2023 年湖北省高三 9 月起点考试
高三数学答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B B D A C D A BC AC ACD ACD
填空题： 13. 14. 15. 16.
292
1.由于 ，则 的虚部为 ，故选C。
4 5 −2 9
2− 1−3 1+3 3
2.由于集合 或 ，集合 ，
=1+ = 2 ⇒ = 2 2
从而 , 故元素个数为2 ，故选B。
= ≥4 ≤ 1 = ∈ −1≤ ≤ 3 = −1,0,1,2,3
3.设 的首项为 ，公差为 , 则 ,
∁ ∩ = 1,4 ∩ −1,0,1,2,3 = 2,3
又 ， ，
1 7=2 1+2 − 1+4 = 1
则 ,
1+ + 7 1+21 =12 ⇒ 1 =7 =−2
从而数列得前 项为正，其余项为负， 故 的最大值为 , 故选B。
=7−2 −1 =9−2 ≥0 ⇒ 1≤ ≤4
4.由已知可得: ,
4 4 =16
所以
2+ =3 ⇒ =1
则 的系数为 4, 故选D。 3 2 2 2 3
2 + −2 = 2 + −32 +24 +⋯ =−40 +⋯
5.明2显3，圆 的半径为 ，其方程为： ①
−40
可设 ， ， ， , 动点 ，2 2
2 + =4
由 ，从而有
−2 0 2 0
化简得： ②2 2 2 2
= 2 +2 + = 2∙ +2 +
2 2
由① ②可得相交弦的方程为： 带入式①可求出 ,
+ −12 +4=0
2 4 2
故相交−弦长为 , 故选A。 =3 =± 3
8 2
6.令 , 则亦有 ,可求出 或 或
3
从而有 或 或 ，从而相应方程的根的个数分别为 或 或 ，
= −1 =1 =−2 0
故函数 的零点个数为6 , 故选C。
= +1=−1 1 +1 1 3 2
7.设这5个人分别为:ABCDE ,则要求B与C和D与E的演讲顺序都不能相邻。
= −1 −1
第一类：A在BC中间，此时再把D与E插空到这3人中间，
此时的不同的演讲顺序有
第二类：A不在BC中间，此2时2先考虑B与C和D与E ，他们的顺序应相间排列，最后考虑
2 4 =24
A ，此时的不同的演讲顺序有
综上可得：总共有48种不同的演2讲2顺2序1,故选D。
2 2 2 3 =24
8.对于 ，由 ,则 ,故 ；
对于 , sin < 0< < 2,故 sin5 <5；≈ 0.63 <0.63
2.56 1.6
对于 ,由 于= 2 > 2 = 2 =0.8 >, 0则.8 ，从而可得
2 3 2
3 2 3 3 2
同理， = ≈7.39<8= 2, 则 <，2从而可得 ln2> 3≈0.67
3 4 3
所以有 4 3 4 4 3
= ≈20.08> 16= 2 >2 ln2<4=0.75
综上有： 故选A。
0.67< =ln2<0.75
< <
湖北省新高考联考协作体*数学答案（共6页）第1页9.对于A ，由两直线平行可得： 或
又 时，两直线重合，舍去；经检验 符合题意,故A错误。
−1 =2 ⇒ =2 −1
对于B ，这6个数据按从小到大排序为：1 2 3 5 7 8 ，由 ，
=2 =−1
则这组数据第 分位数为第4个数，即为5，故B正确。
6×60%=3.6
对于C ，由 , 从而 时 最大, 故C正确。
60%
1
对于D ，由 可得
+1 =13×2=6.5 =6 =
,又 、 ,则有 或 ，
cos = cos , sin cos =sin cos ,
或 ，故 为等腰三角形或直角三角形, 故D不正确。
⇒ sin 2 =sin 2 0<2 2 <2 2 =2 2 +2 =
⇒10. 明=显 + =2 ∆
1 3 3
对于A 明显成立，故A正确
=2sin 2 + 2 1+cos 2 − 2 =sin 2 +3
对于B 令 ,由 则 ,
2
明显： =2 +3 即 ∈ −2,−4 时 ∈ − 3 ,递−减 6 ，故B不正确
2 5
