文档内容
2011 年高考理科数学试题（天津卷）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120
分钟。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条
形码答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷
和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号.
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分.
参考公式：
如果事件A，B互斥，那么 如果事件A，B相互独立，那么
P(A B)= P(A)+P(B) P(AB)= P(A)P(B).
U
1
棱柱的体积公式V =Sh. 圆锥的体积公式V = Sh.
3
其中S表示棱柱的底面面积 其中S表示圆锥的底面面积
h表示棱柱的高 h表示圆锥的高
一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1-3i
1．i是虚数单位，复数 =
1-i
A．2+i B．2-i
C．-1+2i D．-1-2i
2．设x,yÎR,则“x³2且y³2”是“x2 + y2 ³4”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件
3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为
A．3 B．4
C．5 D．6
4．已知a 为等差数列，其公差为-2，且a 是a 与a 的等比中项，S 为
n 7 3 9 n
a 的前n项和，nÎN*，则S 的值为
n 10
A．-110 B．-90
C．90 D．110
6
æ x 2 ö
5．在ç - ÷ 的二项展开式中，x2的系数为
ç ÷
2 x
è ø
第1页 | 共23页15 15 3 3
A．- B． C．- D．
4 4 8 8
6．如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB=CD,2AB= 3BD,BC =2BD，则
sinC的值为
3 3
A． B．
3 6
6 6
C． D．
3 6
log 0.3
æ1ö 3
7．已知a=5log 2 3.4,b=5log 4 3.6,c= ç ÷ ,则
è5ø
A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>a>b
ìa,a-b£1,
8 ． 对 实 数 a和 b， 定 义 运 算 “ Ä”： aÄb=í 设 函 数
îb,a-b>1.
f(x)= x2 -2 Ä x-x2 ,xÎR.若函数 y = f(x)-c的图像与x轴恰有两个公共点，
则实数c的取值范围是
æ 3ö æ 3ö
A．-¥,-2È
ç
-1,
÷
B．-¥,-2È
ç
-1,-
÷
è 2ø è 4ø
æ 1ö æ1 ö æ 3ö é1 ö
C．ç -1, ÷ È ç ,+¥ ÷ D．ç -1,- ÷ È ê ,+¥ ÷
è 4ø è4 ø è 4ø ë4 ø
第 II 卷
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法
从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人
第2页 | 共23页数为___________
10．一个几何体的三视图如右图所示（单位：m），则该几何体的体积
为__________m3
ìx=8t2,
11 ． 已 知 抛 物 线 C的 参 数 方 程 为 í （ t为 参 数 ） 若 斜 率 为 1 的
îy =8t.
直线经过抛物线C的焦点，且与圆x-42 + y2 =r2(r >0)相切，
则r=________.
12．如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F ，E是AB延长线上一
点，且DF =CF = 2,AF:FB:BE =4:2:1.若CE与圆相切，则
线段CE的长为__________.
ì 1 ü
13．已知集合A= xÎR| x+3 + x-4 £9 ,B=íxÎR|x=4t+ -6,tÎ(0,+¥)ý，则
î t þ
集合AÇB=________.
14．已知直角梯形ABCD中，AD//BC,ÐADC =900,AD=2,BC =1,P是腰DC 上
uuur uuur
的动点，则 PA+3PB 的最小值为____________.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
p
已知函数 f(x)=tan(2x+ ),
4
（Ⅰ）求 f(x)的定义域与最小正周期；
æ pö a
（II）设aÎ ç 0, ÷，若 f( )=2cos2a,求a的大小．
è 4ø 2
第3页 | 共23页16．（本小题满分13分）
学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里
装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机
摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）
（Ⅰ）求在1次游戏中，
（i）摸出3个白球的概率；
（ii）获奖的概率；
（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E(X) .
17．（本小题满分13分）如图，在三棱柱ABC-ABC 中，
1 1 1
H 是正方形AABB的中心，AA =2 2，C H ^平面AABB，且C H = 5.
