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数学参考答案·第1 页（共9 页）
数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
C
C
B
A
D
A
【解析】
1．已知
1
i
z ，则
1
i
z ，故
(1
i)(1
i)
1
( 1)
2
zz
，故选B．
2．由题可知a
b
，故
0
a b
，即
2
0
n
，故
2
n ，故选D．
3．令2x ≥4，解得x≥2，因为
2
(
1)
x
≥1，故
1
x ≥1 或
1
x ≤1
，解得x ≥2 或x ≤0，得
到
[2
)
(
0]
[2
)
A
B
，
，
，
，
，即x
A
可以推出x
B
，而x
B
推不出x
A
，得
到“ x
A
”是“ x
B
”的充分不必要条件，故选C．
4．因为
2
n
x
x
的展开式中，二项式系数的和为64，故2
64
n
，即
6
n
，该二项式的展开
式共7 项，所以二项式系数最大的项为第4 项，故选C．
5．由sin A ∶sin B ∶sin
3
C
∶4∶5 以及正弦定理可得a ∶b ∶c =3∶4∶5，故
π
2
C
，
3
4
5
0
a
k b
k c
k
k
，
，
，
，又
2
1
12
24
2
2
ABC
k
S
ab
△
，解得
2
2
k
，
（舍），又因为
最小的边长为a ，故
3
6
a
k
，故选B．
6．
3
( )
3
2
f x
x
ax
，则
2
( )
3
3
f
x
x
a
，若
( )
f x 存在至少2 个零点，由函数单调性可知，
( )
f x 要同时存在极大值和极小值，故
0
a
，当
0
a
时，结合
( )
f
x
可知：
( )
f x 的极大值
为
(
)
f
a
，极小值为
(
)
f
a ，若
( )
f x 要存在至少2 个零点，则
(
)
0
(
)
f
a
f
a
≥，
≤0，
即
3
2
3
2
2
2
0
2
2
a
a
≥，
≤0，
解得
1
a≥，故选A．
数学参考答案·第2 页（共9 页）
7．由
0
a
，
0
b
，
2
a
b
ab
可得1
1
1
2
2
a
b
，所以1
1
2a ，即
1
2
a
，同理可得1
1
2b ，
则
1
2
b
，故A 正确；因为
0
0
a
b
，
，故2ab
a
b
≥2 ab ，当且仅当
1
a
b
时，等
号成立，所以ab ≥
ab ，即
ab ≥1，ab≥1，故B 正确；由A 可知：
1
2
a
，
1
2
b
，可
得
1
2
b
a
a
，不等式两边同时加上1
2b ，可得
1
1
1
2
2
2
b
a
b
a
b
，又1
1
1
2
2
a
b
，所以
1
1
2
b
a
b
，故C 正确；由1
1
1
2
2
a
b
可得
1
1
3
2
(
2 ) 2
2
2
2
a
b
a
b
a
b
a
b
b
a
≥3
3
2
2
2
2
2
a
b
b
a
，当且仅当2
a
b
b
a
时，即
1
2
2
2
2
4
a
b
，
时等号成立，所
以
2
a
b
≥3
2
2
，故D 错误，故选D．
8．在
(
1)
( ) ( )
( )
2
f xy
f x f y
f y
x
中，令
0
x
，得
( 1)
(0)
( )
( )
2
f
f
f y
f y
，且
(0)
1
f
，故
( 1)
2
f
；令
0
y
，得
( 1)
( )
(0)
(0)
2
f
f x
f
f
x
，所以
( )
1
f x
x
．所
以
1
1
1
1
(
1) (
2)
(
1)
1
f x
f x
x x
x
x
，所以
2025
1
1
(
1) (
2)
i
f i
f i
1
1
1
1
1
1
2025
1
1
2
2
3
2025
2026
2026
2026
…
，故选A．
二、多项选择题（本大题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求，全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分）
题号
9
10
11
答案
AC
BD
BCD
【解析】
9．对于抛物线
2
2
(
0)
y
px p
，由题中方程知
4
p
，故准线方程为
2