对于C 由∈ − 3 ,−2 ,及 ∈ −2,则−12 = ,
5 1
则 =在2 区+间 3 ∈上的0,值 4 域为 ∈ ， 3, 6 ，故⇒ Csi正n 确∈ 2,1
对于 =D2由 ,0及,4 则 1 2 由题意可知：
3
从而得： ，故D不正确
=2 +3 ∈ 0, ∈ 3,2 +3 ≤2 +3 < 2
7
11. 对于A 明显有 ∥ 又 平面 ， 平面
3 ≤ <12
从而 平面 成立，故A正确
1 1 ⊆ 1 1 ⊈ 1 1
对于B 由等体积法： ,
// 1 1
明显有： 的面积为 ，点 到 的距离为 ,
− = −
1
又在 ∆ 中 ， 1 =2 ， ∆ ， 可求出 1 =的1面积为 ，
3
从而可∆ 得 ： = = 2 = 6 , 故B∆不 正 确 2 = 2
1 3 1 1 3
对于C 由于 ∥ ,则 相交于一点 ,
3× 2 × 2 =3×2×1 ⇒ 2 = 3
从而有 平面 , 平面
1 1 ,
则可得 平面 平面 ，即
∈ ⊆ ∈ 1 ⊆ 1 1
所以有 相交于一点 , 故C正确
∈ ∩ 1 1 = ∈
对于D 平面PMN与正方体的截面为边长为 正六边形 ，
1 , ,
（点 分别为 的中点）则其周长为 ，故D正确
2
12. 在 , 双 , 曲线 , 1, 中 1， 1 6 2
2
2
且 ， ， ， ， ，
− 2 =1 =1, = 2, = 3
对于A 设 ，由双曲线定义得： ，
1 −1 0 , 2 1 0 1 − 3 0 , 2 3 0
两边平方可得： ①
1 = , 2 = − =2
2 2
在 中，由余弦定理可得：
+ −2 =4
② 联立①2 ②可2得: 2
∆ 1 2 + −2 cos3 = 2 3
2 2
故 的面积为 ,故A正确
⇒ + − =12 =8
1 1 3
对于∆ B1由 2中点弦公式2 ： sin3 =2×8× 2 =,此2时3直线 的方程为
2
0 2×1
2
= 0 =1×1=2 = 2 −1
湖北省新高考联考协作体*数学答案（共6页）第2页带入双曲线的方程消去 可得： ,此时 ，
此时直线 与双曲线无公共点，说明2此时直线 不存在, 故B不正确
2 −4 +3=0 ∆=−8<0
对于C 设 ,则
2
2 2 2
又直线 与 , 的斜 率的−乘2积=1 ⇒ =2 −1 ,
2 2
2 −1
由于 1 2 从而可得： 1 2 = +1∙ − ， 1=故 C2 − 正 1=确 2 −1 =2
1 1
对于 D1 设∈ 直−线8,−4 带 入2 ∈ −2,−4 （※）
2
（说明： 时（※）式表示双曲2线； 时（※）式表示双曲线的两条渐近线）
: = + − 2 =
得 , 应满足： ，且
=1 =0
且明2显有：2 （2 与 无关） 2
−2 +2 + +2 =0 −2 ≠0 ∆>0
2
这说明线段
1+
的
中
2
点
=
与
2−
线
2段
的中点重合，故有 成立, 故D正确。
13.由于 ，从而 ,
=
则 ,又 ，则 与 的夹角的余弦值为 ，
+2 = −2 ⇒ ⊥ 0= ∙ =2− ⇒ =2
5 2
则 与 的夹角为 。
+ = 3,1 = 2,−1 + cos = 10∙ 5= 2
14.由已知可设： ,且这两个函数分别过 ， ， ， ，
+ 4
1
得 1 ， = , 2 = 2 ，从而 10 4 , 10 16
16 8 40 8
故 1 =10×4=40 2 =10=5 ，当 1 = , 即 2 = 5 时>等0号成立。
40 8 40 8 40 8
15. 先1考+虑 2 = + 5 ≥与2 ∙ 5 =16相切，设 =切点 5 的横 坐=标5 为 ,
由 ，则 ,
= −1 = +ln 0
, 1
由相切的性质可得：① 及②
= +ln =1+
1
由②知： 带 入0− ① 1 可 = 求 出0+ ： ln 0 ， 从 = 而 1 有 + 0
再考虑 与 相切
0 =1+ 0 ln 0 =0 0 =1 ⇒ =2
联立方程，消去 ，可得： 2 舍去 。