1 1 1 1 1 1 1
（Ⅰ）求异面直线AC与AB 所成角的余弦值；
1 1
（Ⅱ）求二面角A-AC -B 的正弦值；
1 1 1
（Ⅲ）设N 为棱BC 的中点，点M 在平面AABB内，且MN ^平面ABC，求线段
1 1 1 1 1 1
BM 的
长．
18．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，点P(a,b) (a>b>0)为动点，F,F
1 2
第4页 | 共23页x2 y2
分别为椭圆 + =1的左右焦点．已知△FPF 为等腰三角形．
a2 b2 1 2
（Ⅰ）求椭圆的离心率e；
（Ⅱ）设直线 PF 与椭圆相交于 A,B两点， M 是直线 PF 上的点，满足
2 2
uuuur uuuur
AM ×BM =-2，求点M 的轨迹方程．
19．（本小题满分14分）
已知a>0，函数 f(x)=lnx-ax2,x>0.（ f(x)的图像连续不断）
（Ⅰ）求 f(x)的单调区间；
1 3
（Ⅱ）当a= 时，证明：存在x Î(2,+¥)，使 f(x )= f( )；
8 0 0 2
（Ⅲ）若存在均属于区间1,3的a,b，且b-a³1，使 f(a)= f(b)，证明
ln3-ln2 ln2
£a£ ．
5 3
20．（本小题满分14分）
3+(-1)n
已知数列{a }与{b }满足：b a +a +b a =0,b = ， nÎN*，且
n n n n n+1 n+1 n+2 n 2
a =2,a =4．
1 2
（Ⅰ）求a ,a ,a 的值；
3 4 5
（Ⅱ）设c =a +a ,nÎN*，证明：c 是等比数列；
n 2n-1 2n+1 n
4n S 7
（III）设S =a +a +×××+a ,kÎN*,证明：å k < (nÎN*)．
k 2 4 2k a 6
k=1 k
第5页 | 共23页2011 参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分40分.
BABDCDCB
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分30分.
7
9．12 10．6+p 11． 2 12． 13．{x|-2£ x£5} 14．5
2
三、解答题
15．本小题主要考查两角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函数的基本关系，二倍角的
正弦、余弦公式，正切函数的性质等基础知识，考查基本运算能力.满分13分.
p p
（I）解：由2x+ ¹ +kp,kÎZ ，
4 2
p kp
得x¹ + ,kÎZ .
8 2
p kp
所以 f(x)的定义域为{xÎR|x¹ + ,kÎZ}
8 2
p
f(x)的最小正周期为 .
2
a
（II）解：由 f( )=2cos2a,
2
p
得tan(a+ )=2cos2a,
4
p
sin(a+ )
4
=2(cos2a-sin2a),
p
cos(a+ )
4
sina+cosa
整理得 =2(cosa+sina)(cosa-sina).
cosa-sina
p
因为aÎ(0, )，所以sina+cosa¹0.
4
1 1
因此(cosa-sina)2 = ,即sin2a = .
2 2
p p
由aÎ(0, )，得2aÎ(0, ).
4 2
p p
所以2a= ,即a= .
6 12
16．本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相
互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力.满分13分.
（I）（i）解：设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件A =(i =0,1,2,3),则
i
第6页 | 共23页C2 C1 1
P(A )= 3 × 2 = .
3 C2 C2 5
5 3
（ii）解：设“在1次游戏中获奖”为事件B，则B= A A ，又
2 U 3
C2 C2 C1C1 C1 1
P(A )= 3 × 2 + 2 2 × 2 = ,
2 C2 C2 C2 C2 2
5 3 5 3
1 1 7
且A，A 互斥，所以P(B)= P(A )+P(A )= + = .
2 3 2 3 2 5 10
（II）解：由题意可知X的所有可能取值为0，1，2.
7 9
P(X =0)=(1- )2 = ,
10 100
7 7 21
P(X =1)=C1 (1- )= ,
210 10 50
7 49
P(X =2)=( )2 = .
10 100
所以X的分布列是
X 0 1 2
P 9 21 49
100 50 100
9 21 49 7
X的数学期望E(X)=0´ +1´ +2´ = .
