文档内容
2024年高考押题预测卷
数学·全解全析
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1． 的展开式中常数项为（ ）
A．112 B．56 C．28 D．16
【答案】A
【详解】由题意知，常数项为 .
故答案为：A.
2．如图是我国2017~2022年人用疫苗进出口均价，下列结论不正确的是（ ）
A．疫苗进口均价最低约为2100美元/千克
B．疫苗出口均价的极差小于3700美元/千克
C．疫苗进口均价的中位数大于2750美元/千克
D．疫苗出口均价的方差大于疫苗进口均价的方差
【答案】C
【详解】由题图易知选项A，B正确；
对于选项C，疫苗进口均价的中位数是2020年与2021年疫苗进口均价的平均数，2020年的疫苗进口均价
小于2500美元/千克，2021年的疫苗进口均价小于3000美元/千克，因此中位数小于2750美元/千克，故选
项C不正确；对于选项D，由题图易知疫苗出口均价波动幅度比疫苗进口均价波动幅度大，所以疫苗出口
均价的方差大于疫苗进口均价的方差，故选项D正确.
1
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司故选：C．
3．已知角 的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点 ， ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【详解】∵角 的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点 ， ，
且 ，∴ ，解得 ，∴ ，∴ ，
∴ ．
故选：A．
4．干支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、
辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支纪年法是按顺序以
一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第
一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新
开始，即“甲戌”、“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，依此类推．已知2024年
是甲辰年，则2124年为（ ）
A．丁辰年 B．癸未年 C．甲午年 D．甲申年
【答案】D
【详解】天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，由于 ，故
100年后天干为甲，由于 ，余数为4，故100年后地支为“辰”后面第四个，即“申”，所
以2124年为甲申年．
故选：D
5．设非零复数 和 在复平面内对应的向量分别为 和 ，其中O为原点，若 为纯虚数，则
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】设 ， ， ，其中a，b，c，d， ，且a，b不同时为0，c，d不同时为
0， ，由题意 ，所以 ，
所以 ，故A错误； ，无法比较 的大小，故B错误；
，由B选项得，无法判断 的关系，故C错误；
，所以 ，故D正确.
故选：D.
6．如图，圆锥的轴截面 为等边三角形， 为弧 的中点， ， 分别为母线 、 的中点，则
异面直线 和 所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】取 中点 ，连接 ，如图，以 所在直线为 轴， 轴， 轴，建立空间直角
坐标系，不妨设 ，则 ,
3
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司又 ， 分别为母线 、 的中点，所以 ，
则 ， ，设异面直线 和 所成角的 ，
则 ，又 ，所以 .
故选：C.
7．设双曲线C其中一支的焦点为F，另一支的顶点为A，其两渐近线分别为 . 若点B在m上，且
，则m与n的夹角的正切值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【详解】
记两渐近线的交点为O，设 ，双曲线实轴长 ，焦距 ，
由双曲线的定义得： ，其渐近线方程为： ，
由 知， ，所以 ，
因为 ，知 为 的平分线，
记n交 于点H，因为渐近线的性质，有 ，
综上， ，则m与n的夹角的正切值为 .
4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司故选:B.
8．已知函数 的定义域均为 为 的导函数，且 ， ，
若 为偶函数，则 （ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
【答案】A
【详解】由题意 ， 可知， ①，
令 可得， ，所以 .
又因为 为偶函数，所以 ，两边同时求导可得， ②
令 可得， ，所以 ，
联立①②可得， ，化简可得 ，所以 是周期为2的函数，所以
， ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
所以 .
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知数列 的前 项和为 ，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】由 得 ，得 ，故A正确，B错误.
所以 ，则 ，
5
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以 是等差数列，则 ，故C正确，D错误.
故选：AC.
10．甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，
以 分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以 表示从乙箱中取出的是白
球，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． 互斥 D．
【答案】BCD
【详解】由题意 ， ，所以 ，A不正确；
从甲箱中取出一个白球放入乙箱，则乙箱有5个白球和2个黑球，所以 ，B正确；
由互斥事件的概念可知， 互斥，C正确；
，D正确.
故选：BCD
11．在棱长为 的正方体 中，点P在正方形 内 含边界 运动，则下列结论正确的
是（ ）．
A．若点P在 上运动，则
B．若 平面 ，则点P在 上运动
C．存在点P，使得平面PBD截该正方体的截面是五边形
D．若 ，则四棱锥 的体积最大值为1
【答案】ABD
【详解】A：因为 平面 ，而 平面 ，所以 ，而 ，
6
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司平面 ，所以 平面 ，因为点P在 上运动，
所以 平面 ，因此 ，所以本选项结论正确；
B：连接 ，因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，同理 平面 ，
而 平面 ，因此平面 平面 ，当 平面 ，所以有点P在
上运动，因此本选项结论正确；
C：由正方体的截面的性质可知截面不可能是五边形，所以本
选项结论不正确；
D：正方体 的面积为 ，当点P在 上时，
高最长，
此时有： ，而 ，所以 ，
所以 的体积最大值为 ，本选项结论正确，
故选：ABD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若 ， ， ，则
的面积为 ．
【答案】3
【分析】利用余弦定理，结合已知求出 ，再利用三角形面积公式计算即得.
【详解】在 中，由余弦定理，得 ，则 ，
7
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司于是 ，解得 ，
所以 的面积为 .
故答案为：3
13．已知集合 ， ，且 有4个子集，则实数 的最小值是
.
【答案】 /0.5
【详解】由 有4个子集，所以 中有2个元素，
所以 ，所以 ，
所以满足 ，或 ，
综上，实数 的取值范围为 ，或 ，
故答案为：
14．已知定义在 上的函数 ， 为 的导函数， 定义域也是 R， 满足
，则 .
