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高三数学参考答案及评分意见
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C C A D B A D
1. 答案：B
解析： ，虚部是1 .
2. 答案：C
解析：因为 ，所以 .
3. 答案：C
解析：因为 ，所以 .
4. 答案：A
解析：令 ，得 ，所以 .
5. 答案：D
解析： ,故选D .
6. 答案：B
解析：设飞机的地面速度向量为 ，实际运动速度向量和风速向量分别为 ，由已知可得 ， ， ，
所以 ， .
7. 答案：A
解析：由题意：圆心坐标为 ，半径为 ，要求圆上至少有三个不同的点到直线
2√2 √2
的距离为 ，则圆心到直线的距离应小于等于 ，
所以 ， ，解得 .
8. 答案：D
解析：设 ，则
当 时， ，选项A正确；
当 时， ， ， ，所以
，
， 由 此 可 得
，选项B正确；当 时，同理可得 ，选项C正确.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
题号 9 10 11
答案 AC ABD ACD
9. 答案：AC
解析：因为 // ，所以 // 平面 ，选项A正确；而 平面 ，所
以选项C正确，选项B错误；异面直线 与 所成的角为45°，所以选项D错误.
10.答案：ABD
解 析 ： 对 于 A ， 设 ， 则 ， 由 得
，
直线 AB 的斜率 ，故直线AB 的方程为 ，
令 ，解得 ，故 ，所以 ，选项A正确；
对于B， ，选项B正确；
对于C，取 ，则 ，故 ， ， ，则 确定的圆方程为 ，
因为 ，故 ､ ､ ､ 四点不共圆，选项C错误；
对于D，过 作 的平行线，该方程为 ，与 联立，
解得： ，故 的面积 ，
因为 ，故将 代入上式并化简得 ，
不妨设 ，则 ，当且仅当 时等号成立，此时 ，
故 面积的最大值为 4 ，选项D正确；故选：ABD.
11. 答案：ACD
解析：由 ，及 、得 ，结合 ，化
简得 ，即 ，由此可得
， 所 以 A 正 确 . 又 由 题 设 得 ， 即
，再由正、余弦定理得 ，化简得 .
结合选项A可以判断 是等腰直角三角形， ， . 所以结合条件得
.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 13. 或 14.
12. 答案：解析：设切点是 ，则 ， ，所以切线方程是
，即 ，所以
，解得 ， .
13. 答案： 或
解析：由 可知 ，所以 ，
两式相除，整理得 ，解得 ，所以 或 .
14. 答案：
解析：设事件 为第一个白球在 次取出，且第二个白球在第 次取出，其中
，则 .
所以 ，
故 .四、解答题：本题共5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. （13分）
解：（1）由列联表得s=200， ……………………………………………………1
分
t=275. ……………………………………………………2分
500×(150×125−75×150) 2 250
χ2 = = ≈7.576.
（2） 225×275×300×200 33 …………………………………………4分
由于
χ2 >6.635，
所以根据小概率值α=0.01的独立性检验，可以认为南、北消费者对新
能源汽车的认可度有差异. ……………………………………………………6
分
150 1 75 3
= ， = ，
（3）南、北方消费者中对新能源汽车认可的频率分别为
150+150 2 75+125 8
1 3
， .
p ，p
2 8
因此 1 2的估计值分别为 ……………………………………………………8分
X=0,1,2,3,4，
4位消费者（2位南方消费者和2位北方消费者）中认可新能源汽车的人数
1 3 25
P(X=0)=(1− ) 2 ×(1− ) 2 = ，
2 8 256
则
1 3 9
P(X=4)=( ) 2 ×( ) 2 = .
2 8 256
故X的分布列为：X 0 1 2 3 4
P 25 5 47 3 9
256 16 128 16 256
……………………………………………………12分
25 5 47 3 9 7
E(X)=0× +1× +2× +3× +4× = .
256 16 128 16 256 4
故 ……………………13分
16. （15分）
解：（1）证明：由已知可得： 即 ………………………3
分
所以 是以 为首项，1为公差的等差数列. ……………………………………5分
2）由（1）得： 所以 ………………………7分
（
故 ，
可得 ，
所以 ，……………………10分
所以
………………………………………………13分所以 . ………………………………………………15分
17. （15分）
解：（1）由已知， 平面 ， 平面 ，故 .……………2分
又 ， ， 平面 ， 平面 ，
故 平面 . ……………………………………………………4分
因为 平面 ，所以平面 平面 .…………………………5分
（2）（i）以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
. 由已知可得 ， ， . 设 z， ，
B1 A
1
因为 ，所以 C1
P
B
A
x
C
y
解得
故点 在平面 内. ……………………………………………………10分（ii）由（ i）可得 ， ， ， ，
.
设 是 平 面 的 法 向 量 ， 则 即 可 取
.
