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数，留下第一个数2不动，剔除掉所有2的倍数；接着，在剩余的数中2后面的一个数3不动，剔除掉所有3
2024届新高三开学摸底考试卷（全国卷）
的倍数；接下来，再在剩余的数中对3后面的一个数5作同样处理；……，依次进行同样的剔除.剔除到最后，
文科数学 02
剩下的便全是素数.在利用“埃拉托塞尼筛法”挑选2到20的全部素数过程中剔除的所有数的和为（ ）
A．130 B．132 C．134 D．141
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
6．已知函数 的最小正周期为T，且 ，若 的图象关于直线
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考
证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 对称，则 （ ）
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
A． B． C． D．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
7．在 ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ，则角C＝（ ）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题 △
A． B． C． D．
目要求的．
8．在 中，点 在边 上，且 ，则（ ）
1．若集合 ， ，则 （ ）
A． B．
A． B． C． D．
C． D．
2．若 ，则
9．贯耳瓶流行于宋代，清代亦有仿制，如图所示的青花折枝花卉纹六方贯耳瓶是清乾隆时期的文物，现收
A． B． C． D．
藏于首都博物馆，若忽略瓶嘴与贯耳，把该瓶瓶体看作3个几何体的组合体，上面的几何体Ⅰ是直棱柱，中
间的几何体Ⅱ是棱台，下面的几何体Ⅲ也是棱台，几何体Ⅲ的下底面与几何体Ⅰ的底面是全等的六边形，几
何体Ⅲ的上底面面积是下底面面积的4倍，若几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的高之比分别为 ，则几何体Ⅰ、Ⅱ、
3．设函数 ，且 为奇函数，则 （ ）
Ⅲ的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
4．甲，乙，丙，丁四人在足球训练中进行传球训练，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙，丙，丁中的
任何一个人，以此类推，则经过3次传球后乙恰接到1次球的概率为（ ）
A． B． C． D．
A． B． C． D．
10．已知过双曲线 ： 的右焦点 作 轴的垂线与两条渐近线交于 ， ，
5．“埃拉托塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法.这种方法是依次写出2和2以上的自然的面积为 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
11．已知直线 上的两点 ，且 ，点 为圆 上任一点，则 的
面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
12． ， ， ，则 的大小关系为（ ）.
A． B．C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若某种水果的果实横径 （单位： ）服从正态分布 ，则果实横径在 的概率为
__________.（附：若 ，则 ， ）
（1）求证： 平面 ；
14．已知 ， 且 ，则 的最小值为________．
（2）求证： .
19．某购物中心准备进行扩大规模，在制定末来发展策略时，对中心的现有顾客满意度进行了一个初步的现
15．已知圆 ： 与圆 ： 的交点为A，B，则 ________．
场调查，分别调查顾客对购物中心的商品质量、服务质量、购物环境、广告宣传的满意程度．调查时将对被
16．如图，已知三棱锥 中， ， ， ，则二面角 的平 抽中的每个顾客从这四个问题中随机抽取两个问题来提问，统计顾客的满意情况．假设，有三名顾客被抽到，
且这三名顾客对这四个问题的满意情况如下表：
面角的大小为______．
商品质量 服务质量 购物环境 广告宣传
顾客
满意 不满意 满意 不满意
甲
顾客
不满意 满意 满意 满意
乙
顾客
满意 满意 满意 不满意
丙
每得到一个满意加10分，最终以总得分作为制定发展策略的参考依据．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都
(1)求购物中心得分为50分的概率；
必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(2)若已知购物中心得分为50分，则顾客丙投出一个不满意的概率为多少？
17．已知数列 和 满足 ．
(3)列出该购物中心得到满意的个数X的分布列，并求得分 的数学期望．
(1)证明： 和 都是等比数列；
20．已知椭圆C： 的离心率为 ，椭圆C的左、右顶点分别为A、B，直线l：
(2)求 的前 项和 ．
经过椭圆C的右焦点F，且与椭圆交于M，N两点．
18．如图，平面 平面 ， ， ， ， . (1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线BM，AN的斜率分别为 ， ，若 ，求证：λ为定值．
21．已知函数 .(1)求函数 在 处的切线方程；
(2)若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
已知直线 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的
极坐标方程为 .
（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点 的直角坐标为 ，直线 与曲线C 的交点为 ， ，求 的值.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数 ．
（ ）求不等式 的解集；
1
（ ）若关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围．
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