文档内容
2024届新高三开学摸底考试卷（九省新高考专用）03
数 学
本试卷共22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据分式不等式求解即可化简 ,进而根据集合的交集即可求解.
【详解】由 ，得 ，即 ，所以 ．又 ，所以
．
故选:B．
2．在 中,若 ,且 ,则 （ ）
A．60° B．45° C．30° D．15°
【答案】C
【分析】根据 ,利用两角和的正切公式可得 ,即可得 ,根
据 即 的范围可得 ,进而可求得 .
【详解】解:因为 ,
所以 ,
即 ,
因为B,C为 的内角,所以 ,即 ,
所以 , ,因为 ,所以 ,即 ,所以 .
故选:C
3．已知一组数据3，5，7，x，10的平均数为6，则这组数据的方差为（ ）
A． B．6 C． D．5
【答案】C
【分析】先根据平均数公式求出x，再利用方差公式求解.
【详解】由题意得 ，得
所以这组数据的方差
故选：C
4．已知函数 .给出下列结论：① 是 的最小值；②函数 在
上单调递增；③将函数 的图象上的所有点向左平移 个单位长度，可得到函数 的图象.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【分析】先利用辅助角公式化一，再根据正弦函数的性质即可判断①②，根据平移变换的原则即可判断③.
【详解】 ，
对于①， ，是 的最小值，故①正确；
对于②，当 时， ，
所以函数在区间 上不具有单调性，故②错误；
对于③，将函数 的图象上的所有点向左平移 个单位长度，
得 ，故③正确，
所以正确的有①③.
故选：B.
5．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过点 的直线交抛物线 于 两点，过点 作准线
的垂线，垂足为 ，点 为准线 与 轴的交点，若 ，则四边形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】由抛物线的定义可得 是正三角形，设 ，根据几何性质求得 点坐标，
从而可得直线 的方程，联立直线与抛物线可求得 点坐标，按照面积分割即可得四边形 的面积.
【详解】如图，不妨设点 在 轴上方，
由抛物线的定义可知 ，因为 ，所以 ，所以 是正三角
形.
由 可知 ，设 ，因为 ，
所以 .所以 .
所以点 的坐标为 ，所以直线 的方程为 ，整理得 .
由 ，得 ，解得 .
将 代入直线 的方程，得 ，所以点 的坐标为 .
所以 .
故选： .
6．2022卡塔尔世界杯比赛场地是在卡塔尔的8座体育馆举办．将甲、乙、丙、丁4名裁判随机派往卢赛
尔，贾努布，阿图玛玛三座体育馆进行执法，每座体育馆至少派1名裁判，A表示事件“裁判甲派往卢赛
尔体有馆”；B表示事件“裁判乙派往卢赛尔体育馆”；C表示事件“裁判乙派往贾努布体育馆”，则（
）
A．事件A与B相互独立 B．事件A与C为互斥事件
C． D．
【答案】D
【分析】先求出每个体育馆至少派一名裁判总的方法数，再求出事件A，B分别发生的情况数与事件A，B
同时发生的情况数，得到 ，判断出A错误，
同理可得B错误；
利用条件概率求解公式得到C错误，D正确.【详解】记三座体育馆依次为①②③，每个体育馆至少派一名裁判，则有 种方法，事件A：甲派往①，则若①体育馆分2人，则只需将乙、丙、丁与三个体育馆进行全排列即可，有
种，
若①体育馆分1人：则将乙、丙、丁分为两组，与体育馆②③进行全排列，有 种，共有
种，
∴ ，
同理 ，
若甲与乙同时派往①体有馆，则①体育馆分两人，只需将丙，丁与体育馆②③进行全排列，有 种，
∴ ，故事件A与B不相互独立，A错误；
同理可得， ，
若甲派往①体有馆与乙派往②体育馆同时发生，若丙丁2人都去往体育馆③，有 种，
若丙丁只有1人去往体育馆③，剩余的1人去往体育馆①或②，有 种情况，
综上：甲派往①体有馆与乙派往②体育馆同时发生的情况有 种，
故 ，B错误；
，D正确；
事件C：裁判乙派往②体育馆，若②体育馆分2人，则只需将甲、丙、丁与三个体育馆进行全排列，有
种，
若②体育馆分1人，则则将甲、丙、丁分为两组，与体育馆①③进行全排列，有 种，共有
种，
∴ ，
若事件A，C同时发生，
若丙丁2人都去往体育馆③，有 种，
若丙丁只有1人去往体育馆③，剩余的1人去往体育馆①或②，有 种情况，
综上：事件A，C同时发的情况有 种，
∴ ， ，C错误；
故选：D
7．三棱锥 中， 平面 ， .若 ， ，则该三棱锥体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】设 ，其中 ，利用勾股定理可求得 ，并求出 的面积，利用锥体的体积公式
以及基本不等式可求得结果.