……………………………………………………12分
则 ， ……………………………………………………14分
故直线 与平面 所成角的大小为 . ……………………………………………15分
18. （17分）
F(c，0)(c>0) |
AF |=a+c=4.
解：（1）设 ，则 …………………………………………1
分
C b b=2√2
设 的短半轴为 ，则 .
{ a+c=4 {a=3
又
a2 =b2 +c2，
由
a2 −c2 =8
得
c=1
. ……………………………………………3分
x2 y2
+ =1.
C 9 8
所以 的方程为 ……………………………………………………4分
A，P，Q A，Q −3,9， | PQ |=2| PA |
（2）（ⅰ）因为 共线，且 的横坐标分别为 故若 ，则12 y2 8
+ =1， y= ，
P的横坐标为1，所以 PF⊥x轴 .不妨设P在第一象限，由 9 8 得 3
即 .
8
3 |PA| 1
= = ，
Q(9，y ) y |PA|+|PQ| 3 y =8 QF
设 Q ，则由几何关系可知 Q 故 Q ,直线 的斜率
8−0 π
k = =1， ∠PFS= ， QS FS
QF 9−1 设直线 x=9 与x轴的交点为 S ，则 2 又 | |=| | ，所以
π
∠QPS= .
4
……………………………………………………7
分
π
AR FQ RF⊥x轴 ∠RAF=∠QPS= 4 ， | RF |=| AF |=4
又因为 // ， ，故 所以 ，
1
S = |AF|⋅|RF|=8.
ΔAFR 2
故 ……………………………………………………9分
（ⅱ）由（ⅰ）猜想
QF 平分角∠PFS.
因为
A(−3，0）
，故直线
AP
的方程可设为{y=k(x+3)
x2 y2
+ =1
y=k(x+3)
，不妨设
k>0
，与
C
的方程联立有
9 8
，
(8+9k2 )x2 +54k2x+81k2 −72=0
整理有 . …………………………………………10分
54k2 24−27k2
−3+x =− ，x = ，
设
P(x
1
，y
1
)
，
Q(x
2
，y
2
)
，则
1 8+9k2 1 8+9k2
24−27k2 48k
( ， )，Q(9，12k).
故P
8+9k2 8+9k2
…………………………………………………11分
PF
∠QFS=∠PFQ.
当 斜率不存在时，由（ⅰ）可知 …………………………………12
分
3k
2×
2 12k
tan2∠QFS= = ，
k≠
2
1−(
3k
) 2
4−9k2
3 PF 2
当 时， 斜率存在，
y 12k
tan∠PFS= 1 = ，
且
x
1
−1 4−9k2
故此时也有
2∠QFS=∠PFS，
即
∠QFS=∠PFQ.
……………………………………………………14分
FQ
AR
因为 // ，故 .
∠RFS=∠RAF+∠ARF=2∠QFS=2∠RAF
∠ARF=∠RAF，| RF
|=|
AF |=4.
又 ，故
AG FK
设F关于直线 x=9 的对称点为K，则 K(17，0) ，取 ，则 | |=| | ，易知|RF| |AR| |AR|
= =
ΔAFR
∽
ΔFQK
，故
|QF| |FK| |AG|
，
∠RAF=∠RFQ，
故
ΔFRQ
∽
ΔARG
，故
∠ARG=∠FRQ. ∠ARG=∠FRQ
所以存在定点 ，使得 .……………………17分
19. （17分）
解：（1）令 ， ，则 ，………………………2
分
所以 在 上单调递减，所以 ，即 .
…………………………………………5分
（2）（i）必要性：若 成立，即存在 ，使得对任意 ，都有 ，
则对任意 ， ，即 成立. ……………………………………7分
充分性：若 成立，即存在 ，使得对任意 ，都有 .
当 时，有 ；当 时，有 ；
当 时， ，由 ，
知 是奇函数.所以 .
于是对任意 ，都有 ，即 成立. …………………………………10
分
（ii）由（i）知，只需考虑 成立，即存在 ，使得对任意 ，都有，等价于 .
…………………………………………………………11分
令 ， ，
则需 ， 在 上恒成立.
不妨取 ，即 ， 在 上恒成立.
由 ，得 ， ，则
①当 时， ，符合题意；
②当 时， ， 在 上单调递增，故 符合题
意；
③当 时，令 ，则 ，
在 上单调递增；
若 ，即 ，则 ， 在 上单调递增，同
②符合题意；若 ，即 ，由 ，知存在 ，使得
.
当 时， ， 在 上单调递减，故 ，
不符合题意.
于是 . …………………………………………14分
2°由 ，得 ， ，
令 ， ，
①当 时，由（1）可知
，符合题意.
②当 时， ， 在 上单调递减，
若 ，即 ，则 ， 在 上单调递减，故
，符合题意；
若 ，即 ，由 ，知存在 ，使得
，当 时， ， 在 上单调递增，故，不符合题意.
于是 . …………………………………………16分
综上，实数 的取值范围为 . …………………………………………17分
