文档内容
2024届新高三开学摸底考试卷（课标全国专用）03
文科数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求.
1．已知全集 ，集合 ，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C．（2，3] D．[-2，3）
2．复数 ,则 的虚部为
A． B．i C．-1 D．1
3． 是空气质量的一个重要指标，我国 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 日均值
在 以下空气质量为一级，在 之间空气质量为二级，在 以上空气质量
为超标.如图是某地11月1日到10日 日均值（单位： ）的统计数据，则下列叙述不正确的是
（ ）
A．这 天中有 天空气质量为一级 B．这 天中 日均值最高的是11月5日
C．从 日到 日， 日均值逐渐降低 D．这 天的 日均值的中位数是
4．若 ，则 （ ）A． B． C． D．
5．“ChatGPT”以其极高的智能化引起世界关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是
以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为 ，其中 表示每一轮优化
时使用的学习率， 表示初始学习率， 表示衰减系数， 表示训练迭代轮数， 表示衰减速度.已知某
个指数衰减的学习率模型的初始学习率为 ，衰减速度为 ，且当训练迭代轮数为 时，学习率为 ，
则学习率衰减到 以下（不含 ）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据： ）（ ）
A．75 B．74 C．73 D．72
6．等差数列 中，已知 且公差 ，则其前 项的和 取得最小值时 的值为
A．7 B．8 C．9 D．10
7．已知函数 的部分图象如下所示，则 可能为（ ）
A． B．
C． D．
8．设命题 在 上单调递增，命题 ，则 是 成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．已知定义域为 的奇函数 满足 ，且当 时， ，则
（ ）
A． B． C． D．
10．曲线 上的点到直线 的最短距离是（ ）
A． B． C．1 D．2
11．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 是抛物线 上一点， 于 .若
，则抛物线 的方程为（ ）
A． B．C． D．
12．已知可导函数 的导函数为 ，若对任意的 ，都有 ，且，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知 ，若 ，则 ______ .
14．圆心在直线 上，且与直线 相切于点 的圆的标准方程为________．
15．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓
碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的 ，并且球
的表面积也是圆柱表面积的 ”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为 ，则该圆
柱的内切球体积为________.
16．已知函数 ，若函数 恰有三个零点，则实数 的取值范围是
______．
三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考
题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）
（一）必考题：共60分
17．第十三届全国人大第二次会议于2019年3月5日在北京开幕．为广泛了解民意，某人大代表利用网站
进行民意调查．数据调查显示，民生问题是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占 ．
现从参与调查者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组，第1组 ，第2组 ，第3组
，第4组 ，第5组 ，得到的频率分布直方图如图所示．
(1)求 ；
(2)现在要从年龄较小的第1组和第2组中用分层抽样的方法抽取5人，并再从这5人中随机抽取2人接受
现场访谈，求这两人恰好属于不同组别的概率；
(3)把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中
不关注民生问题的中老年人有10人，问是否有 的把握认为是否关注民生与年龄有关？
附：
0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
， ．
18．在① ；② ；③ ，
，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并对其进行求解．
在 中，内角 的对边分别为 ．已知________．
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 边上高的最大值．
19．如图，在几何体 中，四边形 是菱形， ，平面 平面 ， .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求三棱锥 和三棱锥 的体积.
20．已知椭圆C： 的离心率为 ，过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，当
直线l与x轴垂直时， ．(1)求椭圆C的标准方程；(2)当直线l的斜率为k 时，在x轴上是否存在一点P（异于点F），使x轴上任意一点到直线PA与到
直线PB的距离相等？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由．
21．已知函数 ，其中 为自然对数的底数.
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若函数 有两个零点 ，证明： .
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[坐标系与参数方程]在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）．以
坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 ．
(1)求曲线 的极坐标方程；
(2)若直线 与曲线 交于 两点，求 ．
23．[不等式选讲]已知 ．
(1)若 ，求 的取值范围；
(2)若不等式 的解集为 ，求实数 的取值范围．公众号：高中试卷君
