文档内容
专题 13 立体几何的空间角与空间距离
及其综合应用小题综合
考点 十年考情（2015-2024） 命题趋势
考点1 异面直
2022·全国新Ⅰ卷、2021·全国乙卷、2018·全国
线所成角及其
卷
应用
2017·全国卷、2016·全国卷、2015·浙江卷
（10年6考）
2024·全国新Ⅱ卷、2023·全国乙卷、2022·浙江
考点2 线面角 卷
要熟练掌握几何法和向量法求解
及其应用 2022·全国甲卷、2022·全国新Ⅰ卷、2018·浙江
空间角与空间距离，本节内容是
（10年4考） 卷
新高考卷的常考内容，要熟练掌
2018·全国卷、2018·全国卷、2018·全国卷
握方程思想求值，需强化巩固复
2023·北京卷、2023·全国乙卷、2023·全国新Ⅱ
考点3 二面角 习.
卷
及其应用
2022·浙江卷、2019·浙江卷、2018·浙江卷
（10年6考）
2017·浙江卷、2015·浙江卷
考点4 点面距
及其应用 2019·全国卷
（10年1考）
考点01 异面直线所成角及其应用
1．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知正方体 ，则（ ）
A．直线 与 所成的角为 B．直线 与 所成的角为
C．直线 与平面 所成的角为 D．直线 与平面ABCD所成的角为
【答案】ABD
【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.【详解】如图，连接 、 ，因为 ，所以直线 与 所成的角即为直线 与 所成
的角，
因为四边形 为正方形，则 ，故直线 与 所成的角为 ，A正确；
连接 ，因为 平面 ， 平面 ，则 ，
因为 ， ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，故B正确；
连接 ，设 ，连接 ，
因为 平面 ， 平面 ，则 ，
因为 ， ，所以 平面 ，
所以 为直线 与平面 所成的角，
设正方体棱长为 ，则 ， ， ，
所以，直线 与平面 所成的角为 ，故C错误；
因为 平面 ，所以 为直线 与平面 所成的角，易得 ，故D正确.
故选：ABD
2．（2021·全国乙卷·高考真题）在正方体 中，P为 的中点，则直线 与 所成的
角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】平移直线 至 ，将直线 与 所成的角转化为 与 所成的角，解三角形即可.【详解】
如图，连接 ，因为 ∥ ，
所以 或其补角为直线 与 所成的角，
因为 平面 ，所以 ，又 ， ，
所以 平面 ，所以 ，
设正方体棱长为2，则 ，
，所以 .
故选：D
3．（2018·全国·高考真题）在正方体 中， 为棱 的中点，则异面直线 与 所成
角的正切值为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用正方体 中， ，将问题转化为求共面直线 与 所成角的正切值，
在 中进行计算即可.
【详解】在正方体 中， ，所以异面直线 与 所成角为 ，
设正方体边长为 ，则由 为棱 的中点，可得 ，所以 ，
则 .故选C.
【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角
所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；
（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的
余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.
4．（2017·全国·高考真题）已知直三棱柱 中， ， ， ，则异
面直线 与 所成角的余弦值为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图所示，补成直四棱柱 ，
则所求角为 ，
易得 ，因此 ，故选C．
平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题
来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是 ，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异
面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．
5．（2016·全国·高考真题）平面 过正方体ABCD—A B C D 的顶点A， ,
1 1 1 1
， ，则m，n所成角的正弦值为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】试题分析：如图，设平面 平面 = ，平面 平面 = ，因为 平面
，所以 ，则 所成的角等于 所成的角.延长 ，过 作 ，连接
，则 为 ，同理 为 ，而 ，则 所成的角即为 所成的角，
即为 ，故 所成角的正弦值为 ，选A.【点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成的角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形、解
形求角、得钝求补.
6．（2015·浙江·高考真题）如图，三棱锥 中， ，点 分
别是 的中点，则异面直线 所成的角的余弦值是 ．
【答案】
【详解】如下图，连结 ，取 中点 ，连结 ， ，则可知 即为异面直
线 ， 所成角（或其补角）易得 ，
， ，
∴ ，即异面直线 ， 所成角的余弦值为 .
