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2024届新高三开学摸底考试卷（九省新高考专用）03
数 学
本试卷共22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．在 中,若 ,且 ,则 （ ）
A．60° B．45° C．30° D．15°
3．已知一组数据3，5，7，x，10的平均数为6，则这组数据的方差为（ ）
A． B．6 C． D．5
4．已知函数 .给出下列结论：① 是 的最小值；②函数 在
上单调递增；③将函数 的图象上的所有点向左平移 个单位长度，可得到函数 的图象.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
5．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过点 的直线交抛物线 于 两点，过点 作准线
的垂线，垂足为 ，点 为准线 与 轴的交点，若 ，则四边形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．2022卡塔尔世界杯比赛场地是在卡塔尔的8座体育馆举办．将甲、乙、丙、丁4名裁判随机派往卢赛
尔，贾努布，阿图玛玛三座体育馆进行执法，每座体育馆至少派1名裁判，A表示事件“裁判甲派往卢赛尔体
有馆”；B表示事件“裁判乙派往卢赛尔体育馆”；C表示事件“裁判乙派往贾努布体育馆”，则（ ）
A．事件A与B相互独立 B．事件A与C为互斥事件
C． D．
7．三棱锥 中， 平面 ， .若 ， ，则该三棱锥体积的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
8．函数 的大致图像为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知O为坐标原点，点 ， ， ，
则（ ）
A． B．C． D．
10．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善
良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图
1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧 所在圆的半径分别是3和9，
且 ，则该圆台的（ ）A．高为 B．体积为
C．表面积为 D．上底面积､下底面积和侧面积之比为
11．已知向量 ， 的夹角为 ， ， ， ，则（ ）
A． 在 方向上的投影向量的模为 B． 在 方向上的投影向量的模为
C． 的最小值为 D． 取得最小值时，
12．已知函数 ，则（ ）
A． 的单调递减区间是 B． 有4个零点
C． 的图象关于点 对称 D．曲线 与 轴不相切
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数 的图象在点 处的切线方程是______．
14．若 ，则 ______．
15．已知 是等比数列， ， ，则 ______．
16．已知函数 的最小正周期为T， ，且 对任意的
恒成立，则一个满足题意的 的值是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程成演算步骤
17．已知 ，且 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．18．已知抛物线 ，点 为抛物线焦点．过点 作一条斜率为正的直线l从下至上依次交抛
物线于点 与点 ，过点 作与l斜率互为相反数的直线分别交x轴和抛物线于 、 ．
(1)若直线 斜率为k，证明抛物线在点 处切线斜率为 ；
(2)过点 作直线分别交x轴和抛物线于 、 ，过点 作直线分别交x轴和抛物线于 、
，且 ，直线 斜率与直线 斜率互为相反数．证明数列 为等差数列．
19．如图，在四棱锥 中， ， ， ， ， ，
， .
(1)证明： 平面 ；
(2)求 与平面 所成角的余弦值.20．记 为数列 的前n项和，已知 ．
(1)若数列 为等差数列，且 ，求 ；(2)在（1）的条件下，若 ，求数列 的前n项和 ；
(3)在（1）的条件下，证明：当 时， ．
21．已知椭圆 过点 ，且离心率为
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若直线l与椭圆E相切，过点 作直线l的垂线，垂足为N，O为坐标原点，证明： 为定值.
22．已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，离心率为 ，M为椭圆上异于左右
顶点的动点， 的周长为 .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点M作圆 的两条切线，切点分别为 ，直线AB交椭圆C于P，Q两点，求 的
面积的取值范围.公众号：高中试卷君
