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2024届新高三开学摸底考试卷（北京专用）
数学·答案及评分标准
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A C D D C C D B D A
11． （5分）
12． （5分）
13．5 （5分）
14． （5分）
15．①③④
16．（1）若选①:
因为 ，由余弦定理得 ，整理得 ，则 ，（3分）
又 ，则 ， ，（5分）
则 ；（6分）
若选②:
因为 ，即 ，则 ，（2分）
又 ，则 ，
又 ，得 ，（4分）
则 ；（6分）
（2）由正弦定理得： ，则 ，（10分）
则 ， ．（13分）
17．（1）这10名学生的考核成绩（单位：分）分别为：
93，89.5，89.5，88，90，89，91.5，91，90.5，91．
其中大于90分的有1号、7号、8号、9号、10号，共5人, （2分）所以样本中学生考核成绩大于90分的频率是 .
从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于90分的概率为0.5；（4分）
（2）由题知，考核成绩小于90分的学生共4人，其中两轮测试至少有一次大于90分学生有2人.
所以 可取0,1,2，则
， ， ，（7分）
所以 的分布列为
0 1 2
所以 ；（9分）
（3）由题可得 ，
，
（12分）
，
所以 ； .（13分）
18．（1）如图，以 为原点，分别以 ， 为 轴， 轴，过 作 平行线为 轴，建立空间直角坐
标系，
则 ， ， ， ， ， ，（1分）
所以 ， ，因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，（3分）
令 ，则 ，所以 ，平面 的法向量为 ，则 ，（5分）
令 ，则 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以平面 平面 . （6分）
（2）易知平面 的一个法向量 ，
设平面 与平面 所成角为 ，则 ，
所以平面 与平面 所成角的余弦值为 . （9分）
（3）因为棱 上一点 ，满足 ，所以 ，
所以 ，（12分）
所以点 到平面 的距离 . （14分）
19．（1）由题得 ，
所以椭圆 的方程为 ，焦距为 .（5分）
（2）如图，直线 与椭圆方程 联立，
化简得 ， （7分）
，即 .
设 , ， , ，则 ， ．
直线 的方程为 ，则 ，（9分）
直线 的方程为 ，则 ，
因为 ，所以 + =0，（11分）
所以 ，
所以 ，
把韦达定理代入整理得 或 ，
当 时，直线方程为 ，过定点 ，（13分）
即点 ，不符合题意，所以舍去.
当 时，直线方程为 ，
过定点 .
所以直线 经过定点. （15分）
20．（1）当 时， ， ，
所以 ， （3分）
又 ，
所以切线方程为 ，即 . （5分）
（2） ，
当 时， ，解得 ，
故 时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增， （6分）
故 时， 的极小值为 ，无极大值；
当 时，令 ，解得 ， ，
故当 或 时， ， 单调递增， （7分）当 时， ， 单调递减，故 的极大值为 ，极小值为 ；
当 时，令 ，解得 ， ，
故当 或 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
故 的极大值为 ，极小值为 ； （10分）
综上，当 时， 的极小值为 ，无极大值；当 时， 的极大值为 ，极
小值为 . （11分）
（3）当 时，由（2）知， 在 和 上单调递增，
在 上单调递减，且 时， 恒成立， （12分）
时， ，
又 的极大值为 ，极小值为 ，
所以存在实数 时，函数 有三个零点. （15分）
21．（1）当 时， ， ，
，所以 ， （2分）
（2）设 ，其中 ，
则 ，
（4分）
因 ，
，
因 ，
所以 ， ， ， ，
又 ，， ，所以 ， （6分）
因 ， ， ，
，
因 ， ， ， ，
所以 ， ， ， ，
， ， ，
所以
所以 为定值. （8分）
（3） ，
若 ，
则 ，
,
故 ，
，
此时 ，不符合题意， （10分）
故 ，
猜想 ，下面给予证明，
当 时，显然成立，
假设当 ， 时，都有 成立，即 ，
此时 ， ，
故 ， ，
，符合题意， （12分）
，
则 ，
，
若 ，
的元素个数小于的元素个数则有 ，
不符合题意，故 ， （14分）
综上，对于任意的 ，都有
故数列 的通项公式 . （15分）公众号：高中试卷君