【答案】
【详解】对 两边同时求导得
，即 ，
8
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司则 ， ，
则 .
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．已知函数
(1)讨论函数 在区间 上的单调性;
(2)证明函数 在区间 上有且仅有两个零点.
【答案】(1)单调递增；(2)证明见解析.
【详解】（1）函数 ，当 时， ，
所以 在 上的单调递增.
（2）由（1）知， ，当 时， ，函数 在 上单调递增，
， ，因此函数 在 上有唯一零点；
当 时，令 ，求导得 ， 在 上单调递增，
，则存在 ，使得 ，
当 时， ，函数 ，即 单调递减，
当 时， ，函数 ，即 单调递增，
又 ， ，则存在 ，使得 ，
当 时， ，函数 单调递增，当 时， ，函数 单调递减，
9
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司而 ， ，因此函数 上有唯一零点，
所以函数 在区间 上有且仅有两个零点.
16．如图，在四棱锥 中，底面 是边长为1的正方形， ， 、 分别是 、
的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)若二面角 的大小为 ，求直线 与平面 所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【详解】（1）证明：取线段 、 的中点分别为 、 ，连接 、
、 ，
则 ， ，
又底面 是正方形，即 ，
则 ，即四边形 为平行四边形，
则 ，又 在平面 外， 平面 ，
故 平面 .
（2）取线段 的中点为 点，连接 、 ，
又 ，底面 是边长为 的正方形，
则 ，且 ， ，
又二面角 的大小为 ，即平面 平面 ，
又 平面 ，平面 平面 ，
则 平面 ，则 是直线 与平面 所成角，
1
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
0
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司在 中， ，即 ，
17．已知椭圆 的左焦点 ，点 在椭圆 上，过点 的两条直线
分别与椭圆 交于另一点 ，且直线 的斜率满足 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)证明直线 过定点．
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
【详解】（1）由点 在椭圆 上，得 ，
由 为椭圆 的左焦点，得 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）依题意，直线 不垂直于坐标轴，设其方程为 ， ， ，
由 消去y并整理得 ，
， ， ，
由 得 ，即 ，
整理得 ，即有 ，而 ，
解得 ，满足 ，直线 ： 过定点 ，
所以直线 过定点 .
1
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
1
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司18．为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查，统计其中400名居民体育锻
炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表．
年龄
次数
每周0～2次 70 55 36 59
每周3～4次 25 40 44 31
每周5次及以上 5 5 20 10
(1)若把年龄在 的锻炼者称为青年，年龄在 的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的
称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值 的独立性检验判断体育
锻炼频率的高低与年龄是否有关联；
(2)从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8
人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在 与 的人数分别为 ，求
的分布列与期望；
(3)已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中
选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期
天选择跑步的概率分别为 ，求小明星期天选择跑步的概率．
参考公式： ．
附：
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
1
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
2
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)有关；(2)分布列见解析；期望为 ；(3) .
【详解】（1）零假设： 体育锻炼频率的高低与年龄无关，
由题得 列联表如下：
中
青年 合计
年
体育锻炼频率
125 95 220
低
体育锻炼频率
75 105 180
高
合计 200 200 400
，
根据小概率值 的独立性检验推断 不成立，
即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.
（2）由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在 内的人数分别为1，2，
依题意， 的所有可能取值分别为为0，1，2，
所以 ，
，
，
1
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
3
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以 的分布列：：
0 1 2
所以 的数学期望为 .
（3）记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球，分别为事件A，B，C，
星期天选择跑步为事件 ，则 ，
，
则 ，
所以小明星期天选择跑步的概率为 .
19．对于数列 ，定义“ 变换”： 将数列 变换成数列 ，其中
，且 ．这种“ 变换”记作 ，继续对数列 进行“ 变换”，得
到数列 ，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．
(1)写出数列 ，经过6次“ 变换”后得到的数列；
(2)若 不全相等，判断数列 经过不断的“ 变换”是否会结束，并说明理由；
(3)设数列 经过 次“ 变换”得到的数列各项之和最小，求 的最小值．
【答案】(1) ；(2)不可能结束，理由见解析；(3)64.
【详解】（1）依题意，6次变换后得到的数列依次为
； ； ； ； ； ，
所以，数列 ，经过6次“ 变换”后得到的数列为 .
1
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
4
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）数列 经过不断的“ 变换”不可能结束
设数列 ， ， ，且 ， ，
依题意 ， ， ，所以 ，
即非零常数列才能通过“ 变换”结束．
设 （ 为非零自然数）．
为变换得到数列 的前两项，数列 只有四种可能
， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ．
而任何一种可能中，数列 的第三项是0或 ．
即不存在数列 ，使得其经过“ 变换”成为非零常数列，
由①②得，数列 经过不断的“ 变换”不可能结束．
（3）数列 经过一次“ 变换”后得到数列 ，其结构为 ．
数列 经过6次“ 变换”得到的数列分别为：
； ； ；
； ； ．
所以，经过6次“ 变换”后得到的数列也是形如“ ”的数列，
变化的是，除了3之外的两项均减小18．
因为 ，所以，数列 经过 次“ 变换”后得到的数列为2，5，3．
接下来经过“ 变换”后得到的数列分别为：
3，2，1；1，1，2；0，1，1；1，0，1；1，1，0；0，1，1；1，0，1， ，
至此，数列和的最小值为2，以后数列循环出现，数列各项和不会更小，
所以经过 次“ 变换”得到的数列各项和达到最小，
即 的最小值为64．
1
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
5
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司