考点：异面直线的夹角.考点02 线面角及其应用
1．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台 的体积为 ， ， ，则 与
平面ABC所成角的正切值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高 ，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求
得 ，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台 补成正三棱锥
， 与平面ABC所成角即为 与平面ABC所成角，根据比例关系可得 ，进而可求正
三棱锥 的高，即可得结果.
【详解】解法一：分别取 的中点 ，则 ，
可知 ，
设正三棱台 的为 ，
则 ，解得 ，
如图，分别过 作底面垂线，垂足为 ，设 ，
则 ， ，
可得 ，
结合等腰梯形 可得 ,
即 ，解得 ，
所以 与平面ABC所成角的正切值为 ；解法二：将正三棱台 补成正三棱锥 ，
则 与平面ABC所成角即为 与平面ABC所成角，
因为 ，则 ，
可知 ，则 ，
设正三棱锥 的高为 ，则 ，解得 ，
取底面ABC的中心为 ，则 底面ABC，且 ，
所以 与平面ABC所成角的正切值 .
故选：B.
2．（2023·全国乙卷·高考真题）已知 为等腰直角三角形，AB为斜边， 为等边三角形，若二
面角 为 ，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.
【详解】取 的中点 ，连接 ，因为 是等腰直角三角形，且 为斜边，则有 ，
又 是等边三角形，则 ，从而 为二面角 的平面角，即 ，
显然 平面 ，于是 平面 ，又 平面 ，
因此平面 平面 ，显然平面 平面 ，直线 平面 ，则直线 在平面 内的射影为直线 ，
从而 为直线 与平面 所成的角，令 ，则 ，在 中，由余弦定理得：
，
由正弦定理得 ，即 ，
显然 是锐角， ，
所以直线 与平面 所成的角的正切为 .
故选：C
3．（2022·浙江·高考真题）如图，已知正三棱柱 ，E，F分别是棱 上的点．
记 与 所成的角为 ， 与平面 所成的角为 ，二面角 的平面角为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先用几何法表示出 ，再根据边长关系即可比较大小．
【详解】如图所示，过点 作 于 ，过 作 于 ，连接 ，
则 ， ， ，
， ， ，
所以 ，
故选：A．4．（2022·全国甲卷·高考真题）在长方体 中，已知 与平面 和平面 所成
的角均为 ，则（ ）
A． B．AB与平面 所成的角为
C． D． 与平面 所成的角为
【答案】D
【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出．
【详解】如图所示：
不妨设 ，依题以及长方体的结构特征可知， 与平面 所成角为 ，
与平面 所成角为 ，所以 ，即 ， ，解得
．
对于A， ， ， ，A错误；
对于B，过 作 于 ，易知 平面 ，所以 与平面 所成角为 ，因为
，所以 ，B错误；
对于C， ， ， ，C错误；
对于D， 与平面 所成角为 ， ，而 ，所以
．D正确．
故选：D．
5．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知正方体 ，则（ ）
A．直线 与 所成的角为 B．直线 与 所成的角为
C．直线 与平面 所成的角为 D．直线 与平面ABCD所成的角为
【答案】ABD
【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.【详解】如图，连接 、 ，因为 ，所以直线 与 所成的角即为直线 与 所成
的角，
因为四边形 为正方形，则 ，故直线 与 所成的角为 ，A正确；
连接 ，因为 平面 ， 平面 ，则 ，
因为 ， ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，故B正确；
连接 ，设 ，连接 ，
因为 平面 ， 平面 ，则 ，
因为 ， ，所以 平面 ，
所以 为直线 与平面 所成的角，
设正方体棱长为 ，则 ， ， ，
所以，直线 与平面 所成的角为 ，故C错误；
因为 平面 ，所以 为直线 与平面 所成的角，易得 ，故D正确.
故选：ABD
6．（2018·浙江·高考真题）已知四棱锥 的底面是正方形，侧棱长均相等， 是线段 上的点
（不含端点），设 与 所成的角为 ， 与平面 所成的角为 ，二面角 的平面角
为 ，则
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系.