2
p
x
，故选项
A 正确；焦点坐标为(2，0)，故选项B 错误；若
0
4
y
，则
0
2
x
，且
0
|
|
2
p
PF
x
，故
|
| 4
PF
，故选项C 正确；因为
0
0
|
|
2
2
p
PF
x
x
，点P 在抛物线C 上，故
0x ≥0，
故|
|
PF ≥2，故选项D 错误，故选AC．
10．把原样本25 个数据从小到大排列，记为：
1
2
3
25
x
x
x
x
，，，，
…
，中位数是
13
x ；去掉最大的
2 个和最小的1 个数据后，剩下22 个数据：
2
3
23
x
x
x
，，，
…
，此时数据个数为偶数，中位
数学参考答案·第3 页（共9 页）
数是
12
x 和
13
x 的平均数，而这组数互不相同，所以剩下的22 个样本数据的中位数与原样
本数据的中位数不同，故选项A 错误；25 30%
7.5
，原样本数据的30%分位数是
8x ；
22
30%
6.6
，剩下22 个数据的30% 分位数是第7 个数据，即
8x ，故选项B 正确；由
题可知：
1
2
22
3
22
3
22
3
x
x
x
，因为
1
2
x
x
，故
1
2
x
x
x
，故选项C 错误；
2
2
2
2
2
1
1
2
2
22
3
[
(
) ]
[
(
) ]
22
3
22
3
s
s
x
x
s
x
x
，而
1
2
x
x
x
，故
2
2
2
1
2
25
22
3
s
s
s
，故
选项D 正确，故选BD．
11．
1
1
1
1
1
(
)
sin(
)
sin( 2 )
sin( 3 )
sin( 4 )
sin( 50 )
sin
sin 2
2
3
4
50
2
f
x
x
x
x
x
x
x
x
…
1
1
1
sin3
sin 4
sin(50 )
( )
3
4
50
x
x
x
f x
-
…
，故
( )
f x 为R 上的奇函数，图象关于原点对
称，故选项A 错误；当
π
π
12
12
x
，
时，
π
π
π
π
2
3
6
6
4
4
x
x
，
，
，
，故
sin
y
x
，
1
1
sin 2
sin3
2
3
y
x
y
x
，
，在
π
π
12
12
，
上都是增函数，则
( )
f x 在
π
π
12
12
，
上单调递
增，选项B 正确；因为
sin
y
x
的最小正周期为2π ，
1 sin 2
2
y
x
的最小正周期为π ，
所以
( )
g x 的最小正周期为2π ，其频率
1
1
1 Hz
2π
f
T
，纯音( )
h x 的最小正周期为2π
4 ，
其频率
2
1
2 Hz
π
f
T
，声音甲的频率更低，故声音甲比纯音( )
h x 低沉，选项C 正确；
π
1
1
( )
sin
sin
sin(2
π)
sin
cos
sin 2
2
2
2
F x
x
x
x
x
x
x
，令sin
cos
x
x
t
，
[
2
2]
t
，
，平方可得：
2
1
sin 2x
t
，代入上式得
2
2
1
1
1
(
1)
2
2
2
y
t
t
t
t
，
[
2
2]
t
，
，由二次函数知识，
1
2
1
2
y
，
，故选项D 正确，故选BCD．
三、填空题（本大题共3 小题，每小题5 分，共15 分）
题号
12
13
14
答案
2.6
3
4
7
0
x
y
16 6
3
数学参考答案·第4 页（共9 页）
【解析】
12．由分布列性质，得0.2
0.3
0.3
1
a
，解得
0.2
a
，故
(
)
1 0.2
2
0.3
3 0.2
E X
4
0.3
2.6
．
13．由题意，直线AB 的斜率存在，设
1
1
2
2
(
)
(
)
A x
y
B x
y
，
，
，
，则
1
2
2
x
x
，
1
2
2
y
y
，因为
点A B
，在椭圆上，所以
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
8
6
8
6
x
y
x
y
，
，两式相减得，
2
2
2
2
1
2
1
2
8
6
x
x
y
y
，即
1
2
1
2
1
2
1
2
(
)(
)
(
)(
)
4
3
x
x
x
x
y
y
y
y
，整理得
1
2
1
2
1
2
1
2
3
4
y
y
x
x
x
x
y
y
，即
1
2
1
2
3
4
y
y
x
x
，所
