文档内容
2024届新高三开学摸底考试卷（全国卷）
文科数学 02
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必
将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标
号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一个选项是符合题目要求的．
1．若集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别解出集合 ，即可求得 .
【详解】解： ， ，
， ，
.
故选：D.
【点睛】本题主要考查的是集合的并集运算，正确解出集合是解决本题的关键，是基
础题.
2．若 ，则
A． B． C． D．
【答案】C【分析】先利用复数乘法的运算化简复数 ，再利用复数模的公式求解即可.
【详解】因为 ，所以 .故选C.
【点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式,属于基础题.复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部
的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法
运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，
防止简单问题出错，造成不必要的失分.
3．设函数 ，且 为奇函数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用分段函数、奇函数的性质求解.
【详解】因为 ，所以 ，
又 为奇函数，所以 ，
所以 ，故A，B，C错误.
故选：D.
4．甲，乙，丙，丁四人在足球训练中进行传球训练，从甲开始传球，甲等可能地把球
传给乙，丙，丁中的任何一个人，以此类推，则经过3次传球后乙恰接到1次球的概
率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将所有传球的结果列出，再利用古典概型求结果.
【详解】传球的结果可以分为：
分别传给3人时：乙丙丁，乙丁丙，丙乙丁，丙丁乙，丁乙丙，丁丙乙，共6种；
若传给2人时：乙丙乙，丙乙丙，乙丁乙，丁乙丁，丁丙丁，丙丁丙，共6种；
再传给甲的：乙甲乙，丙甲丙，丁甲丁，乙丙甲，乙甲丙，乙丁甲，乙甲丁，丙乙甲，
丙甲乙，丁乙甲，丁甲乙，丙丁甲，丙甲丁，丁甲丙，丁丙甲，共15种；
共27种，只传乙一次的有16种，所以所求概率为故选：C5．“埃拉托塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法.这种方法是依次
写出2和2以上的自然数，留下第一个数2不动，剔除掉所有2的倍数；接着，在剩余
的数中2后面的一个数3不动，剔除掉所有3的倍数；接下来，再在剩余的数中对3后
面的一个数5作同样处理；……，依次进行同样的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素
数.在利用“埃拉托塞尼筛法”挑选2到20的全部素数过程中剔除的所有数的和为（
）
A．130 B．132 C．134 D．141
【答案】B
【分析】利用等差数列求和公式及素数的定义即可求解.
【详解】由题可知，2到20的全部整数和为 ，
2到20的全部素数和为 ，
所以挑选2到20的全部素数过程中剔除的所有数的和为 .
故选：B.
6．已知函数 的最小正周期为T，且 ，若
的图象关于直线 对称，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】运用二倍角公式化简 ，结合 与 的对称性求得 的值，进
而求得结果.
【详解】因为 ，
所以 ．
又因为 ，所以 ，即 ，①
又因为 的图象关于直线 对称，
所以 ， ．
所以 ， ，②
所以由①②得 ，
所以 ，故 ．
故选：A.
7．在 ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ，则角C
△
＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用余弦定理求出 的值，结合角 的取值范围可求得角 的值．
【详解】由余弦定理可得 ，
， ．
故选： ．
8．在 中，点 在边 上，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用向量的线性运算法则计算即可.
【详解】因为点 在边 上，且 ，所以 ，
所以 ，
故选：D
9．贯耳瓶流行于宋代，清代亦有仿制，如图所示的青花折枝花卉纹六方贯耳瓶是清乾
隆时期的文物，现收藏于首都博物馆，若忽略瓶嘴与贯耳，把该瓶瓶体看作3个几何
体的组合体，上面的几何体Ⅰ是直棱柱，中间的几何体Ⅱ是棱台，下面的几何体Ⅲ也
是棱台，几何体Ⅲ的下底面与几何体Ⅰ的底面是全等的六边形，几何体Ⅲ的上底面面
积是下底面面积的4倍，若几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的高之比分别为 ，则几何体Ⅰ、
Ⅱ、Ⅲ的体积之比为（ ）A． B． C． D．
【答案】D【分析】设上面的六棱柱的底面面积为S，高为 ，根据棱柱和棱台的体积公式直接
计算，然后求比可得.
