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数学-2024届新高三开学摸底考试卷（九省新高考通用）03
数学·答案及评分标准
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B C C B A D D B ABC AC AD CD
13． 14．
15． 16．5（答案不唯一）
17．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由同角三角函数的平方关系结合角的象限计算 ，再由商数关系计算 ；
（2）先由二倍角公式计算 和 ，再代入和差角公式计算即可.
【详解】（1） ， ，
（5分）
（2）由（1）得 ，
所以 ，
，
所以 （10分）
18．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）设 ，可用点的坐标表示 ，根据斜率关系可得的关系，根据导数求出点 处切线斜率，从而可证抛物线在点 处切线斜率为 ；．
（2） 设 ，根据题设的共点的直线的斜率关系可得 ，
从而可证 、 为等差数列，故可证 为等差数列．
【详解】（1）设
则 ，同理 ．
，即 ， ， ．
当 时， ，
∴抛物线 在点 处切线斜率为 ，得证．
（5分）
（2）设 ，
故直线 ，
令 ，则 ，故 ，同理 ．当 时，
故
，当 时，同理有 ，
∵ ，故 ，
整理得到： ，因此 ，
由 可得 ，故 ，
因此 ，即 为等差数列，设其公差为 ．
而 ，故 ，其中 ．
又直线 ，因该直线过 ，
故 ，解得 ，
故 ，∴ ，
故 ，而 ，
故 ，∴ 为等差数列，设其公差为 ．
故 ，
故当 时，
，
该数为常数．
当 时， ，该数为常数，
而 ，
故 ，故 ，故对任意的 ， 为常数，故数列 为等差数列．（12分）
19．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）通过勾股定理，证明出 可证得 平面 .
（2）作 ，垂足为H，连结 ，证得 为 与平面 所成的角，在 中求
即可.
【详解】（1）∵ ， ， ，
由勾股定理得： ，
中， ，
∵ ，∴ ，
又因为 底面 ， 底面 ，所以 ，
又因为 且 平面 ，∴ 平面 ，（6分）
（2）作 ，垂足为H，连结 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 且 平面 ，所以 平面 ，
所以 为 与平面 所成的角，
中， ，
，
所以直线 与平面 所成角的余弦值为 . （12分）20．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由已知可得 ， ，然后即可根据等差数列的前n项和公式，即可得出答案；
（2）由（1）可推得 ，然后根据错位相减以及等比数列的前n项和公式，即可得出答案；
（3）由（1）可推得 ，进而可得当 时， .裂项求和即可得出证明.
【详解】（1）由已知 ，
所以 ，
所以， ．（2分）
（2）由（1）可知， ， ，
所以 ，
所以 ①，
②，
所以① ②可得 ，
所以 ．（6分）（3）由（1）可推得 .
当 时， ，
所以
，，
所以当 时， ．（12分）
21．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用椭圆过点 ，得到 ，再由椭圆的离心率为 ，求出 的值，从而求到椭圆
的标准方程；
（2）对直线 的斜率为0、斜率不存在及斜率存在且不为0三种情况讨论，从而求出 ，得到结论.
【详解】（1）因为椭圆过点 ，所以 ，
又 ， ，所以 ，得到 ，
所以椭圆 的标准方程为 .（4分）
（2）当直线斜率 存在且不为0时，设直线 的方程为 ，
联立直线 和椭圆 的方程得 ，消去 并整理，得 ，
因为直线 与椭圆 有且只有一个公共点，所以方程有两个相等的根，
，
化简整理得
因为直线 与 垂直，所以直线 的方程为 ，联立得 ，解得 ， ，
所以
把 代入上式得， ，所以 ，为定值；
当直线 斜率为0时，直线 ，过点 作直线 的垂线，则垂线方程为 ，此时 或 ， ，为定值；
当直线 斜率不存在时，直线 ，过点 作直线 的垂线，则垂线方程为 ，
此时 或 ， ，为定值；
综上所述， ，为定值.（12分）
22．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆离心率和焦点三角形周长可求得 ，即可得出椭圆C的标准方程；
（2）易知 的轨迹是以OM为直径的圆与圆 的交点，求出AB所在的直线方程，并于椭圆
方程联立根据弦长公式求得 的面积的表达式，再化简变形构造函数即可求得其取值范围.
【详解】（1）设椭圆焦距为2c，根据椭圆定义可知，
的周长为 ，离心率
联立 ，解得 ， ，
所以 ，
即椭圆C的标准方程 .（4分）
（2）设点 ，又 为切点，可知 ，所以 四点共圆，即 在以OM为直径的圆上，
则以OM为直径的圆的方程为 ，
又 在圆 上，
两式相减得直线AB的方程为 ，如下图所示：设 ， ，由 ，
消去y整理后得 ，
， ，
所以
，
又点O到直线PQ的距离 ，
设 的面积为S，则
，
其中 ，令 ，则 ，设 ， ，则 ，
所以 在区间 上单调递增，从而得 ，于是可得 ，
即 的面积的取值范围为 .（12分）公众号：高中试卷君