以直线AB 的斜率为
3
4
，则直线AB 的方程为
3
1
(
1)
4
y
x
，即3
4
7
0
x
y
．
14．由题可知，球心O 为AB 的中点，对于给定的，
(
sin )
16sin
2
ABC
AB
OC
S
△
，记
点D 到平面ABC 的距离为h ，则
max
1
( )
(
)( )
3
ABC
V
S
h
△
，当面DOC 面ABC 时，h 取
最大值，故
max
2 3
h
，故
1
32 3sin
( )
(16sin )
2 3
3
3
V
，而
π
3π
4
4
，
，故
min
32 3
2
16 6
( )
3
2
3
V
．
四、解答题（本大题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13 分）
（1）证明：数列{
}
na
中，
1
1
a ，
2
6
5
a
，
当n ≥2 时，
1
1
5
6
n
n
n
a
a
a
，
即
1
1
5
5
n
n
n
n
a
a
a
a
，
即
1
1
1 (
)
5
n
n
n
n
a
a
a
a
，且
2
1
1
5
a
a
，
所以
1
{
}
n
n
a
a
是以
2
1
1
5
a
a
为首项，以1
5 为公比的等比数列．…………………（6 分）
（2）解：由（1）知
1
*
1
1
1
1
(
)
5
5
5
n
n
n
n
a
a
n
N
，
故当n ≥2 时，
1
1
1
5
n
n
n
a
a
，
1
1
2
2
1
1
(
)
(
)
(
)
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
…
，
数学参考答案·第5 页（共9 页）
故
1
2
1
1
1
1
1
5
5
5
n
n
na
…
，故
1
5
1
1
4
4
5
n
na
(n≥2)，
对于
1
n ，
0
5
1
1
1
4
4
5
na
，所以
1
*
5
1
1
(
)
4
4
5
n
na
n
N
． ………………（13 分）
16．（本小题满分15 分）
（1）证明：如图1，连接
1A B ，交
1B E 于点G，
因为
1
1
A B∥AB，所以
1
1
A B G
△
与
BEG
△
相似，
且
1
1
A B
BE
，
故
1
1
A B G
△
∽
==
BEG
△
，故
1AG
BG
，且BF
FC
，故
1AC
GF
∥
，
而GF 平面
1B FE ，
1AC 平面
1B EF ，故
1AC∥平面
1B EF ．………………………（7 分）
（2）解：延长
1
1
1
1
AA
BB
CC
DD
，
，
，
交于点P ，则P
ABCD
为正四棱锥，
连接AC
BD
，
交于点O ，则AC
BD
，且PO 平面
ABCD，
故以AC
BD PO
，
，
所在直线为坐标轴，建立如图2
所示空间直角坐标系，
点H 为点
1
D 在平面ABCD 内的投影点，结合已知以
及正四棱台的几何性质知
1
2
DH
D H
；
故
1
1
(2 0 2)
(2 2 0)
(2
2 0)
(0
2 2)
B
E
F
C
，，，
，，，
，
，，
，
，，
1
2
n
n
，
分别为平面
1B EF 与平面
1
C EF 的法向量，
则
1
1
1
0
0
n
EF
n
EB
，
，
可取
1
(1 0 0)
n
，，
，
2
2
1
0
0
n
EF
n
EC
，
，
可取
2
(1 0 1)
n
，，，
记为二面角
1
1
C
EF
B
的平面角，为
1
2
n
n
，
的夹角，由图可知为锐角，
故
1
2
1
2
2
cos
| cos
|
2
|
| |
|
n
n
n
n
，故
π
4
． ………………………………………（15 分）
图1
图2
数学参考答案·第6 页（共9 页）
17．（本小题满分15 分）
（1）证明：若
0
a ，则
2
3
( )
2
f x
x
x
，欲证
( )
f x ≥1
2
ln x
在[1，+∞)上恒成立，
即证明：
2
3
1
ln
2
2
x
x
x
≥0 在[1，+∞)上恒成立，
令
2
3
1
( )
ln
2
2
g x
x
x
x
，
则
2
1
13
3
6
1
3
2
1
( )
1
x
x
g x
x
x
，
令
2
1
13
( )
3
6
12
h x
x
，又x≥1，
