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2024届新高三开学摸底考试卷（新高考专用）01
数学•全解全析
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．设集合 ，B= ，则 （ ）
A. {－2，－1，1} B. {－2， 0， 1}
C. {－2，－1} D. {－1， 1}
【答案】A
【详解】 ，则 或 ，
所以 .
故选：A.
2．已知复数 ， 为z的共轭复数，则 （ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】C
【详解】由题： ， ， ，所以
.
3．已知向量 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. 2 D. －2
【答案】D【详解】因为 ， ，所以 ，又因为
，所以 ，化简得 .
故选：D.
4．已知函数f(x)＝log (6－ax)(a>0，且a≠1)在(0,2)上单调递减，则实数a的取值范围是(
a
)
A．(1,3] B．(1,3)C．(0,1) D．(1，＋∞)
【答案】 A
【详解】 令t(x)＝6－ax，因为a>0，所以t(x)＝6－ax为减函数．
又由函数f(x)＝log (6－ax)在(0,2)上单调递减，
a
可得函数t(x)＝6－ax>0在(0,2)上恒成立，且a>1，
故有解得10，故由x∈(0，π)，得ωx＋∈ .
根据函数f(x)在区间(0，π)上恰有三个极值点，知<πω＋≤，得<ω≤.
根据函数f(x)在区间(0，π)上恰有两个零点，知2π<πω＋≤3π，得<ω≤.
综上，ω的取值范围为
x2 y2
C： − =1(a>0,b>0)
a2 b2
16．已知F为双曲线 的右焦点，A、B是双曲线C的一条渐近
线上关于原点对称的两点，
⃗AF⋅ ⃗BF=0
且线段AF的中点在双曲线C上，则双曲线C的
离心率e= .
【答案】
【详解】因为 为双曲线 的右焦点，所以 .由题知双曲
线的一条渐过线的方程为 ，不妨设 ，则 ，所
以 ，则
，由此得 因此点 的坐标
为 ，线段 的中点坐标为 ，因为它在双曲线上，所以
，化简得 ，解得
四、解答题：共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。c sinA2sinBcosA
17．记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a 2sin A ．
（1）求B的大小；b2 2 2 3
（2）若 ，△ABC的面积为 ，求△ABC的周长．
sinC sin A2sinBcosA
【详解】（1）由正弦定理得sinA 2sin A ，所以
sin A2sinBcosA2sinC 2sin(AB)2sin AcosB2cosAsinB
，
sin A2sin AcosB 0 Aπ sinA0
得 ，因为 ，所以 ，
1
cosB
得 2，又0 Bπ，
π
B
所以 3．
1
S acsinB2 3
（2）由 △ABC 2 ，得ac8，
a2 c2 b2 1
cosB
由余弦定理 2ac 2，得a2 c2 8ac，
ac2
3ac832
得 ，
ac4 2
得 ，
ABC 6 2
所以 的周长为 ．
18．如图,在四棱锥 中,底面 为直角梯形, , ,平面
底面 , 为 的中点, 是棱 (不与端点重合)上的点, ,
, .
(1)求证:平面 平面 ;(2)当 的长为何值时,平面 与平面 所成的角的大小为 ?
【解析】(1) , 为 的中点, ,
, ,四边形 为平行四边形, .
, .
, , .
又 平面 平面 ,平面 平面 ,
平面 , .又 , 平面 .
平面 , 平面 平面 .
(2)由(1)可知 平面 .如图,以 为原点,分别以 , , 所在直线为
轴, 轴, 轴,建立空间直角坐标系,
则 , , , , ,
, , , ,
.
设 ,则 ,且 ,得
,
.
设平面 的法向量为 ,
则 ,即 ,
令 ,则 , ,
平面 的一个法向量为 .
设平面 的法向量为 ,则 ,即
令 ,则 , ,平面 的一个法向量为 .
平面 与平面 所成的锐二面角的大小为 ,
,
.
.
即当 时,平面 与平面 所成的角大小为
19．已知函数f(x)＝ex－ax－a，a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a＝1时，令g(x)＝.证明：当x>0时，g(x)>1.