【详解】设 ，其中 ，如下图所示：
因为 平面 ， 平面 ，所以， ，
因为 ，所以， ，
又因为 ，所以， ，
由 可得 ， ，
，
当且仅当 时，即当 时，该三棱锥体积取最大值为 .
故选：D.
8．函数 的大致图像为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，由函数的奇偶性可排除AD，再由 可排除C，即可得到结果.【详解】因为 ，其定义域为 ，所以 ，
所以 为偶函数，排除选项A，D，
又因为 ，因为 ，所以 ，所以 ，排除选项C.
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知O为坐标原点，点 ， ， ，
则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】利用平面向量的坐标表示与旋转角的定义推得 是正三角形，从而对选项逐一分析判断即可.
【详解】对于A，因为 ， ， ，
所以 ， ，
故 是正三角形，则 ，故A正确；
对于B，因为 是正三角形， 是 的外心，
所以 是 的重心，故 ，即 ，故B正确；
对于C， ，故C正确；
对于D，因为 ，则 ，
所以 ，故D错误.
故选：ABC．
.
10．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图
1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧 所在圆的半径分别是3和9，且
，则该圆台的（ ）
A．高为 B．体积为
C．表面积为 D．上底面积､下底面积和侧面积之比为
【答案】AC
【分析】设圆台的上底面半径为 ，下底面半径为 ，求出 ，即可判断选项A正确；利用公式
计算即可判断选项BCD的真假得解.
【详解】解：设圆台的上底面半径为 ，下底面半径为 ，则 ，解得
．圆台的母线长 ，圆台的高为 ，则选项 正确；
圆台的体积 ，则选项 错误；
圆台的上底面积为 ，下底面积为 ，侧面积为 ，则圆台的表面积为 ，
则 正确；
由前面可知上底面积､下底面积和侧面积之比为 ，则选项D错误．
故选：AC．
11．已知向量 ， 的夹角为 ， ， ， ，则（ ）
A． 在 方向上的投影向量的模为
B． 在 方向上的投影向量的模为
C． 的最小值为
D． 取得最小值时，
【答案】AD
【分析】AB选项，利用投影的定义求解判断；CD选项，利用数量积的运算律求解判断.
【详解】因为 在 方向上的投影向量的模为 ，故A正确；因为 在 方向上的投影向量的模为 ，故B错误；
，当 时， 取得最
小值 ，此时 ，所以 ，故C错误，D正确．
故选：AD
12．已知函数 ，则（ ）
A． 的单调递减区间是 B． 有4个零点
C． 的图象关于点 对称 D．曲线 与 轴不相切
【答案】CD
【分析】对A直接求导，令导函数小于0，解出即可，对B，通过求出极大值和极小值，结合其单调性即
可判断，对C选项利用函数奇偶性和函数平移的原则即可判断，对D，利用函数极大值、极小值的符号即
可判断.