故( )
h x ≥1，则
( )
0
g x
，
故( )
g x 在[1，+∞)上单调递增，则( )
g x ≥( )1
g
，即( )
g x ≥0，
故
( )
f x ≥1
ln
2
x
在[1，+∞)上恒成立．
…………………………………………………………………………………（7 分）
（2）解：
2
3
(3
1)
(3
1)(
)
( )
3
(3
1)
a
x
a
x
a
x
x
a
f
x
x
a
x
x
x
，
①若a ≤0，则当
1
0 3
x
，
时，
( )
0
f
x
，
( )
f x 单调递减，
当
1
3
x
，
时，
( )
0
f
x
，
( )
f x 单调递增；
②若
1
0
3
a
，则当
(0
)
x
a
，
时，
( )
0
f
x
，
( )
f x 单调递增，
当
1
3
x
a
，
时，
( )
0
f
x
，
( )
f x 单调递减，
当
1
3
x
，
时，
( )
0
f
x
，
( )
f x 单调递增；
③若
1
3
a
，则当
(0
)
x
，
时，
( )
f
x
≥0，
( )
f x 单调递增；
④若
1
3
a
，则当
1
0 3
x
，
时，
( )
0
f
x
，
( )
f x 单调递增，
当
1
3
x
a
，
时，
( )
0
f
x
，
( )
f x 单调递减，
当
(
)
x
a
，
时，
( )
0
f
x
，
( )
f x 单调递增．
综上，当a≤0，
( )
f x 的单调递减区间为
1
0 3
，
，单调递增区间为1
3
，
；
数学参考答案·第7 页（共9 页）
当
1
0
( )
3
a
f x
，
的单调递减区间为
1
3
a
，
，单调递增区间为(
1
0
3
)
a
，，
，
；
当
1
3
a
，
( )
f x 无单调递减区间，单调递增区间为(0，+∞)；
当
1
3
a
，
( )
f x 的单调递减区间为1
3
a
，
，单调递增区间为
1
0
(
)
3
a
，
，，
．
…………………………………………………………………………………（15 分）
18．（本小题满分17 分）
（1）解：甲赢得挑战的概率为：1
1
1
1
1
1
1
1
1
5
1
3
3
3
3
3
3
3
3
3
243
．
……………………………………………………………………………………（4 分）
（2）（i）解：
4
4
2
65
1
3
81
P
；当乙同学回答完6 道题目后，出现连续答对至少4 道题
这一情形，可能的情况为：6 道都答对、连续答对5 道（第1 道或者第6 道答错）、连续
答对4 道（1~4 道答对，第5 道答错，第六道答对或者答错；第1 道答错，2~5 道答对，
第6 道答错；第1 道答对或答错，第2 道答错，3~6 道答对），
故
6
5
1
4
1
4
2
4
1
6
2
2
1
2
1
2
1
2
1
163
1
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
243
P
；
……………………………………………………………………………………（10 分）
（ii）证明：乙同学答完n 道题后，如果没有出现连续答对至少4 道题的情形，
则由题意可如下分类：
① 第n 题答错，且前
1
n 题未出现连续答对至少4 道题的情形，此时概率为
1
1
3
nP ；
② 第n 题答对，第
1
n 题答错，且前
2
n
题未出现连续答对至少4 道题的情形，此时概
率为
2
2
1
3
3
nP
；
③ 第n 题答对，第
1
n 题答对，第
2
n
题答错，且前
3
n
题未出现连续答对至少4 道题
的情形，此时概率为
3
2
2
1
3
3
3
nP
；
④第n 题答对，第
1
n 题答对，第
2
n
题答对，第
3
n
题答错，且前
4
n
题未出现连续
答对至少4 道题的情形，此时概率为
4
2
2
2
1
3
3
3
3
nP
，
由全概率公式：
1
2
3
4
1
2
1
2
2
1
2
2
2
1
(
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
n
n
n
n
n
P
P
P
P
P
n
≥
*
6
)
nN
，
①，
数学参考答案·第8 页（共9 页）
因此
1
2
3
4
5
1