=2 −1 = + 2−2 −3
16.如图所示，取 的中点 ,2连接 ,则明显有∠ ，
−2 −2=0 ⇒ =−2 =0
2
由于 与 的外心 与 分别在 与 上，
, = 3
则三棱锥 的外接球的球心 在过点 且与平面 垂直的直线上。
∆ ∆
由对称性可知：∠ ，易求出 ，设 ,则
−
在 中，有 ,则 ， ，
= 3 =3 = = =3−
2 2 5 5 4
又在 ∆ 中， ∠=1+ 3− ⇒ =，3 =3 =3
4 3
从而在 中， ，
∆ =3 ⇒ = 3
2 2 2 48+25 73
所以三棱锥 的外接球的表面积 。
∆ = + = 9 = 9
2 292
， ，
17.解：(1) 由−于 =4 = 9
2 1 1 1
即 +1 = +1 ⇒ +1 =分2+2
1 1 1
又 +1−1= 2， 所−以1数列 ∈ + 是⋯首项3 为 ， 公比为的 等比数列 分
1 1 1 1 1
(2 )1由−(11)=可3知： −1 3 2 分⋯ 5
−1 −1
1 1 1 1 1 1
−1= 3× 2 ⇒ =1+3× 2
湖北省新高考联考协作体*数学答案（共6页⋯）第6 3页, 分
则 且 关于 是递增的
2 1
又 = +3，1− 2 ， 所以满足条件的最大正整数 分
⋯ 8
18.解：(1)由已知可得：
99 < 100 100 >100 = 99
⋯ 10
分
sin cos + 3sin sin =sin +sin
分
由于 =si，n 则+有sin + =sin +sin cos +sin cos
⋯ 2
1
又 sin >0，则有 1= 3sin −c，os所 以=有2sin −6 ⇒ sin −6 =分 2
⋯ 4
5
分
(2)0由<正 弦<定 理可知：−6 < −6 < 6 , 则由 −6 =6 ⇒ = 3
⋯ 6
4 3
分
又有余弦定理可知： sin =2 = 3 =3 ⇒ =2
⋯ 7
2 2 2 2 2
分
由于 , 则=有 + −2 cos ⇒ 4= + −,即
⋯ 8
又 2 2 2 2,即
+ ≥2 4= + − ≥ 2 − = ≤4
⋯ 9
2 2 2 2 分
从而4= + （−当 = + 等−号3成 立） + =4+3 ≤4+3×4=16
分
则 + ≤ 4 ,故 = =的2周长的最大值为
⋯ 11
19. (1)证明：连接 ，在矩形 中,明显有：
+ + ≤6 ∆ 6
⋯ 12
又平面 平面 ，平面 平面
⊥
从而可得： 平面 ，又 平面 ,
⊥ ∩ =
分
从而可得： ⊥ ⊆
又在菱形 中 且
⊥
⋯ 3
则 平 面 又 ⊥ 平面 ∩ 则 = 分
(2) 如图，建立空间直角坐标系，设 ，， , 且 ，， ，
⊥ ⊆ ⊥
⋯ 5
， ， , 则 ， ， ，0 0 0，≤ ，≤4 2 分 0 0
设 1 3 ， 0 ， 是 平 面 = −1 的一 3 个法 0 向量 ， = −2 0
⋯ 7
由 及
=
分
故可0取= ∙ =−， ，+ 3 0= ∙ =−2 +
又明显， 平=面 3 的 一2个3法向量为 ，， 分
⋯ 9
由已知有 ， = 0 0 1 分
⋯ 10
21 2 3
所以点 为7 =的中co点s ， 使二 面=角12+4 2 ⇒ =的2余弦⋯值为11 分
21
分
20.解： (1) 零 假设为 ：吸烟与患 肺−癌 之−间 无关 7
⋯ 12
根据列联表中的数据， 0 计算可得：
⋯ 1
2
100× 25×50−15×10
2
分
= 40×60×35×65
6050
依据小概率 的独立性检验，认为 不成立，即吸烟会增加患肺癌的风险 分
= 273 ≈ 22.161 > 10.828 ⋯ 3
=0.001 0 ⋯ 4
湖北省新高考联考协作体*数学答案（共6页）第4页(2)由已知可得：抽取的5人中，不患肺癌的有2人，患肺癌的有3人。
明显： 的所有可能取值为： ，， ， 分
且 ， 0 1 2 ，
2 1 1 ⋯ 5 2
∁3 3 ∁2∁3 3 ∁2 1
