育才·鲁巴·万中高2026届高三(上)10月联合诊断性考试
数 学 试 题
注意事项：
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂
其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.试卷由 整理排版。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.每题给出的四个选项,只有一项符合题目要求.
1.若集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3},B={2,3,4,5},则(C A)∪B=
U
A.{4,5}
B.{2,3,4,5}
C.{3,4,5,6}
D.{2,3,4,5,6}
2.下列命题为真命题的是
A.∀x∈R,x+|x|≥0
B. x R cosx 2
0 0
C. x R ex e x 2
∃ ∈ , =
D. x R x2 − x 1 0
∀ 0∈ , 0+ 0 <
3.下列函数中,既是奇函数,又在区间(0,1)上单调递增的是
∃ ∈ , − + =
1
A.y x
x
B.y==ln|x|+
2
C.y x3
D.y=sinx
=
4.设x π π ，则 1 sin2x 1 sin2x
4 2
A.2sin∈x � , � √ + +√ − =
B.2cosx
C.-2sinx
D.-2cosx
1
5.设a log 3 4 b log 1 3 c e 2 则a,b,c的大小关系为
2 −
A.a>b=>c , = , = ,
B.a>c>b
C.c>a>b
D.b>a>c
6.底面半径为1的圆锥,其轴截面中两条母线的夹角为钝角,那么其侧面展开所得扇形的面积可能是()
A.2π
5
B. π
3
学科网（北京）股份有限公司3
C. π
2
4
D. π
3
7.已知函数y 3sin ωx φ （ω 0 的部分图象如图所示.若A,B,C,D四点在同一个圆上,则ω=
=√ ( + ) > )
A.1
1
B.
2
π
C.
2
D.π
8.函数f(x)=ln(x-1)-ax+2a(a∈R),若f(x)≤0恒成立,则a的取值范围是()
A.{1}
B.{e}
C.[e,+∞)
D.[1,+∞)
二、选择题：本题共 3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 6分,部
分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列说法正确的是()
A.sin1cos2tan3>0
B.cos38 cos22 cos52 sin22 3
2
∘ ∘ ∘ ∘ √
C.已知角α的终−边过点P(-3,4),=则sinα cosα 1
5
D.函数y sin x π 的图象关于点 π+0 中心=对称
3 6
10.设f(x)=是定义� 在+R�上的奇函数,且�当 , x�>0时,f x 2lnx 1 x2 3x则
2
A.f 1 5 ( )= + − ,
2
B.当(−x<)0=时,f x 2ln x 1 x2 3x
2
C.f(2)<f(-e)<f((4)) =− (− )− −
D.f(x)恰有3个零点
11.在△ABC中,角 A,B,C所对边分别为 a,b,c,AC的中点为 M,b=2,且cosC 2a-c延长 AC到点 D,使点 C为线段 AD的
cosB 2
中点,下列说法正确的是 = ,
π
A.B
3
B.△=ABD的面积的最大值为 3
C.若△ABC为锐角三角形,BM√ 的取值范围为 21 3
3
√
,
� √ �
学科网（北京）股份有限公司D.BD的最小值为2 21 2 3
3
√ − √
三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.计算 log 3 log 27 log 2 8 2 3 ______.
4 16 3
−
13.已知�函数f x+ cos2x�×msinx− 1 f=π 0 x 0 π 则f(x)的最大值为______.
2
14.勾股数是指( 一)=组能构成+直角三−角形, 边�长�=的正, 整∈数(( , a,b),,c),即a2 b2 c2已知有三个三角形的边长均为勾股数,其中
π
两个三角形的三边长为(3,4,5)和(5,12,13),若这三个三角形的最
+
小角
=
之和
.
恰为 ,则第三个三角形周长的最小值为
2
______.
四、解答题：本题共5题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(13分)
如图.AC为平面四边形ABCD中∠BAD的角平分线,�BAD 2π ABC的面积为8 3 AC 8
3
(1)求边BC的长度； = ,△ √ , = .
(2)若AACD的外接圆直径2R 4 7求△ACD的周长.
= √ ,
16.(15分)
如图,在三棱柱ABC A B C 中,P为线段BC的中点,侧棱AA 上点E,F满足EF 1 AA
1 1 1 1 1
2
(1)证明：PE//平面B−₁CF； = .
(2)若AB=AC=AA₁=3,AA₁�平面ABC,AB⊥AC,AF=2,求直线BC与平面.B CF所成角的正弦值。
1
学科网（北京）股份有限公司17。(15分)
2025 年渝超联赛正如火如荼地进行,联赛分两个阶段,第一阶段为各赛区比赛,第二阶段为总决赛.联赛积分规则为：
胜一场得 3分,平一场得 1分,负一场得 0分.九龙坡区队属于中心城区赛区,该赛区共有 11支球队进行单循环比赛(每
支参赛队伍均与其他所有队伍恰好比赛一次)。已知九龙坡区队在与赛区中任何一个对手比赛时,获胜的概率均为1
,
2
平局的概率均为1 ,失利的概率均为1 ,且各场比赛结果相互独立.
4 4
(1)九龙坡区队教练组为研究观众人数对球队成绩的影响,用 AI模拟了该球队在 5种不同观众人数(单位：千人)下的
比赛表现(每场均模拟完整的小组赛).模拟数据如下：
场均观众人数x(千人) 8 12 6 15 9
小组赛积分y 10 16 8 18 13
请计算场均观众人数x(千人)与小组赛积分y的样本相关系数r(精确到0.01),并说明两者之间的线性相关程度；
(2)九龙坡区队在9月13日的揭幕赛中以2：3失利于渝中区队,积0分.根据赛事规则推算,在中心城区赛区,球队至少
需要获得23分才有晋级总决赛的可能.求九龙坡区队在第一阶段未来赛事中至少获得23分的概率。
n
∑(x −x)(y −y)
i i
附：相关系数r= i=1
,
n n 34
∑(x −x)2 ∑(y −y)2
i i
i=1 i=1 √ ≈5.83
18.(17分)
已知椭圆C x2 y2 1 a b 0 的左右焦点分别为 F₁,F₂,其长轴长为 4,离心率为1过点 F₂的直线 l交椭圆于 A,B两
a2 b2 2
点,点A在:x轴+上方=,线(段>OA>的中)点为P,△BF₁F₂的重心为G. ,
(1)求椭圆C的方程；
(2)若 λ BF
1
P和△ABG面积分别为S₁,S₂.
F2 F2
(i)求A�λ�的=取值��B范,△围；
(ii)求S₁的取值范围.
S₂
学科网（北京）股份有限公司19.(17分)
给定函数 y=f(x),若曲线 y=f(x)上存在 k(k≥2)个不同的点A A A 满足曲线 y=f(x)在A A A 这 k个点处的切
1 2 k 1 2 k
线重合,则称集合S x A1 x A2 x Ak 为函数y=f(x)所对应的 , 一 , 个 ⋯",k重切点集". , ,⋯,
(1)函数f x x2 =4� x, 求出, ⋯y,=f(x�)对应的一个"2重切点集"；
(2)函数g(x)=−2co+sx ∣ 3c∣o,sx sinx 1 6 x 0 4π 求出y=g(x)对应的一个"4重切点集"；
2
√
(3)函数h((x))==(2√x+a)eˣ,�a√∈R是否−存在�对+应的−"k重, 切∈点[ 集, ",]如, 果有,请写出；如果没有,请说明理由.
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