【详解】A选项：易知 的定义域为 ，
，
令 0，解得 或 ，
所以 的单调递减区间为 和 ，A错误；
B选项：令 ，解得 或 ，所以 在 ，和 上单调递增，
所以当 时， 取得极大值，因为 ，且 在 上单调递减，所以 在
上没有零点，
当 时， 取得极小值，因为 ，所以 在 上至多有两个零点，B错误；
C选项：设 ，函数定义域为 ，关于原点对称，
且 ，则 为奇函数，
所以 的图象关于原点对称，将 的图象向下平移2个单位长度得到 的图象，所以 的图
象关于点 对称，C正确；
D选项：因为 的极小值 ，极大值 ，所以曲线 与 轴不相切，D正确.
故选：CD.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数 的图象在点 处的切线方程是______．
【答案】
【分析】求得函数的导数，求得 和 的值，结合直线的点斜式方程，即可求解.
【详解】由题可得， ，
， ，
故所求切线方程为 ，即 ．
故答案为： ．
14．若 ，则 ______．
【答案】
【分析】由 ，求出 ， .利用和差角公式求出 ，再用二倍角公式
即可求解.
【详解】因为 ， ，所以由 可得： ， .
因为 ，所以 .
同理： .
所以 .
因为 ，
所以 ，所以 ，所以 .
故答案为： .
15．已知 是等比数列， ， ，则 ______．
【答案】
【分析】根据等比数列通项公式基本量计算得到公比，从而得到 为公比为 的等比数列，首项为
8，利用求和公式求出答案.
【详解】设 的公比为 ，则 ，解得： ，
故 ，所以 ，故 ，则 为公比为 的等比数列，首项为 ，
所以则
故答案为：
16．已知函数 的最小正周期为T， ，且 对任意的
恒成立，则一个满足题意的 的值是______.
【答案】5（答案不唯一）
【分析】根据给定条件，结合辅助角公式求出 ，再利用恒成立的不等式求出 的表达式作答.
【详解】依题意， ，而 ，
则 ，
又 ，因此 ，因为 对任意的 恒成立，
于是函数 在 处取得最小值，即 ， ，解得 ， ，又 ，
所以 ， ，取 ，得 .
故答案为：5
四、解答题：本题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程成
演算步骤
17．已知 ，且 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由同角三角函数的平方关系结合角的象限计算 ，再由商数关系计算 ；
（2）先由二倍角公式计算 和 ，再代入和差角公式计算即可.【详解】（1） ， ，（2）由（1）得 ，
所以 ，
，
所以
18．已知抛物线 ，点 为抛物线焦点．过点 作一条斜率为正的直线l从下至上依次交抛
物线于点 与点 ，过点 作与l斜率互为相反数的直线分别交x轴和抛物线于 、 ．
(1)若直线 斜率为k，证明抛物线在点 处切线斜率为 ；
(2)过点 作直线分别交x轴和抛物线于 、 ，过点 作直线分别交x轴和抛物线于 、
，且 ，直线 斜率与直线 斜率互为相反数．证明数列 为等差数列．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）设 ，可用点的坐标表示 ，根据斜率关系可得
的关系，根据导数求出点 处切线斜率，从而可证抛物线在点 处切线斜率为 ；．
（2） 设 ，根据题设的共点的直线的斜率关系可得 ，
从而可证 、 为等差数列，故可证 为等差数列．
【详解】（1）设
则 ，同理 ．
，即 ， ， ．
当 时， ，
∴抛物线 在点 处切线斜率为 ，得证．（2）设 ，
故直线 ，
令 ，则 ，故 ，同理 ．
当 时，
故
，
当 时，同理有 ，
∵ ，故 ，
整理得到： ，因此 ，
由 可得 ，故 ，
因此 ，即 为等差数列，设其公差为 ．
而 ，故 ，其中 ．
又直线 ，因该直线过 ，
故 ，解得 ，
故 ，∴ ，
故 ，而 ，
故 ，∴ 为等差数列，设其公差为 ．故 ，故当 时，
，
该数为常数．
当 时， ，
该数为常数，
而 ，
故 ，故 ，
故对任意的 ， 为常数，故数列 为等差数列．
19．如图，在四棱锥 中， ， ， ， ， ，
， .
(1)证明： 平面 ；
(2)求 与平面 所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）通过勾股定理，证明出 可证得 平面 .
