文档内容
专题 12 球体的外接与内切小题综合
考点 十年考情（2015-2024） 命题趋势
考点1 直接求球的
表面积与体积及相
2021·全国新Ⅰ卷、2020·山东卷、2017·上海卷
关应用
（10年3考）
理解、掌握球体的表面积公
考点2 正方体与长 式和体积公式，熟练掌握不
方体中的球体切接 2023·全国甲卷、2020·天津卷、2017·天津卷 同模型的球体的外接球和内
问题 2016·全国卷、2016·全国卷 切球的相关计算，会利用
（10年4考） （二级）结论快速解题
考点3 圆锥与圆柱
中的球体切接问题 2021·天津卷、2020·全国卷、2017·江苏卷 本节内容是新高考卷的常考
（10年3考） 内容，一般有特殊几何体、
考点4 棱锥与棱台 墙角问题、对棱相等、侧棱
2023·全国乙卷、2022·全国新Ⅱ卷、2021·全国甲
中的球体切接问题 垂直于底面、侧面垂直于底
卷、2020·全国卷、2020·全国卷、2019·全国卷
（10年5考） 面的外接内切问题，需强化
复习.
考点5 球体切接问
题中的最值及范围 2023·全国甲卷、2022·全国乙卷、2022·全国新Ⅰ
问题 卷、2018·全国卷、2016·全国卷、2015·全国卷
（10年5考）
考点01 直接求球的表面积与体积及相关应用
1．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系
统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为 （轨道高度是指卫星到地球
表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为 的球，其上点A的纬度是指 与赤道平面
所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 ，记卫星信号覆
盖地球表面的表面积为 （单位： ），则S占地球表面积的百分比约为（ ）A．26% B．34% C．42% D．50%
2．（2020·山东·高考真题）已知球的直径为2，则该球的体积是 .
3．（2017·上海·高考真题）已知球的体积为 ，则该球主视图的面积等于
考点02 正方体与长方体中的球体切接问题
1．（2023·全国甲卷·高考真题）在正方体 中，E，F分别为AB， 的中点，以EF为直
径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点．
2．（2020·天津·高考真题）若棱长为 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2017·天津·高考真题）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这
个球的体积为 .
4．（2016·全国·高考真题）体积为 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为
A． B． C． D．
5．（2016·全国·高考真题）长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积
为 .
考点03 圆锥与圆柱中的球体切接问题
1．（2021·天津·高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为 ，
两个圆锥的高之比为 ，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·全国·高考真题）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为
．
3．（2017·江苏·高考真题）如图，在圆柱O1 O2 内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．
记圆柱O1 O2 的体积为V1 ,球O的体积为V2 ，则 的值是考点04 棱锥与棱台中的球体切接问题
1．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点 均在半径为2的球面上， 是边长为3的等边三角形，
平面 ，则 ．
2．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为 和 ，其顶点都
在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国甲卷·高考真题）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且
，则三棱锥 的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·全国·高考真题）已知 为球 的球面上的三个点，⊙ 为 的外接圆，若⊙ 的面
积为 ， ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·全国·高考真题）已知△ABC是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的
表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
6．（2019·全国·高考真题）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为
2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为
A． B． C． D．
考点05 球体切接问题中的最值及范围问题
1．（2023·全国甲卷·高考真题）在正方体 中， 为 的中点，若该正方体的棱
与球 的球面有公共点，则球 的半径的取值范围是 ．
3．（2022·全国乙卷·高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球
面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为
，且 ，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）A． B． C． D．
4．（2018·全国·高考真题）设 是同一个半径为4的球的球面上四点， 为等边三角形且
其面积为 ，则三棱锥 体积的最大值为
A． B． C． D．
5．（2016·全国·高考真题）在封闭的直三棱柱 内有一个体积为V的球，若 ， ，
，
，则该球体积V的最大值是
A． B． C． D．
6．（2015·全国·高考真题）已知 是球 的球面上两点, , 为该球面上的动点.若三棱锥
体积的最大值为36,则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
