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数学试题参考答案
即 ，
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 所以 ，所以 ①，
只有一项是符合题目要求的。
而椭圆过点A，所以 ②，联立①②得 ，故选D
1. 【答案】A
【详解】由 ，得 ，所以 ，
7. 【答案】B
因为 ，所以 ，
【详解】 圆C的标准方程为 ，所以 ．
所以 .故选：A.
2. 【答案】D
【详解】因为 ，所以 ，故选：D 由 得 ，所以 ．
3. 【答案】C
【详解】因为 ， ，
，故选B
所以 ， ，
8. 【答案】D
因为 ，所以 ，解得 .故选：C
【详解】如图，过点P作EF∥AQ分别交 于EF，则
4. 【答案】A
．
【详解】因为等比数列 的前 项和为 ，设其公比为 ，
再过点F作平面FGHI∥平面ABCD分别与棱
由已知 ，故 ，所以 ， ，则 ，
交于G,H,I，则 ，
故 ，所以， ，故 .故选：A. 所以 ，故选D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
5. 【答案】B
9. 【答案】BC
【详解】由 ，且为偶函数，求导 ，
【详解】 将6个分数按从小到大的顺序排列得：86、90、92、94、95、98.所以中位
所以 在R上单调递增，又由 ，所以当
数为 ，所以A错误；计算 ，所以第75百分位数为第5个
时， 当 时， ，所以 在 时，取到最小值
2，即函数值域为 ,
数95，所以B正确；6个分数的平均分为 ，方差
故选：B
6. 【答案】D
，
【详解】 如图，因为椭圆E与圆C相切于A，所以他们在点A处有
相同的切线l，l与圆C相切可求得l的方程为 ，由椭圆的
若去掉一个最高分和一个最低分后， ，
光学性质知 ，所以 关于直线l对称点
在直线 上，所以 ，所以 ，所以C正确，D错误．
10. 【答案】ACD
学科网（北京）股份有限公司【详解】 在 上单调递增，又由 ， 因为函数 、 在 上均为增函数，
根据题意 即 故函数 在 上为增函数，
对于A， ， 当且仅当 ， 因为 ， ，
即 取等号，故A正确； 所以，存在 使得 ，则 ，
对于B， ，故当 ， 时， 当 时， ；当 时， .
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
取到最小值 ，不满足题意，故B错误；
对于 C， ，当且仅当 ，即 时等号成
所以， ，C错；
立，
故C正确；
，
对于D, ， 因为 ，所以 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，由 ，得 ，
所以， ，故 ，D对.故选：ABD.
所以当 时， 取得最大值 ，故D正确. 故选：ACD
第二部分（非选择题 共92分）
11. 【答案】ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
【详解】对于A选项，当 时，在曲线 的方程中，令 ，可得 ， 12．【答案】1
解得 ，所以当 时，曲线 与 轴有4个交点，A对； 【详解】令 得 ，令 得
对于 B 选项，在曲线 上任取一点 ，则点 关于直线 的对称点为 ，所以，
，因为 ，即点 也在曲线 上，
所以
所以曲线 的图象关于直线 对称，B对；
13．【答案】
对于CD选项，当 时，在曲线 上的一点 ，则 ，
【详解】由函数 ，
则 ，其中 ， 因为方程 在区间 上有且仅有2个不相等的实数根，且 ，
令 ，其中 ，则 ， 可得 在区间 上有且仅有2个不相等的实数根，
学科网（北京）股份有限公司令 ， 所以 . ------------------6分
（2）由 为 的中点，从而 .------------------8分
即等价于方程 在t , 上有且仅有2个不相等的实数根，
3 3
平方，得 ，
结合正弦函数图像可知， 解得 ，故答案为： . 即 ，------------------10分
当且仅当 时等号成立，此时 有最大值 ，----------------11分
14．【答案】
【详解】设事件 “有且仅有一次经过 ”，事件 “水平方向移动 3
则 .
