文档内容
2024届新高三开学摸底考试卷（北京专用）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项.
1．若 ，则复数z的虚部为（ ）
A．-5 B．5 C．7 D．-7
【答案】A
【解析】依题意， ，故z的虚部为-5.
故选：A
2．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D． 或
【答案】C
【解析】由已知可得， ，
解 可得， ，所以 ，
所以， .
故选：C.
3．设 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】令 ，所以 ，
令 ，所以 ，
所以 ，故选：D.
4．设 ， 为两个不同的平面，则 ∥ 的一个充分条件是（ ）
A． 内有无数条直线与 平行 B． ， 垂直于同一个平面
C． ， 平行于同一条直线 D． ， 垂直于同一条直线
【答案】D
【解析】对于A： 内有无数条直线与 平推不出 ∥ ，只有 内所有直线与 平行才能推出，故A错
误；
对于B： ， 垂直于同一平面，得到 ∥ 或 与 相交，故B错误；
对于C： ， 平行于同一条直线，得到 ∥ 或 与 相交，故C错误；
对于D：因为垂直与同一条直线的两平面平行，故 ， 垂直于同一条直线可得 ∥ ，故：D正确．
故选：D
5．已知双曲线 的左右焦点分别为 ，过 的直线分别交双曲线 的左右两支于 两点，
且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由双曲线 得出 .
因为 ，所以 .
作 于C，则C是AB的中点.
设 ，则由双曲线的定义 ，
可得 .
故 ，
又由余弦定理得 ，
所以 ，解得 .
故选：C6．记 为数列 的前 项和，设甲： 为等差数列；乙： 为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【解析】方法1，甲： 为等差数列，设其首项为 ，公差为 ，
则 ，
因此 为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙： 为等差数列，即 为常数，设为 ，
即 ，则 ，有 ，
两式相减得： ，即 ，对 也成立，
因此 为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲： 为等差数列，设数列 的首项 ，公差为 ，即 ，
则 ，因此 为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙： 为等差数列，即 ，
即 ， ，
当 时，上两式相减得： ，当 时，上式成立，
于是 ，又 为常数，
因此 为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.故选：C
7．已知函数 则下列结论正确的是（ ）．
A． ， B． ，
C．函数 在 上单调递增 D．函数 的值域是
【答案】D
【解析】
作出函数 的图象，由图可知函数 是奇函数，即对 ， ，故 错误；
当 时，满足 ，此时 ， 不成立，故 项错误；
函数 在 上是减函数，在 上是增函数，在 上是减函数，故 项错误；
函数 的值域是 ，故 项正确．
故选 ．
8．在平面直角坐标系中， 为坐标原点，已知圆 的半径为3，直线 ， 互相垂直，垂足为 ，
且 与圆 相交于 ， 两点， 与圆 相交于 ， 两点，则四边形 的面积的最大值为（ ）
A．10 B．12 C．13 D．15
【答案】B
【解析】设圆心到直线 的距离为 ，圆心到直线 的距离为 ，
直线 ， 互相垂直，垂足为 ， ，
， ，
．
故选：B．9．已知函数 在区间 单调递增，直线 和 为函数 的图像的两条
对称轴，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 在区间 单调递增，
所以 ，且 ，则 ， ，
当 时， 取得最小值，则 ， ，
则 ， ，不妨取 ，则 ，
则 ，
故选：D.
10．随着科技的不断发展，人民消费水平的提升，手机购物逐渐成为消费的主流，当我们打开购物平台时，
会发现其首页上经常出现我们喜欢的商品，这是电商平台推送的结果．假设电商平台第一次给某人推送某
商品，此人购买此商品的概率为 ，从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为 ；
若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为 ．记第n次推送时不购买此商品的概率为 ，当 时，
恒成立，则M的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知，根据第 次推送时购买、没有购买两种情况，写出第n次推送时没有购买的概率
第n次（ ）推送时不购买此商品的概率 ，所以 ，由题意知 ，则 ，
所以 是首项为 、公比为 的等比数列，
所以 ，即 ．
显然数列 递减，所以当 时， ，
所以M的最小值为 ．
故选:A．
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11．已知点 在抛物线C： 上，则A到C的准线的距离为______.
【答案】
【解析】由题意可得： ，则 ，抛物线的方程为 ，
准线方程为 ，点 到 的准线的距离为 .
故答案为： .
12．如图， 是半径为3的圆 的两条直径， ，则 __________．
【答案】
【解析】由题意可得， ， ,
,
故答案为: .13．农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如下：
根据上表所提供信息，第________号区域的总产量最大．
【答案】5
【解析】设区域代号为 ，种植密度为 ，单株产量为 ，则 ，
由图象可得种植密度 是区域代号 的一次函数，
故设 ， ，
由已知函数 的图象经过点 , ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
由图象可得单株产量 是区域代号 的一次函数，
故可设 ， ，
观察图象可得当 时， ，当 时， ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
所以总产量
当 时，函数 有最大值，即 号区域总产量最大，最大值为 .
故答案为：5.
14．已知函数 ， ，若 时， 恒成立，则实数 的
取值范围是____.
【答案】
【解析】 ，则 ，
则 时， ， 单调递增.时， 恒成立，即 恒成立，则 在 上恒成立，
则 即 在 上恒成立，
令 ， ，则
则当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
则当 时 取得最小值 ，则
则实数 的取值范围是
故答案为：
15．在数列 中各项均为正数，且 ，给出下列四个结论：
①对任意的 ，都有
②数列 不可能为常数列
③若 ，则数列 为递增数列
④若 ，则当 时，
其中所有正确结论的序号是___________.