2
1
2
2
1
2
2
2
1
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
n
n
n
n
n
P
P
P
P
P
(n ≥
*
6
)
nN
，
②，
2
3
①-
②：
1
5
16
243
n
n
n
P
P
P
≤0(n ≥
*
6
)
nN
，
，
所以当n ≥6，
*
nN 时，
nP ≤
1
nP ，故
100
P
≤
99
P ．…………………………………（17 分）
19．（本小题满分17 分）
（1）解：由题可知，
10
0
0
2
c
a
b
a
，
，
，
2
a
，且
2
2
2
c
a
b
，故
3
b
，
故此时C 的方程为
2
2
1
2
3
x
y
．…………………………………………………………（4 分）
（2）（i）证明：设
0
0
(
)
M x
y
，
，由题可知M 点处的切线方程为
0
0
2
2
1
x x
y y
a
b
，
故直线m 的斜率为
2
0
2
0
m
b x
k
a y
，且
1
0
0
MF
y
k
x
c
，
2
0
0
MF
y
k
x
c
，
记直线m 与直线
1
MF 的夹角为，记直线m 与直线
2
MF 的夹角为，直线m 与x 轴交于
点E，而
2
1
1
2
MEF
MF E
MEF
MF E
，
，
故
1
1
2
2
2
0
2
1
2
2
0
0
0
(
)
tan
tan(
)
1
(
)
m
MF
m
MF
k
k
b
a
cx
b
MEF
MF E
k k
y a c
c x
cy
，
2
2
2
2
2
0
1
2
2
2
0
0
0
(
)
tan
tan(
)
1
(
)
m
MF
m
MF
k
k
b cx
a
b
MEF
MF E
k k
y c x
a c
cy
，则tan
tan
，
且
π
0
2
，
，
，故
，即切线m 平分
1
2
F MF
；……………………………（10 分）
（ii）解：
2
|
|
|
|
IF
AB 为定值1
2 ；由（i）可推知
1F
M
P
，，三
点共线，且由（i）的证明过程可知N 点处也成立这一
性质，即切线n 平分
1
2
F NF
，故可推知
1F
N Q
，，三点
共线，故
1
NMF
△
为直角三角形，如图3，
1
3
sin
sin
5
MNQ
MNF
，
可令
1
|
| 3 (
0)
MF
t t
，则
1
|
| 5
|
| 4
NF
t
MN
t
，
，
由双曲线的定义可得
1
2
1
2
(|
|
|
|)
(|
|
|
|)
4
MF
MF
NF
NF
a
，
图3
数学参考答案·第9 页（共9 页）
即
1
1
|
|
|
|
|
| 4
MF
NF
MN
a
，即3
5
4
4
t
t
t
a
，所以t
a
，
所以
1
1
|
| 3
|
| 5
|
|
4
MF
a
NF
a
MN
a
，
，
，
所以
2
1
|
| |
| 2
MF
MF
a
a
，
在直角
2
1
F MF
△
中，
1
2
1
2
|
|
tan
3
|
|
MF
MF F
MF
，
所以直线
2
MF （即直线l）的方程为
3(
)
y
x
c
，
由
2
2
2
1
2
1
2
|
|
|
|
|
|
MF
MF
F F
，得
2
2
2
9
4
a
a
c
，
所以
2
2
2
2
5
2
c
a
a
b
，所以
2
2
3
2
a
b
，
所以两条渐近线的方程为
2
2
3
2
y
x
，且双曲线C 的离心率
10
2
e
，
由题可知直线
3(
)
y
x
c
，与双曲线C 的两条渐近线都相交，
联立
2
2
3(
)
3
2
y
x
c
y
x
，得
2
2
5
12
6
0
x
cx
c
，
设
1
1
2
2
(
)
(
)
G x
y
H x
y
，
，
，
，则
2
1
2
1
2
12
6
5
5
c
c
x
x
x x
，
，
故
1
2
1
2
6
3(
)
6
5
c
y
y
x
x
c
，所以
6
3
5
5
c
c
I
，
，
所以
2
2
2
6
3
10
|
|
0
5
5
5
c
c
IF
c
c
，
所以
2
10
|
|
10
1
5
|
|
2
10
2
c
IF
e
AB
a
，所以
2
|
|
|
|
IF
AB 为定值1
2 ．……………………………（17 分）