【详解】设上面的六棱柱的底面面积为S，高为 ，由上到下的三个几何体体积分别
记为 ，
则 ，
，
，
所以
故选：D
10．已知过双曲线 ： 的右焦点 作 轴的垂线与两条渐
近线交于 ， ， 的面积为 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】先结合双曲线的渐近线方程求出 ，再根据三角形面积公式得到
即可.【详解】
由题知，双曲线的渐近线为 ，
得 ， ，，
，
，
故选：A.
11．已知直线 上的两点 ，且 ，点 为圆
上任一点，则 的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】找到圆上的点到直线距离的最大值作为 的高，再由面积公式求解即可.
【详解】把圆 变形为 ，
则圆心 ，半径 ，
圆心 到直线 的距离 ，
则圆 上的点到直线 的距离的最大值为 ，又 ，
∴ 的面积的最大值为 ．
故选：A．
12． ， ， ，则 的大小关系为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分别构造函数证明 与 ，利用这两个不等式可判
断 ；构造函数 ，可证得 ，即可判断 ，从而得出答案.
【详解】令 ，则 ，
则 在 上单调递增，故 ，则 ．令 ，则 ，
则 在 上单调递增，故 ，则 ．
所以 ，即 ；
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，则 ，故 ，
所以 在 上单调递增，则 ，即 ，
易知 ，所以 ，则 ，即 ；
综上： .
故选：B.
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若某种水果的果实横径 （单位： ）服从正态分布 ，则果实横径在
的概率为__________.（附：若 ，则 ，
）
【答案】
【分析】分析可得 ， ，利用 原则结合参考数据可求得结果.
【详解】由题意可得 ， ，则 ， ，
所以，
.
故答案为： .
14．已知 ， 且 ，则 的最小值为________．【答案】
【分析】根据基本不等式，结合“1”的代换，可求得 的最小值．
【详解】因为 ，即
所以，当且仅当 时取得等号
所以 的最小值为
【点睛】本题考查了基本不等式的简单应用，属于基础题．
15．已知圆 ： 与圆 ： 的交点为A，B，则
________．
【答案】
【分析】两圆方程作差得到公共弦方程，利用圆 的圆心到直线的距离及勾股定理求
出弦长．
【详解】解：两圆的公共弦 的方程为 ，即
，圆 ： 配成标准式得 知圆心为
，半径 ，则点 到直线 的距离 ，则 ．
故答案为
【点睛】本题考查两圆的公共弦方程，圆中的弦长问题，属于基础题．
16．如图，已知三棱锥 中， ， ， ，则
二面角 的平面角的大小为______．
【答案】60°
【分析】取 中点 ，由等腰三角形三线合一可知 ， ；由二面角平面角定义可知 为所求角，根据长度关系可知 为等边三角形，从而得到
结果.
【详解】取 中点 ，连接， ， 为 中点 ，
即为二面角 的平面角
又 ， 为等边三角形
，即二面角 的大小为
故答案为
【点睛】本题考查立体几何中二面角的求解问题，关键是能够根据二面角平面角的定
义，利用垂直关系在图形中得到二面角的平面角.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必
考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．已知数列 和 满足 ．
(1)证明： 和 都是等比数列；
(2)求 的前 项和 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由 ， 两式相加、相减，结合等比数列的定义即
可证明；
（2）由（1）可得 ， ，即可求出 和 的通项公式，
从而得到 ，再利用分组求和法及等边数列求和公式计算可得.【详解】（1）因为 ， ，
所以 ， ，
又由 ， 得 ， ，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
数列 是首项为 ，公比为 的等比数列．
（2）由（1）得 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ．
18．如图，平面 平面 ， ， ， ， .
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： .
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【分析】(1)过点 分别作 、 的平行线，交点为 、 ，利用平行关系和线段
长度关系证明四边形 为平行四边形，从而有 ，再利用线面平行的判
定定理证明 平面 ；(2)利用面面垂直的性质得到 平面 ，从而
，又由 ，得 .
【详解】(1) 证明：过点 作 的平行线，交 于点 ，连接 .
过点 作 的平行线交 于点 ，连接 .
则四边形 为平行四边形，有 平行且等于 .
因为 ，所以 .
因为 ，所以 ，故 ，所以 ，
又 ，所以四边形 为平行四边形，有 平行且等于 ，所以 平行且等于 ，四边形 为平行四边形，有 .
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
(2)证明：因为 ， ，所以 .
因为平面 与平面 垂直，且交线为 ，又 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 .
又由(1)知 ，所以 .