100 50 100 5
17．本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间
向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.满分13
分.
方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点.
依题意得A(2 2,0,0),B(0,0,0),C( 2,- 2, 5)
A(2 2,2 2,0),B (0,2 2,0),C ( 2, 2, 5)
1 1 1
uuur uuuur
（I）解：易得AC =(- 2,- 2, 5),AB =(-2 2,0,0)，
1 1
uuur uuuur
uuur uuuuur AC×AB 4 2
于是cos AC,A B = 1 1 = = ,
uuur uuuur
1 1 | AC|×| AB | 3´2 2 3
1 1
2
所以异面直线AC与AB 所成角的余弦值为 .
1 1
3
uuur uuuur
（II）解：易知AA =(0,2 2,0),AC =(- 2,- 2, 5).
1 1 1
设平面AAC 的法向量m=(x,y,z)，
1 1
第7页 | 共23页uuuur
ì ïm×AC =0 ì ï- 2x- 2y+ 5z =0,
则í 1 1 即í
uuur
ïî m×AA =0 ïî2 2y =0.
1
不妨令x= 5,可得m=( 5,0, 2)，
同样地，设平面ABC 的法向量n=(x,y,z)，
1 1 1
uuuur
ì ïn×AC =0, ì ï- 2x- 2y+ 5z =0,
则í 1 1 即í 不妨令y = 5，
uuuur
ïî n×AB =0. ïî-2 2x=0.
1 1
可得n=(0, 5, 2).
m×n 2 2
于是cos m,n = = = ,
|m|×|n| 7× 7 7
3 5
从而sin m,n = .
7
3 5
所以二面角A—AC—B的正弦值为 .
1 1
7
（III）解：由N为棱BC 的中点，
1 1
2 3 2 5
得N( , , ).设M（a，b，0），
2 2 2
uuuur 2 3 2 5
则MN =( -a, -b, )
2 2 2
uuuur uuuur
ìïMN×AB =0,
由MN ^平面A
1
B
1
C
1
，得íuuuur
uu
1
uur
1
ïî MN×AC =0.
1 1
ì 2
ï( -a)×(-2 2)=0,
ï 2
即í
ï 2 3 2 5
( -a)×(- 2)+( -b)×(- 2)+ × 5 =0.
ï
î 2 2 2
ì 2
ïa= ,
ï 2 2 2
解得í 故M( , ,0).
ï 2 2 4
b= .
ï
î 4
uuuur 2 2 uuuur 10
因此BM =( , ,0)，所以线段BM的长为|BM |= .
2 4 4
第8页 | 共23页方法二：
（I）解：由于AC//AC，故ÐC AB 是异面直线AC与AB 所成的角.
1 1 1 1 1 1 1
因为C H ^平面AABB，又H为正方形AABB的中心，
1 1 1 1 1
AA =2 2,C H = 5,
1 1
可得AC = BC =3.
1 1 1 1
AC2 + AB2 -BC2 2
因此cosÐC AB = 1 1 1 1 1 1 = .
1 1 1 2AC ×AB 3
1 1 1 1
2
所以异面直线AC与AB 所成角的余弦值为 .
1 1
3
（II）解：连接AC，易知AC=BC，
1 1 1 1
又由于AA=BA，AC=A=C，
1 1 1 1 1 1 1
所以DAC A ≌DBC A，过点A作AR^ AC 于点R，
1 1 1 1 1 1
连接BR，于是BR^ AC ，故ÐARB 为二面角A—AC—B 的平面角.
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 14
在RtDARB 中，BR= AB ×sinÐRAB =2 2× 1-( )2 = .
1 1 1 1 1 1 1 3 3
连接AB，在DARB 中，
1 1
AR2 +BR2 -AB2 2
AB =4,AR= BR,cosÐARB = 1 1 =- ，
1 1 1 2AR×BR 7
1
3 5
从而sinÐARB = .
1 7
3 5
所以二面角A—AC—B 的正弦值为 .
1 1 1
7
（III）解：因为MN ^平面ABC，所以MN ^ AB.
