
（15）如图，二面角a-l-b的大小是60°，线段ABÌa．
a ·A
BÎl，AB与l所成的角为30°．则AB与平面b所成
b
·
B
的角的正弦值是_________．
（16）设S为复数集C的非空子集．若对任意x,yÎS ，都有x+ y,x- y,xyÎS，则称S为
封闭集。下列命题：
①集合S =½a+bi½ （a,b为整数，i为虚数单位）为封闭集；
②若S为封闭集，则一定有0ÎS；
③封闭集一定是无限集；
④若S为封闭集，则满足S ÍT ÍC的任意集合T 也是封闭集．
其中真命题是_________________ （写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖
1
内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为 ．甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该
6
饮料。
第3页 | 共5页（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；
（Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ．
（18）（本小题满分12分）
已知正方体ABCD-A¢B¢C¢D¢的棱长为1，点M 是棱AA¢的中点，点O是对角线
BD¢的中点． D¢ C¢
A¢
（Ⅰ）求证：OM 为异面直线AA¢和BD¢的公垂线； B¢
·O
（Ⅱ）求二面角M -BC¢-B¢的大小；
M· D
C
（Ⅲ）求三棱锥M -OBC的体积．
A B
（19）（本小题满分12分）
（Ⅰ）①证明两角和的余弦公式C :cos(a+b)=cosacosb-sinasinb；
a+b
②由C 推导两角和的正弦公式S :sin(a+b) =sinacosb+cosasinb.．
a+b a+b
1uuur uuur 3
（Ⅱ）已知△ABC的面积S = AB·AC =3，且cosB= ，求cosC．
2 5
（20）（本小题满分12分）
1
已知定点A(-1,0),F(2,0)，定直线l:x= ，不在x轴上的动点P与点F 的距离是
2
它到直线l的距离的2倍．设点P的轨迹为E，过点F 的直线交E于B、C两点，直线
AB、AC分别交l于点M、N
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F ，并说明理由．
（21）（本小题满分12分）
已知数列a 满足a =0,a =2，且对任意m,nÎN*都有
n 1 2
a +a = 2 +2(m-n)2
2m-1 2n-1 m+n-1
（Ⅰ）求a ,a ；
3 5
（Ⅱ）设b =a -a (nÎN*)证明：b 是等差数列；
n 2n+1 2n-1 n
（Ⅲ）设c =(a -a )qn-1(q ¹ 0,nÎN*)，求数列c 的前n项和S ．
n 2n+1 n n n
（22）（本小题满分14分）
1+ax
设 f(x)= （a>0且a¹1），g(x)是 f(x)的反函数．
1-ax
第4页 | 共5页t
（Ⅰ）设关于x的方程log = g(x)在区间2,6上有实数解，求
a (x2 -1)(7-x)
t的取值范围；
n 2-n-n2
（Ⅱ）当a=e（e为自然对数的底数）时，证明：åg(k)> ；
2n(n+1)
k=2
n
（Ⅲ）当0
