数学-2024届新高三开学摸底考试卷（九省新高考通用）01（答案及评分标准）_2024届新高三开学摸底考试卷_数学-2024届新高三开学摸底考试卷

2024届新高三开学摸底考试卷（九省新高考专用）01 数学·答案及评分标准 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B C C A C C A D AD BCD ACD BD 13．-200 14．8 15．2 16．4 17． 【答案】 【详解】 = .（10分） 18． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示得 ，应用正余弦定理的边 角关系化简，结合锐角三角形求角C； （2）法一：将 用 的三角函数表示出来，结合 求周长范围；法二：首先得到 ， 再用 表示周长，利用函数的单调性求范围. 【详解】（1） ， （法一） ， ， ， ∴ ，则 ，又 为锐角三角形，故 . （法二）则 ， ，∴ ，且 为锐角三角形，故 .（6分） （2） ， ， 由于 为锐角三角形，则 ，且 ，解得 ， （法一）周长 ，而 ，即 ， ∴ ，故 的周长l的取值范围为 ． （法二）由上 ，由余弦定理得 ， 周长 ， 记 ，则 在 单调递增， ∴ 的周长l的取值范围为 ．（12分） 19． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接 ，先根据 是等腰直角三角形证出中线 ，再结合 证出 ，利用平面与平面垂直的判定定理，可证出平面 平面 ；（2）依题意可得 ，则 ，再根据 计算可得. （3）过 分别作 于 ， 于 ，再连接 ，根据三垂线定理证明 为二面角 的平面角，最后分别在 、 、 中计算出 、 和 ，最后 求出所求二面角的余弦值．【详解】（1）连接 ， ， 是 的中点， ， 又 底面 ， 底面 ， ， ， 平面 ， 平面 ，而 平面 ， 平面 平面 .（5分） （2）因为 是 的中点， 是 的直径，所以 ， 所以 ， 所以 .（7分） （3）在平面 中，过 作 于 ，由（1）知，平面 平面 ， 平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ， 又 平面 ， ， 在平面 中，过 作 于 ，连接 ， ， 平面 ， 所以 平面 ，又 平面 ，从而 ． 故 为二面角 的平面角， 在 中， ， 在 中， ， 在 中， ， 在 中， ，所以 ，故二面角 的余弦值为 .（12分） 20． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②最大值为 ， ． 【分析】（1）根据双曲线与椭圆的离心率，结合椭圆的定义求解即可； （2）①设 ，BA的方程为 ，再联立椭圆的方程，利用韦达定理表达 化 简即可； ②同①，根据弦长公式结合点到线的距离公式，代入韦达定理化简可得 的表达式，结合 的范围求解 面积范围即可. （1） 由椭圆的定义知 ，双曲线 的离心率为 ， 故椭圆 的离心率 ，故 ， ， ，故椭圆的方程为 ．（3分） （2） ①证明：设 ，则 ． 设直线BA的方程为 ，联立方程 化简得，，∴ ， ， ∴ ；②当直线AB的斜率不存在时，可知 ， ， ，故 ，当直线AB的 斜率存在时，由①知， ， ， ， ， 点C到直线AB的距离 ， 故 . 故△ABC面积的最大值为 ，此时AB的方程为 ．（12分） 21． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数为奇函数得到 ，故 ，求出 ，分 与 两种情况，结合单调性，列出不等式，求出 的取值范围； （2）根据 ， ，求出 或 ，分两种情况，利用导函数得到单调性和极值情 况，得到 时 的值域. 【详解】（1） 是定义域为 的奇函数，∴ ，即 ， 故 ， ，且 . .当 时， ，此时 在 上单调递减， 在 上只有1个零点，不合题意. 当 时，令 ，解得 ， 令 ，解得 或 ， 在 ， 上单调递减，在 上单调递增. 在 上有3个零点， 且 ， 由函数为奇函数，故只需 ， 即 ， . 实数 的取值范围是 .（6分） （2） ， 由已知可得 ，且 ， 解得 或 ， 当 ， 时， ， . 令 ，即 ，解得 ， 易知 是 的极小值点，与题意不符； 当 ， 时， ， . 令 ，即 ，解得 ，易知 是 的极大值点，符合题意，故 ， . ， 在 上单调递增，在 上单调递减.又 ， ， . 在 上的值域为 .（12分） 22． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数研究 的单调性求最值； （2）令 ，问题化为 恒成立，利用导数研究 单调性，讨论参数a及定义 域判断 符号，即可求范围. 【详解】（1）由题意 ， ， 令 ，则 ，当 时 ，当 时 ． 所以 ．（5分） （2）由 ， 所以 ， 记 ，即 恒成立，且 ， 当 时，当 ，令 ，则 ， 所以 在 单调递增，且 ， ，（令 且 ，则 ，故 在 上递增，则 ，所以 ，以 上 成立）， 故存在唯一 ，使得 ， 当 时 ， 递减，所以 ，此时 ，不合题意． 当 时，（ⅰ）若 ，由上知 ，则 递增，（令 且 ，则 ，故 在 上递增，则 ，所以 ， 以上 成立）， 所以 恒成立，即 成立，符合题意． （ⅱ） ，若 ，则 单调递增， ， ，所以存在唯一 使 ， 当 时 ， 递减，当 时 ， 递增， 又 ， ，故存在唯一 ，使 ， 故 时 ， 递增， 时 ， 递减， 又 ， ， 所以 时 ，则 递增，故 ，即 恒成立． 综上， .（12分） 【点睛】关键点点睛：第二问，注意构造中间函数研究单调性并确定零点，进而判断 的符号求参数范 围.公众号：高中试卷君