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%&%’届!皖南八校"高三开学考试#数学
参考答案$解析及评分细则
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由频率分布直方图可得*该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过!/天的概率为%&!&"*&!&!’*&!&%&7
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!"皖八#高三开学$数学试卷参考答案!第!!!!!页%共"页&’ #$
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!"皖八#高三开学$数学试卷参考答案!第!!!!%页%共"页&’ #$因为O3,符合题意；......,,....................................................... 8分
4 4
当n=5时，此时 所有产品均选择方案甲测试， 则X~B作，一 2) ，
所以E(X+Y)= E(X) =5X— 1 =— 5 <3，不符合题意； ......................................................... 10分
2 2
当n=l,2,3,4时，X～的分），Y-B(5-11，¾),
所以E(X+Y)= E(X)+E(Y)＝—
2
1
.
'
1.1+.
3(5-
4
11) ＝一15-—
4
-
11
，
15-n
若使，ECX+Y）＝ 4 �3，解得咚;;;3，则n=l,2.3
综上，选择甲方案测试的产品个数为0,1,2,3时，测试合格的产品个数的期望不小于3. ............ 12分
20.(1)证明：？PA=PC,O为AC的中点，．．．PO上AC.
p
·:AB=BC,O为AC的中点，．· .AC上OB. ············································· 2分
·:po上AC,AC上OB,oBnPO=O,OB,PO仁平面PBO,
:.AC上平面PBO.··········································································· 4分
(2) 解：·:AB上BC,AB= BC= 2, PA= PB= PC= 2,,/z,0为AC的中点，AC＝勾2, A c
:.BO＝石，PO＝顶，． ． ．PO'-+OB'= PB',:P. O上OB.
/3
又？AC上OB,AcnPO= O,AC,PO已平面PAC,
图1
【 “ 皖八 “ 高三开学．数学试卷参考答案 第4页（共6页）】 HD:.QB上平面PAC. ......................................................................................................... 7分
方法一：如图2，作ME上AC于点£,:.£为0C的中点，作EF上PA交PA于点F，连接MF.
p
:.MF..lPA,
．立MF£即为所求二面角M-PA -C的平面角 ................................. 9分
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迈—,
2 A r
-
EF=— 万 AE＝泣X— 3灯X—=3 — 万 ,
2 4 2 4
B
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E
—
F
E 孜=－
2
X
3
—
病
4
袁
=— 2 ＇ 图2
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cos乙MFE＝慧＝�,sin乙MFE= .......................................... 12分
方法二：分别以OB,OC,OP为工．轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图3.
M 停享 0). :.諒＝停琴， o) ，丙＝（ o ，－迈，－顶）， ... ··•············ 8分
IP
记11=(x,y,z)为平面AMP的法向队，则
{＇
昼
1 ·諒＝0 x＋立y＝0
即{ 2 2 ，令z=1，则又·=3万，y＝－寂，n＝（3万，－石，I) A
ll •亢＝0
－迈y－顶z=O
............................................................................................. 10分
平面APC的法向址，11=(1,0,0),
易知二面角M-PA-C的平面角为锐角记为0,cos 0= I cos (11,111〉| = In·m l袁 ＝——= 3旱 ，sin 0=
lln · 1ml,/3f 31
平
厂｀尸 ................................................................................................ 12分
21. (1)解：由题意可知c=J',.了，当点P在上、下顶点时，乙F,PF2最大，则b=c＝拉一，
z
由矿＝bz+cz 得a2=4,所以椭圆M的标准方程为�+立＝1~.· ..................….．．．．．．．．．．．．．．．．．．..．．．．．． 4分
4. 2
(2)证明：设直线l的方程为m(x-2)+11y=l,A(x1,Y1),B（立，Yz),
由椭圆M的方程又,z+2yz =4，得（几一· 2)2+2y2=-4( x-2), ................................................ 6分
联立直线l的方程与椭圆方程，得(x-2)2+2y'=-4(x-2)[m(x-Z)+ny],
即0+4m)(x-2)2+4n(x-2)y+2y2 =0, 0+4m)( �) ） '+4n( （ �) ） +2=0, .................. 8分
y y
所以上十上＝立二色卜丑二2=－ 4n ........................................................................... 9分
',k 2k y1'y2 l+4m'
1 1. 1
因为直线l过定点(-2,-4)，所以m+1/＝－— 4 ，"代"人/'一 1k 十'一 2k '
得— 1, + — 1 = .'.Xl,-一2,+ x2-2 ＝ 411 ＝ 1+4m = 1. ............................................................ 12分
lk 2k y,'yz l+4m 1+4m
22. (1)解：f(x)的定义域为（0，十oo),/(x)=ln工呵－2ax，由题意得f'釭）＝0在（0，十oo)上有两解，
即In丑:-2ax=O，即2a＝宁有两解
【 “ 皖八 “ 高三开学．数学试卷参考答案 第5页（共6页）】 HD<;4-平面532!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 5分
方法一.如图%*作"@-32于点@*<@为;2的中点*作@A-53交53于点A*连接"A!
<"A-53*
<3"A@即为所求二面角" 53 2的平面角! !!!!!!!!!!! :分
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槡’ ’ 槡’ ’槡"
@A) 3@)%槡%7 7 ) *
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3=3"A@) ) *=.93"A@)槡!, ) !!!!!!!!!!!!!!! !%分
槡’! ’! 槡’! ’!
方法二.分别以;4*;2*;5为$轴0#轴0&轴建立空间直角坐标系*如图’!
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