【详解】设 为正方形 的中心， 为 中点，过 作 的平行线 ，交 于 ，过 作
垂直 于 ，连接 、 、 ，则 垂直于底面 ， 垂直于 ，
因此从而
因为 ，所以 即 ，选D.
【点睛】线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面.
7．（2018·全国·高考真题）已知圆锥的顶点为 ，母线 ， 所成角的余弦值为 ， 与圆锥底面所成
角为45°，若 的面积为 ，则该圆锥的侧面积为 ．
【答案】
【分析】先根据三角形面积公式求出母线长,再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据圆锥侧面积公
式求出结果.
【详解】因为母线 ， 所成角的余弦值为 ，所以母线 ， 所成角的正弦值为 ，因为
的面积为 ，设母线长为 所以 ，
因为 与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为 ，
因此圆锥的侧面积为 ．
【整体点评】根据三角形面积公式先求出母线长，再根据线面角求出底面半径，最后根据圆锥侧面积公式
求出侧面积，思路直接自然，是该题的最优解．
8．（2018·全国·高考真题）在长方体 中， ， 与平面 所成的角为
，则该长方体的体积为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先画出长方体 ，利用题中条件，得到 ，根据 ，求得
，可以确定 ，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.
【详解】在长方体 中，连接 ，根据线面角的定义可知 ，
因为 ，所以 ，从而求得 ，
所以该长方体的体积为 ，故选C.
【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高
的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要
明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.
9．（2018·全国·高考真题）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此
正方体所得截面面积的最大值为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一
个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边
长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.
【详解】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，
所以在正方体 中，
平面 与线 所成的角是相等的，
所以平面 与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，
同理平面 也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，
要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面 与 中间的，
且过棱的中点的正六边形，且边长为 ，
所以其面积为 ，故选A.
点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位
置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面
积的求法，应用相关的公式求得结果.考点03 二面角及其应用
1．（2023·北京·高考真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒
出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面
是全等的等腰三角形．若 ，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平
面 的夹角的正切值均为 ，则该五面体的所有棱长之和为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先根据线面角的定义求得 ，从而依次求 ， ， ， ，再把所
有棱长相加即可得解.
【详解】如图，过 做 平面 ，垂足为 ，过 分别做 ， ，垂足分别为 ，
，连接 ，
由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为 和 ，
所以 .
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ， ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，.
同理： ，又 ，故四边形 是矩形，
所以由 得 ，所以 ，所以 ，
所以在直角三角形 中，
在直角三角形 中， ， ，又因为 ，
所有棱长之和为 .
故选：C
2．（2023·全国乙卷·高考真题）已知 为等腰直角三角形，AB为斜边， 为等边三角形，若二
面角 为 ，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.
【详解】取 的中点 ，连接 ，因为 是等腰直角三角形，且 为斜边，则有 ，
又 是等边三角形，则 ，从而 为二面角 的平面角，即 ，
显然 平面 ，于是 平面 ，又 平面 ，
因此平面 平面 ，显然平面 平面 ，
直线 平面 ，则直线 在平面 内的射影为直线 ，
从而 为直线 与平面 所成的角，令 ，则 ，在 中，由余弦定理得：
，
由正弦定理得 ，即 ，
显然 是锐角， ，
所以直线 与平面 所成的角的正切为 .
故选：C
3．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）（多选）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，
， ，点C在底面圆周上，且二面角 为45°，则（ ）．
A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为
C． D． 的面积为【答案】AC
【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性.
【详解】依题意， ， ，所以 ，
A选项，圆锥的体积为 ，A选项正确；
B选项，圆锥的侧面积为 ，B选项错误；
C选项，设 是 的中点，连接 ，
则 ，所以 是二面角 的平面角，
则 ，所以 ，
故 ，则 ，C选项正确；
D选项， ，所以 ，D选项错误.
故选：AC.
