文档内容
2024届新高三开学摸底考试卷（北京专用）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项.
1．若 ，则复数z的虚部为（ ）
A．-5 B．5 C．7 D．-7
2．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D． 或
3．设 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
4．设 ， 为两个不同的平面，则 ∥ 的一个充分条件是（ ）
A． 内有无数条直线与 平行 B． ， 垂直于同一个平面
C． ， 平行于同一条直线 D． ， 垂直于同一条直线
5．已知双曲线 的左右焦点分别为 ，过 的直线分别交双曲线 的左右两支于 两点，
且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．记 为数列 的前 项和，设甲： 为等差数列；乙： 为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7．已知函数 则下列结论正确的是（ ）．
A． ， B． ，
C．函数 在 上单调递增 D．函数 的值域是
8．在平面直角坐标系中， 为坐标原点，已知圆 的半径为3，直线 ， 互相垂直，垂足为 ，
且 与圆 相交于 ， 两点， 与圆 相交于 ， 两点，则四边形 的面积的最大值为（ ）
A．10 B．12 C．13 D．15
9．已知函数 在区间 单调递增，直线 和 为函数 的图像的两条
对称轴，则 （ ）
A． B． C． D．
10．随着科技的不断发展，人民消费水平的提升，手机购物逐渐成为消费的主流，当我们打开购物平台时，
会发现其首页上经常出现我们喜欢的商品，这是电商平台推送的结果．假设电商平台第一次给某人推送某
商品，此人购买此商品的概率为 ，从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为 ；
若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为 ．记第n次推送时不购买此商品的概率为 ，当 时，
恒成立，则M的最小值为（ ）
A． B． C． D．
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11．已知点 在抛物线C： 上，则A到C的准线的距离为______.
12．如图， 是半径为3的圆 的两条直径， ，则 __________．13．农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如下：
根据上表所提供信息，第________号区域的总产量最大．
14．已知函数 ， ，若 时， 恒成立，则实数 的
取值范围是____.
15．在数列 中各项均为正数，且 ，给出下列四个结论：
①对任意的 ，都有
②数列 不可能为常数列
③若 ，则数列 为递增数列
④若 ，则当 时，
其中所有正确结论的序号是___________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16． 的内角 的对边分别为 ， ，且______．
在① ，② ，这两个条件中任选一个，补充在横线中，并解答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
(1)求 的面积；
(2)若 ，求 ．
17．某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，
并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩.记录的数据如下：
1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 10号
第一轮测试成绩 96 89 88 88 92 91 87 90 92 90第二轮测试成绩 90 90 91 88 88 87 96 92 89 92
(1)从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于90分的概率；
(2)为进一步研究这10名同学的成绩，从考核成绩小于90分的学生中随机抽取两人，记这两人中两轮测试
至少有一次大于90分的人数为 ，求 的分布列与数学期望；
(3)记抽取的10名学生第一轮测试的平均数和方差分别为 ，考核成绩的平均数和方差分别为 ，试
比较 与 与 的大小.（只需写出结论）
18．如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， .
为 的中点，点 在 上，且 .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成角的余弦值；
(3)若棱 上一点 ，满足 ，求点 到平面 的距离.
19．已知椭圆 过点 ，长轴长为 .
(1)求椭圆 的方程及其焦距；
(2)直线 与椭圆 交于不同的两点 ，直线 分别与直线 交于点 ， 为坐
标原点且 ，求证：直线 过定点，并求出定点坐标.
20．已知函数 .(1)若 ，求 在 处切线方程；
(2)求 的极大值与极小值；
(3)证明：存在实数 ，当 时，函数 有三个零点.
21．已知 为有限个实数构成的非空集合，设 ， ，记集
合 和 其元素个数分别为 ， .
设 .例如当 时， ， ， ，所以
.
(1)若 ，求 的值；
(2)设 是由3个正实数组成的集合且 ，证明： 为定值；
(3)若 是一个各项互不相同的无穷递增正整数数列，对任意 ，设 ， .
已知 ，且对任意 ，求数列 的通项公式.公众号：高中试卷君