次”，
按到 位置需要1步，3步分类讨论.记 向左， 向右， 向上， 向
从而 面积的最大值为 . ------------------13分
下，
（1）若1步到位为事件 ，则满足要求的是 或 或 或 或 ， 16．【答案】（1）甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为 的可能取值有 ，
或 或 或 或 ，所以 ； 则
（2）若3步到位为事件 ，则满足要求的是
所以 ；所以 ，
-----------------4分
满足 的情况有： ， ， .所以 ，
所以 的分布列为
所以 .故答案为： . 0 1 2 3 4
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步
棸。
15．【答案】（1）选条件①：由 ，及正弦定理，
-----------------5分
.------------------2分
故 ；-----------------7分
又 为 内角，所以 ，从而 ，
（2）由于 两组题至少答对3道题才可获得一张奖券，
即 ，------------------4分
则甲在一轮答题中获得一张奖券的概率为
则 ，或 （舍去），从而 . ------------------6分 ，-----------------8分
选条件②，由 及正弦定理，
所以甲同学进行了10轮答题，获得的奖券数 ，
得 ，------------------2分， 整理得 ，------------4分
可得奖券数 的概率为 ， ，-----------------10分
由余弦定理得 ，而 ，
假设甲同学获得 张奖券的概率最大，则有:
学科网（北京）股份有限公司则 ，由图可知，二面角 为锐角
，
,-----------------12分
故二面角 的余弦值为 . -----------------15分
化简得：
，解得 ，-----------------14分
18.【答案】（1）由题意知 ，解 ，---------------2分
又因为 ，所以 ，即同学获得3张奖券的概率最大.-----------------15分
17．【答案】（1）如图，取 中点为 ，连接 . 所以，椭圆 的方程为 .-----------------4分
因为 ， ， , 所以， .
（2）（ⅰ）由两点式知 的方程为 ，
又因为 为等边三角形， 中点为 ，所以 ，且 .
在 中，有 ，所以， . -----------------3分
所以 的方程为 ，-----------------6分
因为 平面 ， 平面 ， ，所以， 平面 .----------5
分
因为 平面 ，所以，平面 平面 . -----------------6分 联立 得 ，
（2）由（1）知， 平面 ，
所以直线 与平面 所成的角的平面角为 ，---------7分
因为 ，所以直线 与椭圆 相切.----------------9分
（ⅱ）当 的斜率存在时，设 的方程为 ，
即 ,因为 ，所以 , 即 为 的中点.
设
因为 ， 平面 ,分别以 所在的直线为 轴，以过点 且与 平
行的直线为 轴，如图建立空间直角坐标系，
其中 ,----------------11分
则 ， ， ， ，-----------------9分
联立
则 ， ，
得 ，
设 是平面 的一个法向量，
由 ，得
则有 ，即 ，
，
取 ，则 ， ，则 . -----------------12分
易知平面
的法向量为
-----------------13分
，
学科网（北京）股份有限公司当 时， ，即 .----------------9分
同理可得 ， ，-----------------13分
（3） ，
所以 ，
因为 ，所以 即 ，
,-----------------10分
所以直线 的方程为 ，所以直线 过定点 .-----------------15分
当 的斜率不存在时，设 的方程为 ， ， 由 ，得 .-----------------13分
当 时， ，
同理 ，
当 时， ，当 时， ，
在 时单调递减，在 时单调递增，
因为 ，所以 即 ，
所以直线 的方程为 也过点 .
综上，直线 是过定点 .-----------------17分
注：其他解法可酌情给分。 -----------------13分
当 时， ，
可知在0附近存在区间 ，使 ， 在 上单调递减，
19.【答案】（1）当 时， .
又 ， ， ， ，
-----------------2分 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ， ∴切线方程为 -----------------4分 故在区间 上 ， 在区间 上单调递减
, .
在 处无极值，不符合要求.-----------------15分
（2）设函数, ，
当 时， ，可知在0附近存在区间 ，使 ，
，故 与 符号相同，
----------------6分
在 上单调递增，
恒成立， 在 上单调递增.
又 ， ， ， ，
又 ，故当 时， ，即 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
学科网（北京）股份有限公司故在区间 上 ， 在区间 上单调递增,
在 处无极值，不符合要求.
综上所述，当 时， 在 处有极小值.-----------------17分
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