4．（2022·浙江·高考真题）如图，已知正三棱柱 ，E，F分别是棱 上的点．
记 与 所成的角为 ， 与平面 所成的角为 ，二面角 的平面角为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先用几何法表示出 ，再根据边长关系即可比较大小．
【详解】如图所示，过点 作 于 ，过 作 于 ，连接 ，则 ， ， ，
， ， ，
所以 ，
故选：A．
5．（2019·浙江·高考真题）设三棱锥 的底面是正三角形，侧棱长均相等， 是棱 上的点（不含
端点），记直线 与直线 所成角为 ，直线 与平面 所成角为 ，二面角 的平面角
为 ，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及
各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图
形特征，则可事倍功半.
【详解】方法1：如图 为 中点， 在底面 的投影为 ，则 在底面投影 在线段 上，过
作 垂直 ，易得 ，过 作 交 于 ，过 作 ，交 于 ，则
，则 ，即 ，
，即 ，综上所述，答案为B.方法2：由最小角定理 ，记 的平面角为 （显然 ）
由最大角定理 ，故选B.
方法3：（特殊位置）取 为正四面体， 为 中点，易得
，故选B.
【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便
解法.
6．（2018·浙江·高考真题）已知四棱锥 的底面是正方形，侧棱长均相等， 是线段 上的点
（不含端点），设 与 所成的角为 ， 与平面 所成的角为 ，二面角 的平面角
为 ，则
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系.
【详解】设 为正方形 的中心， 为 中点，过 作 的平行线 ，交 于 ，过 作
垂直 于 ，连接 、 、 ，则 垂直于底面 ， 垂直于 ，
因此
从而
因为 ，所以 即 ，选D.
【点睛】线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面.
7．（2017·浙江·高考真题）如图，已知正四面体D–ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P，Q，R分别
为AB，BC，CA上的点，AP=PB， ，分别记二面角D–PR–Q，D–PQ–R，D–QR–P的平面
角为α,β,γ，则A．γ<α<β B．α<γ<β C．α<β<γ D．β<γ<α
【答案】B
【详解】设O为三角形ABC中心，则正四面体D–ABC的顶点在底面ABC的投影为O，过O分别作PR、
PQ、RQ的垂线，垂足分别为E、F、G，连结DE、DF、DG，则有
所以
只需比较OE、OF、OG的大小：
在底面三角形ABC中，建立如图示的坐标系，
不妨设 ,则
所以直线RP的方程为 ，直线PQ的方程为 ，直线RQ的方程为 ,由点到
直线的距离公式，可求出： 所以 ,所以
，有α,β,γ均为锐角，所以α<γ<β.
故选：B
【点睛】立体几何是高中数学中的重要内容，也是高考重点考查的考点与热点．这类问题的设置一般有线
面位置关系的证明与角度距离的计算等两类问题．解答第一类问题时一般要借助线面平行与垂直的判定定
理进行；解答第二类问题时先建立空间直角坐标系，运用空间向量的坐标形式及数量积公式进行求解．
8．（2015·浙江·高考真题）如图，已知 ， 是 的中点，沿直线 将 折成 ，所成
二面角 的平面角为 ，则A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设 ，设 ，则由题意 ，在空间图形中，设 ，
在 中， ，
在空间图形中，过 作 ，过 作 ，垂足分别为 ， ，
过 作 ，连结 ，∴ ，
则 就是二面角 的平面角，∴ ，
在 中， ， ，
同理， ， ，故 ，
显然 面 ，故 ，
在 中， ，
在 中，
，
∵ ， ，∴ （当 时取等号），
∵ ， ，而 在 上为递减函数，∴ ，故选B.
考点：立体几何中的动态问题
考点04 点面距及其应用
1．（2019·全国·高考真题）已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为 ，那么P到平面ABC的距离为 ．
【答案】 .
【分析】本题考查学生空间想象能力，合理画图成为关键，准确找到 在底面上的射影，使用线面垂直定
理，得到垂直关系，勾股定理解决．
【详解】作 分别垂直于 ， 平面 ，连 ，
知 ， ，
平面 ， 平面 ，
， ． ，
，
， 为 平分线，
，又 ，
．
【点睛】画图视角选择不当，线面垂直定理使用不够灵活，难以发现垂直关系，问题即很难解决，将几何
体摆放成正常视角，是立体几何问题解决的有效手段，几何关系利于观察，解题事半功倍．