【答案】①③④
【解析】对于①，在数列 中， ，则 ，
又对于任意的 都有 ，则 ，即 ，
即对于任意的 ，都有 ，故①项正确；
对于②，不妨设数列 可能为常数列，则 ，
又 ，则 ，则 ，
即 时，数列 为常数列，故②项错误；
对于③，
又 ，则 ，即 ，
同理，当 ，都有 ，即 ，
即 ，即数列 为递增数列，故③项正确；
对于④， ，则 ，即 ，
同理，当 ，都有 ，又 ，即数列 为递减数列，即当 时， ，故④项正确.
故答案为：①③④.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16． 的内角 的对边分别为 ， ，且______．
在① ，② ，这两个条件中任选一个，补充在横线中，并解答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
(1)求 的面积；
(2)若 ，求 ．
【解析】（1）若选①:
因为 ，由余弦定理得 ，整理得 ，则 ，
又 ，则 ， ，
则 ；
若选②:
因为 ，即 ，则 ，
又 ，则 ，
又 ，得 ，
则 ；
（2）由正弦定理得： ，则 ，
则 ， ．
17．某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，
并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩.记录的数据如下：
1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 10号
第一轮测试成绩 96 89 88 88 92 91 87 90 92 90第二轮测试成绩 90 90 91 88 88 87 96 92 89 92
(1)从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于90分的概率；
(2)为进一步研究这10名同学的成绩，从考核成绩小于90分的学生中随机抽取两人，记这两人中两轮测试
至少有一次大于90分的人数为 ，求 的分布列与数学期望；
(3)记抽取的10名学生第一轮测试的平均数和方差分别为 ，考核成绩的平均数和方差分别为 ，试
比较 与 与 的大小.（只需写出结论）
【解析】（1）这10名学生的考核成绩（单位：分）分别为：
93，89.5，89.5，88，90，89，91.5，91，90.5，91．
其中大于90分的有1号、7号、8号、9号、10号，共5人,
所以样本中学生考核成绩大于90分的频率是 .
从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于90分的概率为0.5；
（2）由题知，考核成绩小于90分的学生共4人，其中两轮测试至少有一次大于90分学生有2人.
所以 可取0,1,2，则
， ， ，
所以 的分布列为
0 1 2
所以 ；
（3）由题可得 ，
，
，
所以 ； .
18．如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， .
为 的中点，点 在 上，且 .(1)求证：平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成角的余弦值；
(3)若棱 上一点 ，满足 ，求点 到平面 的距离.
【解析】（1）如图，以 为原点，分别以 ， 为 轴， 轴，过 作 平行线为 轴，建立空间直
角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
所以 ， ，因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，所以 ，
平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以平面 平面 .
（2）易知平面 的一个法向量 ，设平面 与平面 所成角为 ，则 ，
所以平面 与平面 所成角的余弦值为 .
（3）因为棱 上一点 ，满足 ，所以 ，
所以 ，
所以点 到平面 的距离 .
19．已知椭圆 过点 ，长轴长为 .
(1)求椭圆 的方程及其焦距；
(2)直线 与椭圆 交于不同的两点 ，直线 分别与直线 交于点 ， 为坐标
原点且 ，求证：直线 过定点，并求出定点坐标.
【解析】（1）由题得 ，
所以椭圆 的方程为 ，焦距为 .
（2）如图，
直线 与椭圆方程 联立，
化简得 ，
，即 .设 , ， , ，则 ， ．直线 的方程为 ，则 ，
直线 的方程为 ，则 ，
因为 ，所以 + =0，
所以 ，
所以 ，
把韦达定理代入整理得 或 ，
当 时，直线方程为 ，过定点 ，
即点 ，不符合题意，所以舍去.
当 时，直线方程为 ，
过定点 .
所以直线 经过定点.
20．已知函数 .
(1)若 ，求 在 处切线方程；
(2)求 的极大值与极小值；
(3)证明：存在实数 ，当 时，函数 有三个零点.
【解析】（1）当 时， ， ，
所以 ，
又 ，
所以切线方程为 ，即 .
（2） ，
当 时， ，解得 ，
故 时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增，
故 时， 的极小值为 ，无极大值；
当 时，令 ，解得 ， ，
故当 或 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，故 的极大值为 ，极小值为 ；当 时，令 ，解得 ， ，
故当 或 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
故 的极大值为 ，极小值为 ；
综上，当 时， 的极小值为 ，无极大值；当 时， 的极大值为 ，极
小值为 .
（3）当 时，由（2）知， 在 和 上单调递增，
在 上单调递减，且 时， 恒成立，
时， ，
又 的极大值为 ，极小值为 ，
所以存在实数 时，函数 有三个零点.
21．已知 为有限个实数构成的非空集合，设 ， ，记集
合 和 其元素个数分别为 ， .
设 .例如当 时， ， ， ，所以
.
(1)若 ，求 的值；
(2)设 是由3个正实数组成的集合且 ，证明： 为定值；
(3)若 是一个各项互不相同的无穷递增正整数数列，对任意 ，设 ， .
已知 ，且对任意 ，求数列 的通项公式.
【解析】（1）当 时， ， ，
，所以 ，
（2）设 ，其中 ，
则 ，因 ，
，
因 ，
所以 ， ， ， ，
又 ，
， ，
所以 ，
因 ， ， ，
，
因 ， ， ， ，
所以 ， ， ， ，
， ， ，
所以
所以 为定值.
（3） ，
若 ，
则 ，
,
故 ，
，
此时 ，不符合题意，
故 ，
猜想 ，下面给予证明，
当 时，显然成立，
假设当 ， 时，都有 成立，即 ，
此时 ， ，故 ， ，，符合题意，
，
则 ，
，
若 ，
的元素个数小于
的元素个数
则有 ，
不符合题意，故 ，
综上，对于任意的 ，都有
故数列 的通项公式 .公众号：高中试卷君
