文档内容
2024届新高三开学摸底考试卷（全国通用）
文科数学
本试卷共22题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干
净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
1．已知集合 , ,则 （ ）
A． B． C． D．
2．复数 在复平面上对应的点位于虚轴上,则实数a的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．已知2022年第1季度农村居民人均消费支出为4391元,为本季度农村居民人均可支配收入的76%,本季
度农村居民人均可支配收入的来源及其占比的统计数据的饼状图如图所示,根据饼状图,则下列结论正确的
是（ ）
A．财产净收入占农村居民人均可支配收入的4%
B．工资性收入占农村居民人均可支配收入的40%
C．经营净收入比转移净收入大约多659元
D．财产净收入约为173元
4．平行四边形 中,点 在边 上, ,记 ,则 （ ）A． B．
C． D．
5．记 为等差数列 的前n项和,已知 , ,则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．某个函数的大致图象如图所示,则该函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
7.已知函数 ,则 的图象在 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．在2023年3月12日马来西亚吉隆坡举行的Yong Jun KL Speedcubing比赛半决赛中,来自中国的9岁魔
方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称号.如图,一个三阶魔
方由27个单位正方体组成,把魔方的中间一层转动了 之后,表面积增加了（ ）
A．54 B． C． D．9．设 是椭圆 的上顶点, 是 上的一个动点．当 运动到下顶点时, 取得最
大值,则 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作 , ,点 ,点
,且其“欧拉线”与圆 相切.则圆 上的点到直线 的距离的
最小值为（ ）
A． B． C． D．6
11.已知直四棱柱 的底面为正方形, , 为 的中点,过 三点作平面 ,
则该四棱柱的外接球被平面 截得的截面圆的周长为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 与 的定义域均为 , 为偶函数,且 , ,则下面
判断错误的是( )
A． 的图象关于点 中心对称
B． 与 均为周期为4的周期函数
C．
D．
二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.
13．13．若x,y满足约束条件 ,则 的最大值为________．
14．已知 是公比为 )的等比数列,且 成等差数列,则 __________．
15．已知 ,若在 上恰有两个不相等的实数 、 满足 ,则实数 的
取值范围是__________．16．已知抛物线 的焦点为F,点 在抛物线上,且满足 ,设弦 的中点M到y轴的距离为
d,则 的最小值为__________．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必
须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17．（12分）．如图,在四棱锥 中,底面ABCD是边长为2的菱形, ,AC与BD交于点O,
底面ABCD, ,点E,F分别是棱PA,PB的中点,连接OE,OF,EF．(1)求证：平面 平面PCD；
(2)求三棱锥 的体积．
18.（12分）为了检查工厂生产的某产品的质量指标,随机抽取了部分产品进行检测,所得数据统计如下图所
示．
(1)求 的值以及这批产品质量指标的平均值；
(2)若按照分层的方法从质量指标值在 的产品中随机抽取7件,再从这7件中随机抽取2件,求至少
有一件的指标值在 的概率；
(3)为了调查 两个机器与其生产的产品质量是否具有相关性,以便提高产品的生产效率,质检人员选取了
部分被抽查的产品进行了统计,所得数据如下表所示,判断是否有99.9%的把握认为机器类型与生产的产品质
量具有相关性．
机器生
机器生产
产
优质
200 80
品
合格
120 80
品
附：
0.050 0.010 0.0013.811 6.635 10.828
．
19.（12分）在 中, ,点 在边 上, 且 , .
(1)求 ；
(2)求 的面积.
20.（12分）已知双曲线 的左、右焦点分别为 , , 是 的左顶点, 的离心率为2．
设过 的直线 交 的右支于 、 两点,其中 在第一象限．
(1)求 的标准方程；
(2)若直线 、 分别交直线 于 、 两点,证明： 为定值；
(3)是否存在常数 ,使得 恒成立？若存在,求出 的值；否则,说明理由．
21.（12分）设函数 .
(1)从下面两个条件中选择一个,求实数 的取值范围；
①当 时, ；
② 在 上单调递增.
(2)当 时,证明：函数 有两个极值点 ,且 随着 的增大而增大.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中,曲线 的方程为 ．曲线 的参数方程为 （ 为参数）．
以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线 和曲线 的极坐标方程；
(2)若射线 （ , ）交曲线 于点P,直线 与曲线 和曲线 分别交于点
M、N,且点P、M、N均异于点O,求 面积的最大值．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数 的最小值为m, 的最小值为n．实数a,b,c满足 , ,
, ．
(1)求m和n；
(2)证明： ．公众号：高中试卷君
