文档内容
2024届新高三开学摸底考试卷（课标全国专用）03
文科数学·答案及评分标准
1．C 2．D 3．D 4．B 5．C 6．A 7．D 8．B 9．B 10． 11． 12．
B A C
13．
14．
15．
16．
17．【详解】(1)因为 （列式正确1分）
解得 （2分）
(2)由题意可知从第1组选取的人数为 人，设为 ， ，
从第2组选取的人数为 人，设为 ， ， ．
从这5人中随机抽取2人的所有情况有：
， ， ， ， ，
， ， ， ， ，共10种（4分）
这两人恰好属于不同组别有 ， ， ， ， ， ，共6种．
所以所求的概率为 ．（5分）
(3)选出的200人中，各组的人数分别为：
第1组： 人，
第2组： 人，
第3组： 人，
第4组： 人，
第5组： 人，
所以青少年组有 人，中老年组有 人，
因为参与调查者中关注此问题的约占 ，即有 人不关心民生问题，
所以选出的200人中不关注民生问题的青少年有30人．
于是得 列联表（列联表正确，7分，不完全正确扣1分）
关注民生问题 不关注民生问题 合计青少
90 30 120
年中老
70 10 80
年
合计 160 40 200
所以 （9分）
所以没有 的把握认为是否关注民生与年龄有关（10分）
18．【详解】（1）选①：由正弦定理得：
整理得： （2分）
（3分）
又 （4分）
（5分）
选②：由正弦定理得： ，（1分）
即 ，（2分）
， ，
（3分）
又 （4分）
（5分）
选③： （1分）
，
（3分）
又 ， （4分）
，解得： （5分）
（2）设 边上的高为 ，
由余弦定理得： （7分）
（当且仅当 时取等号）， （9分）面积的最大值为 （10分）又 ， ，即 边上的高的最大值为 （12分）
19．【详解】（1）证明:如图，连接 ，与 交于点 ，则 为 的中点，连接 ，
由四边形 是菱形可得 （1分）
因为 ，所以 （2分）
因为 ，所以 平面 （3分）
因为 平面 ，
所以 （4分）
（2）因为平面 平面 ，平面 平面 ，且 ，
所以 平面 （6分）
即 为三棱锥 的高.
由 ，四边形 是菱形，且 ，
可得 与 都是边长为2的等边三角形，所以 （7分）
因为 的面积 （8分）
故 （9分）
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，（10分）
故点 到平面 的距离也为 （11分）
由四边形 是菱形得
因此 （12分）
20．【详解】（1）设椭圆C的半焦距为 ，
由题意可得 ，解得 ，（3分）所以椭圆C的标准方程为 （4分）
（2）由（1）可得： ，
根据题意可设直线 ，
联立方程 ，消去y得 （5分）
则 ，
可得 ，①（6分）
由题意可知x轴为直线PA与直线PB的对称轴，则 ，
可得 （8分）
因为 ，可得 ，
整理得 ，②（10分）
将①代入②得： ，解得 ，（11分）
所以存在点P，使x轴上任意一点到直线PA与到直线PB的距离相等，此时 .（12分）
21．【详解】（1）当 时， 的定义域为 ，
则 （1分，求导正确给1分）
因为 ，则 ，所以 （2分）
当 时， ，则 单调递增；当 时， ，则 单调递减；
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .（4分）
（2）若函数 有两个零点，则 ，
即 ，两式相减，可得 ，（5分）两式相加得 ，（6分）
要证 ，只要证 ，即证 ，即证 ，（7分）
只须证 ，即证 ，即证 ，（9分）
令 ，则由 得 ，故须证 ，（10分）
令 ，则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，（11分）
所以当 时， ，即 成立，
故原不等式 成立.（12分）
22．【详解】（1）由 可得 ，（1分）
将 代入可得， ，（3分）
整理可得 （4分）
（2） 和 联立可得， （6分）
设 对应得极径分别为 ，根据韦达定理， （8分）
于是 （10分）
23．【详解】（1）由 可得 ，（1分）
当 时，原不等式可化为 ，解得 ；（2分）
当 时，原不等式可化为 ，显然不成立；（3分）
当 时，原不等式可化为 ，解得 ；（4分）
所以 的取值范围为 或 ；（5分）
（2）因为 ，当且仅当 时等号成立，（7分）
所以由不等式 的解集为 ，可得 ，（8分）
.解得 ．（9分）故实数 的取值范围是 ．（10分）公众号：高中试卷君