（2）作 ，垂足为H，连结 ，证得 为 与平面 所成的角，在 中求
即可.
【详解】（1）∵ ， ， ，
由勾股定理得： ，
中， ，
∵ ，∴ ，
又因为 底面 ， 底面 ，所以 ，
又因为 且 平面 ，∴ 平面 ，（2）作 ，垂足为H，连结 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 且 平面 ，所以 平面 ，
所以 为 与平面 所成的角，
中， ，
，
所以直线 与平面 所成角的余弦值为 .
20．记 为数列 的前n项和，已知 ．
(1)若数列 为等差数列，且 ，求 ；
(2)在（1）的条件下，若 ，求数列 的前n项和 ；
(3)在（1）的条件下，证明：当 时， ．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由已知可得 ， ，然后即可根据等差数列的前n项和公式，即可得出答案；
（2）由（1）可推得 ，然后根据错位相减以及等比数列的前n项和公式，即可得出答案；
（3）由（1）可推得 ，进而可得当 时， .裂项求和即可得出证明.
【详解】（1）由已知 ，
所以 ，所以， ．（2）由（1）可知， ， ，
所以 ，
所以 ①，
②，
所以① ②可得 ，
所以 ．
（3）由（1）可推得 .
当 时， ，
所以
，
，
所以当 时， ．
21．已知椭圆 过点 ，且离心率为
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若直线l与椭圆E相切，过点 作直线l的垂线，垂足为N，O为坐标原点，证明： 为定值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用椭圆过点 ，得到 ，再由椭圆的离心率为 ，求出 的值，从而求到椭圆
的标准方程；（2）对直线 的斜率为0、斜率不存在及斜率存在且不为0三种情况讨论，从而求出 ，得到结论.【详解】（1）因为椭圆过点 ，所以 ，
又 ， ，所以 ，得到 ，
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）当直线斜率 存在且不为0时，设直线 的方程为 ，
联立直线 和椭圆 的方程得 ，消去 并整理，得 ，
因为直线 与椭圆 有且只有一个公共点，所以方程有两个相等的根，
，
化简整理得
因为直线 与 垂直，所以直线 的方程为 ，
联立得 ，解得 ， ，
所以
把 代入上式得， ，所以 ，为定值；
当直线 斜率为0时，直线 ，过点 作直线 的垂线，则垂线方程为 ，
此时 或 ， ，为定值；
当直线 斜率不存在时，直线 ，过点 作直线 的垂线，则垂线方程为 ，
此时 或 ， ，为定值；
综上所述， ，为定值.
22．已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，离心率为 ，M为椭圆上异于左右
顶点的动点， 的周长为 .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点M作圆 的两条切线，切点分别为 ，直线AB交椭圆C于P，Q两点，求 的
面积的取值范围.
【答案】(1)(2)【分析】（1）根据椭圆离心率和焦点三角形周长可求得 ，即可得出椭圆C的标准方程；
（2）易知 的轨迹是以OM为直径的圆与圆 的交点，求出AB所在的直线方程，并于椭圆
方程联立根据弦长公式求得 的面积的表达式，再化简变形构造函数即可求得其取值范围.
【详解】（1）设椭圆焦距为2c，根据椭圆定义可知，
的周长为 ，离心率
联立 ，解得 ， ，
所以 ，
即椭圆C的标准方程 .
（2）设点 ，又 为切点，可知 ，
所以 四点共圆，即 在以OM为直径的圆上，
则以OM为直径的圆的方程为 ，
又 在圆 上，
两式相减得直线AB的方程为 ，如下图所示：
设 ， ，由 ，
消去y整理后得 ，
， ，
所以，又点O到直线PQ的距离 ，
设 的面积为S，则
，
其中 ，令 ，则 ，
设 ， ，则 ，
所以 在区间 上单调递增，从而得 ，
于是可得 ，
即 的面积的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据过点M的两条切线求出切点 所在的直线方程，并与椭圆联立
利用韦达定理和弦长公式求出 面积的表达式，再通过构造函数利用导数研究单调性求面积取值范围
即可.公众号：高中试卷君