19．某购物中心准备进行扩大规模，在制定末来发展策略时，对中心的现有顾客满意
度进行了一个初步的现场调查，分别调查顾客对购物中心的商品质量、服务质量、购
物环境、广告宣传的满意程度．调查时将对被抽中的每个顾客从这四个问题中随机抽
取两个问题来提问，统计顾客的满意情况．假设，有三名顾客被抽到，且这三名顾客
对这四个问题的满意情况如下表：
商品质量 服务质量 购物环境 广告宣传
顾客
满意 不满意 满意 不满意
甲
顾客
不满意 满意 满意 满意
乙
顾客
满意 满意 满意 不满意
丙
每得到一个满意加10分，最终以总得分作为制定发展策略的参考依据．
(1)求购物中心得分为50分的概率；
(2)若已知购物中心得分为50分，则顾客丙投出一个不满意的概率为多少？
(3)列出该购物中心得到满意的个数X的分布列，并求得分 的数学期望．
【答案】(1)
(2)(3)分布列见解析，40【分析】（1）得分为50分即在六个问题的结果中，有五个满意，一个不满意，然后
按照古典概型的概率进行计算；
（2）由条件概率的公式进行计算即可；
（3）按求分布列的步骤进行计算，进而可得数学期望.
【详解】（1）将得分为50分记为事件A；得分为50分即在六个问题的结果中，有五
个满意，一个不满意，
可能的结果共有： （种）
三名顾客产生的反馈结果总共有： （种）
则 ，∴购物中心得分为50分的概率为
（2）将顾客丙投出一个不满意记为事件B，则
， ，
（3） 可能的取值为2、3、4、5、6
，
，
2 3 4 5 6
∵ ，∴ ．
20．已知椭圆C： 的离心率为 ，椭圆C的左、右顶点分别为A、B，直线l： 经过椭圆C的右焦点F，且与椭圆交于M，N两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线BM，AN的斜率分别为 ， ，若 ，求证：λ为定值．【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由题可得 ， ，即求；
（2）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理法即求.
【详解】（1）由题意知右焦点F(1，0)， ，又 ，
则 ， ，
所以椭圆的标准方程为： ；
（2）设 ， ，
由 可得 ，
则 ， ，
又 ，B（2，0）， ，
法一： ，由 得 ，
∴
即λ为定值 ．
法二：即λ为定值 ．21．已知函数 .
(1)求函数 在 处的切线方程；
(2)若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据切点和斜率求得切线方程.
（2）由 分离常数 ，通过构造函数法，结合导数来求得 的取值范
围.
(1)
的定义域为 ，
，则 ，
，故切线方程为 ，
即 .
(2)
恒成立，其中 ，所以 ，
记 ，
则 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 单调递减，在 单调递增， ，
则实数 的取值范围为 .
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所
做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知直线 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立
极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点 的直角坐标为 ，直线 与曲线C 的交点为 ， ，求 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【详解】试题分析：（1）在方程 两边同乘以极径 可得 ，再根
据 ，代入整理即得曲线 的直角坐标方程；（2）把直线的参数
方程代入圆的直角坐标方程整理，根据韦达定理即可得到 的值.
试题解析：（1） 等价于 ①
将 代入①既得曲线C的直角坐标方程为
，②
（2）将 代入②得 ，
设这个方程的两个实根分别为
则由参数t 的几何意义既知， .
考点：圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化及直线参数方程的应用.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数 ．
（ ）求不等式 的解集；
1
（ ）若关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围．
2
【答案】（1） （2）m≤﹣ 或m≥1．
【详解】试题分析：
(Ⅰ)零点分段可得不等式的解集为{x|- }；
(Ⅱ)由题意得到关于实数m的不等式，求解不等式可得实数m的取值范围是m≤﹣ 或m≥1.
试题解析：
（Ⅰ）不等式f（x）＜8，即|2x+3|+|2x﹣1|＜8，
可化为① 或② 或③ ，…解①得﹣ ＜x＜﹣ ，解②得﹣ ≤x≤ ，解③得 ＜x＜ ，
综合得原不等式的解集为{x|- }．
（Ⅱ）因为∵f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|≥|（2x+3）﹣（2x﹣1）|=4，
当且仅当﹣ ≤x≤ 时，等号成立，即f（x） =4，…
min
又不等式f（x）≤|3m+1|有解，则|3m+1|≥4，解得：m≤﹣ 或m≥1．公众号：高中试卷君