【详解】(1)解 函数f(x)＝ex－ax－a的定义域为R，求导得f′(x)＝ex－a，
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，即f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，
当a>0时，令f′(x)＝ex－a>0，解得x>ln a，令f′(x)<0，解得x0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．
(2)证明 当a＝1时，g(x)＝，
当x>0时，>1⇔ex>1＋x＋⇔<1，
令F(x)＝－1，x>0，F′(x)＝<0恒成立，则F(x)在(0，＋∞)上单调递减，
F(x)0时，g(x)>1，即原不等式得证．
20．已知数列 是以d为公差的等差数列， 为 的前n项和．(1)若 ，求数列 的通项公式；
(2)若 中的部分项组成的数列 是以 为首项，4为公比的等比数列，且 ，
求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 ，可得 ，后由等差数列性质可得公差，即可得通项公式；
（2）由题可得 ， .后由 是以d为公差的等差数列， 可得数列
是以 为首项．4为公比的等比数列，可求得数列 的通项公式，后由分组求
和法可得 的前n项和 ．
【详解】（1））因为 ，所以 ，
所以 .
所以 .
则数列 的通项公式为 .
（2）因为数列 是以首项为 ，公比为4等比数列.
所以 .因为数列 是等差数列，所以 .
化简得 .
因为 ，所以 ，即 .
所以 .
因为 ，所以数列 是以 为首项．4为公比的等比数列所以 .
所以 .
则数列 的前n项和 为： .
21．甲、乙两选手进行一场体育竞技比赛，采用 局 胜制 的比赛规则，即先
赢下 局比赛者最终获胜. 已知每局比赛甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，比赛
结束时，甲最终获胜的概率为 .
(1)若 ，结束比赛时，比赛的局数为 ，求 的分布列与数学期望；
(2)若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，即 .
(i)求 的取值范围；
(ii)证明数列 单调递增，并根据你的理解说明该结论的实际含义.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)（i） ；（ii）证明见解析，比赛局数越多，对实力较强者越有利
【详解】（1） ，即采用3局2胜制， 所有可能取值为 ，
，
的分布列如下表：
2 3
所以 的数学期望为 .
（2）采用3局2胜制：不妨设赛满3局，用 表示3局比赛中甲胜的局数，则
，甲最终获胜的概率为：
，
采用5局3胜制：不妨设赛满5局，用 表示5局比赛中甲胜的局数，则 ，甲最终获胜的概率为：
，，
得 .
（ii）由（i）知 .
局比赛中恰好甲赢了 局的概率为 ，
局比赛中恰好甲赢了 局的概率为 ，
则 局比赛中甲至少赢 局的概率为 .
考虑 局比赛的前 局：
如果这 局比赛甲至少赢 局，则无论后面结果如何都胜利，其概率为 ，
如果这 局比赛甲赢了 局，则需要后两场至少赢一局，其概率为 ，
如果这 局比赛甲赢了 局，则需要后两场都赢，其概率为 ，
因此 局里甲最终获胜的概率为： ，
因此 ，即数列 单调递增.
该结论的实际意义是：比赛局数越多，对实力较强者越有利.
22.已知圆 ，定点 是圆 上的一动点，线段 的垂直平分
线交半径 于点 .
(1)求 的轨迹 的方程；
(2)若过 的直线 分别交轨迹 与 和 ，且直线 的斜率之积为 ，求四
边形 面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)【详解】（1）
因为线段 的垂直平分线交半径 与点 ，
所以 ，
所以 是定值， ，
所以 点轨迹为椭圆，其长轴为4，焦距为2，
所以 的轨迹 的方程 .
（2）解法一
设 .由已知得：直线 的方程为 ；
设 ， .由已知得：直线 的方程为
又因为AC、BD斜率之积为 ，所以 ，
由 得 ，即 ，
所以 ，
.
故
同理联立BD与椭圆方程，可得 ，
所以 ，
故
设 分别为点 到直线 的距离，则 .又 在直线 在异侧，则
所以 ，
令
易知 ，所以 ，
所以
解法二
设 ，所以 ，设圆心为 ，
因为直线 的斜率之积为 ，
所以 ，
设直线 方程 ，
点 到 的距离为 ，
所以 ，
同理 ，
设四边形 面积为 ，
则 ，
令 ，则 ，所以 ，
所以 ，
设四边形 面积为S，因为 ，
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