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贵阳市第一中学 2025-2026 学年高三上学期开学检测数学试卷
一、单选题（本大题共 8 小题）
（面面平行、垂直的判定·基础）
1. 在正方体 中，E，F 分别为 的中点，则（ ）
A. 平面 平面 B. 平面 平面
C. 平面 平面 D. 平面 平面
2. 设集合 ，则 =（ ）
A. B. C. D.
3. 复数 的虚部为（ ）
A. -1 B. 1 C. D.
4. 两个粒子 A，B 从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为 ， ．粒子
B 相对粒子 A 的位移为 ，则 在 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数 ， ，当 时， ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知数列 ， 都是等差数列， ， ，且 ，则 的值为（ ）
A. -17 B. -15 C. 17 D. 15
7. 的三内角 所对的边分别是 ，下列条件中能构成 且形状唯一确定的是（
）
A.
B.
C.
D.
第 1页/共 5页8. 天文学家卡西尼在研究土星及其卫星运行规律时发现了到两定点距离之积为定值的点的轨迹是一条曲线，
我们称该曲线为卡西尼卵形线.已知两定点 ， ，动点 满足 ，设
的轨迹为曲线 ，则下列结论不正确的是（ ）
A. 既是轴对称图形，又是中心对称图形 B.
C. 的面积大于 2 D.
二、多选题（本大题共 3 小题）
9. 某计算机程序运行 次，每次运行都等可能地产生 或 中的一个数．记 出现的次数为 ，
出现的次数多于 出现的次数的概率为 ，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知 ， 为圆 以上两点，点 ，则下列说法中正确的是（
）
A. 若 ，则 中点 的轨迹方程为
B. 中点轨迹方程为
C. 的中点轨迹方程为
D. 的中垂线与 的交点轨迹为圆
11. 已知函数 ，若 及其导函数 的部分图象如图所
示，则（ ）
A.
第 2页/共 5页B. 函数 在 上单调递减
C. 的图象关于点 中心对称
D. 的最大值为
三、填空题（本大题共 3 小题）
12. 的展开式中，各项系数中的最大值为______．
13. 已知随机变量 ，若 ，则 的最小值为
___________.
14. 在正方体 中，点 是侧面 内（不包含边界）的一个动点，且 点
在棱 上运动，则二面角 的余弦值的取值范围是_________.
四、解答题（本大题共 5 小题）
15. 在 中，内角 A，B，C 所对应 边分别为 a，b，c，且
（1）求 B；
（2）若 ，D 为 AC 边上的一点，且 ， ，求 AC 的最大值．
16. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球 O 的半径为 R.A、B、C 为球面上三点，
劣弧 BC 的弧长记为 a，设 表示以 O 为圆心，且过 B、C 的圆，同理，圆 的劣弧 AC、AB 的弧长
分别记为 b，c，曲面 ABC（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角 分
别为 ，则球面三角形的面积为 .
第 3页/共 5页（1）若平面 OAB、平面 OAC、平面 OBC 两两垂直，求球面三角形 ABC 面积；
（2）若平面三角形 ABC 为直角三角形， ，设 .
①求证： ；
②延长 AO 与球 O 交于点 D，若直线 DA，DC 与平面 ABC 所成的角分别为 ，S
为 AC 中点，T 为 BC 中点，设平面 OBC 与平面 EST 的夹角为 ，求 的最小值，及此时平面 AEC 截球
O 的面积.
17. 已知函数 ， ．
（1）若 存在零点，求 a 取值范围；
（2）若 ， 为 的零点，且 ，证明： ．
18. 已知在每一项均不为 0 的数列 中， ，且 ( ， 为常数， )，记数列
的前 项和为 .
（1）当 时，求 ；
（2）当 ， 时，求证：数列 为等比数列；
（3）在满足(2)中条件时是否存在正整数 ，使得不等式 对任意 恒成立？若存在，求
出 的最小值；若不存在，请说明理由.
19. 维向量是平面向量和空间向量 推广，对 维向量 ，记
，设集合 .
（1）求 ， ；
第 4页/共 5页（2）（i）求 中元素的个数；
（ii）记 ，求使得 成立 最大正整数 .
第 5页/共 5页