故 的分布列为：2 2 2
=0 =∁5 =10 =1 = ∁5 =5 =2 =∁5 =10
0 1 2
3 3 1
分
10 5 10
分
的均值为
⋯ 7
3 3 1 4
(3)随机选取 个病人，治愈人数不超过于 人的概率为：
=0×10+1×5+2×10=5
⋯ 8
10 7
8 8 2 9 9 10
=1−∁100.9 ×0.1 −∁100.9 ×0.1−0.9
=1−45×0.430×0.01−10×0.430×0.9×0.1−0.430×0.81
从而该事件称为小概率事件，一般认为在一次试验中是几乎不发生的，所以可以怀疑该药厂
=0.0712< 0.08
分
是虚假宣传
分
21. (1)
⋯ 12 2
, 2 − −2
当 时 ，= −1恒−成 =立，此 时 >的0递减区间是 ， ∞ ，无递增区间 分
⋯ 1
当 时，考, 虑 , 明显 ,
≤0 <0 0 +
⋯ 2
2
且 ,则 有一正一负两个根，取正跟
>0 − −2=0 ∆=1+8 >0
2 2 1+ 1+8
且当 1 2 =− 时， − −2当=0 时， 0 = 2
1+ 1+8 , 1+ 1+8 ,
此时0<的 递<减区2 间是 ， <0 ，递 增>区间2 为 ， >∞0 分
1+ 1+8 1+ 1+8
综上可得：当 时， 的递减区间是 ， ∞ ，无递增区间；
0 2 2 +
⋯ 4
当 时， ≤的0递减区 间 是 ， 0，递+增区间为 ， ∞ 分
1+ 1+8 1+ 1+8
(2 ) >当0 时 ， 在 ， ∞0 递减2， 且 不符2 合题意+ 分
⋯ 5
−3
分
当 时≤，0由(1) 可 知：0只需+ 1 = 2 <0
⋯ 6
1 1
2
又由 >于0 = 0 =2 分 0 − 0−2ln 0−2≥0
⋯ 7
则只需 0 2 − 0−2=0 ⇒ 0 2 = 0+2 分
⋯ 8
0+2 1 1− 0
考虑 = 2 − ，0明 −2 显 ln ： 0−2 在 = ， 2 − ∞ 2ln 递 0减 ≥ 且 0 ，
⋯ 9
1−
分
从而可 得 ：= 2 −2ln 0 + 1 =0
考虑ℎ 0< 0 ≤1 ,由 及(1)可知：ℎ 有一正一负两个根
⋯ 10
又ℎ 2 ，要使 成立，则必有ℎ 2
= − −2 >0 = − −2=0
分
综上所0述=：−使2函<数0 0<在 其0 ≤定1义域内恒成立的 的1 范=围 为−3，≥0∞⇒ ≥3
（其他解法可酌情给分）
≥0 3 +
⋯ 12
湖北省新高考联考协作体*数学答案（共6页）第5页22. (1)由已知可得： , ,
2 2 1 2 2 2
2 2 分
可得： =,2 椭圆 +的 方=程1为 = +
2 2
(2) 四边形OAMB的面积为定值 ，理由如下：
=2, = = 2 4 + 2 =1
⋯ 4
将 带入 可得：
6
2 2
2 2 2
设 = + 4 +则2 =1 2 +1 +4 +2 −4=0
2
4 2 −4
且 1, 1 , 2, 2 1+ 2 =−2 2 +1 , 1 2 = 分 2 2 +1
2
由于
1四
+
边
2形
=
O
AM
B1为
+
平
2行
+
四
2
边
形
=
，
2
则2
+1
，
⋯ 6
则点 ， ，带入椭圆 的 =方 程 ，+化 简 可得: 分
4 2 2 2
此时 2 2 12 恒成立
−2 +1 2 +1 2 =2 +1
⋯ 8
2 2 2 2
由于点 到直线AB的距离为
∆= 4 −4 2 +1 2 −4 = 2 +1 >0
= 2 +1
而
2 2
4 2 −4
2 2 2
又由 = 1+ 1 可+得 2 −4 1 2 = 1+ −2 2 +1 −分4× 2 2 +1
2 2 2 2 3
从而 2 =2 +1 = 1+ ∙ 2 2 +1 ⋯ 10
2 3
又 =2 ∆ = ∙ = 2 2 +1
2 2
2 12 12
所以 四 边 形=OA2 M 2 +B1 =的面2 积 2 =为6定值 分
6
⋯ 12
湖北省新高考联考协作体*数学答案（共6页）第6页