1 1 1 1 1
取HB 中点D，连接ND，由于N是棱BC 中点，
1 1 1
1 5
所以ND//CH且ND= C H = .
1 2 1 2
又C H ^平面AABB，
1 1 1
所以ND^平面AABB，故ND^ AB.
1 1 1 1
第9页 | 共23页又MN ND= N,
I
所以AB ^平面MND，连接MD并延长交AB 于点E，
1 1 1 1
则ME ^ AB,故ME//AA.
1 1 1
DE BE BD 1
由 = 1 = 1 = ,
AA B A B A 4
1 1 1 1
2
得DE = BE = ，延长EM交AB于点F，
1 2
2
可得BF = BE = .连接NE.
1 2
在RtDENM 中，
ND^ME,故ND2 = DE×DM.
ND2 5 2
所以DM = = .
DE 4
2
可得FM = .
4
连接BM，在RtDBFM 中，
10
BM = FM2 +BF2 = .
4
18．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查
用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力.
满分13分.
（I）解：设F(-c,0),F (c,0)(c>0)
1 2
由题意，可得|PF |=|FF |,
2 1 2
即 (a-c)2 +b2 =2c.
c c c
整理得2( )2 + -1=0,得 =-1（舍），
a a a
c 1 1
或 = .所以e= .
a 2 2
（II）解：由（I）知a=2c,b= 3c,
可得椭圆方程为3x2 +4y2 =12c2,
第10页 | 共23页直线PF 方程为y = 3(x-c).
2
ìï3x2 +4y2 =12c2,
A，B两点的坐标满足方程组í
ïîy = 3(x-c).
消去y并整理，得5x2 -8cx=0.
8
解得x =0,x = c.
1 2 5
ì 8
x = c,
ìï x =0, ï ï 2 5
1
得方程组的解í í
ïî y =- 3c, ï 3 3
1 y = c.
ïî 2 5
8 3 3
不妨设A( c, c),B(0,- 3c)
5 5
uuuur 8 3 3 uuuur
设点M的坐标为(x,y),则AM =(x- c,y- c),BM =(x,y+ 3c)，
5 5
3
由y = 3(x-c),得c= x- y.
3
uuuur 8 3 3 8 3 3
于是AM =( y- x, y- x),
15 5 5 5
uuuur uuuur uuuur
BM =(x, 3x).由AM ×BM =-2,
8 3 3 8 3 3
即( y- x)×x+( y- x)× 3x=-2，
15 5 5 5
化简得18x2 -16 3xy-15=0.
18x2 -15 3 10x2 +5
将y = 代入c= x- y,得c= >0.
16 3x 3 16x
所以x>0.
因此，点M的轨迹方程是18x2 -16 3xy-15=0(x>0).
19．本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零点等基
础知识，考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满
分14分.
1 1-2ax2
（I）解： f '(x)= -2ax= ,xÎ(0,+¥)，
x 2
第11页 | 共23页2a
令 f '(x)=0,解得x= .
2a
当x变化时， f '(x), f(x)的变化情况如下表：
x
2a 2a 2a
(0, ) ( ,+¥)
2a 2a 2a
+ 0 -
f '(x)
极大值
f(x)
2a 2a
所以， f(x)的单调递增区间是(0, ), f(x)的单调递减区间是( ,+¥).
2a 2a
1 1
（II）证明：当a= 时, f(x)=lnx- x2.
8 8
由（I）知 f(x)在（0，2）内单调递增，
在(2,+¥)内单调递减.
3
令g(x)= f(x)- f( ).
2
由于 f(x)在（0，2）内单调递增，
3
故 f(2)> f( ),即g(2)>0.
2
3 41-9e2
取x'= e>2,则g(x')= <0.
2 32
所以存在x Î(2,x'),使g(x )=0,
0 0
3
即存在x Î(2,+¥),使f(x )= f( ).
0 0 2
（说明：x'的取法不唯一，只要满足x'>2,且g(x')<0即可）
2a
（III）证明：由 f(a)= f(b)及（I）的结论知a<
