文档内容
2024 届新高三开学摸底考试卷（新高考专用）01
数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答
卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．设集合 ，B= ，则 （ ）
A. {－2，－1，1} B. {－2， 0， 1}
C. {－2，－1} D. {－1， 1}
2．已知复数 ， 为z的共轭复数，则 （ ）
A. B. 2 C. D.
3．已知向量 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. 2 D. －2
4．已知函数f(x)＝log (6－ax)(a>0，且a≠1)在(0,2)上单调递减，则实数a的取值范围是(
a
)
A．(1,3] B．(1,3)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
5．椭圆 的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为（ ）A. 2 B. 4 C. D.
6．已知直线 是圆C： 的对称轴，过点A
作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 87．等比数列{a}的公比为q，前n项和为S，设甲： ，乙：{S}是递增数列，则（
n n n
）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8．已知sin ＋cos α＝，则sin 等于( )
A. B. C．－ D．－
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．维生素C又叫抗坏血酸，是一种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数生物的
必需营养素，现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每100克维生素 的含量（单位：mg），
得到数据如下.则下列说法不正确的是（）
猕猴桃
柚子
A. 每100克柚子维生素C含量的众数为121
B. 每100克柚子维生素C含量的75%分位数为121
C. 每100克猕猴桃维生素C含量的平均数高于每100克柚子维生素C含量的平均数
D. 每100克猕猴桃维生素C含量的方差高于每100克柚子维生素C含量的方差
10．牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是 （单位：
），环境温度是 （单位： ），其中 则经过 分钟后物体的温度 将满足
且 ）.现有一杯 的热红茶置于 的房间里，根
据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（ ）（参考数值A．若 ，则
B．若 ，则红茶下降到 所需时间大约为7分钟
C．若 ，则其实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟 的速率下
降D．红茶温度从 下降到 所需的时间比从 下降到 所需的时间多
11．已知定义在R上的函数f(x)的导函数为 ，且 ， ，
则下列结论正确的有（）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若f(x)是增函数，则 是减函数
D. 若f(x)是减函数，则 是增函数
12．我们把所有棱长都相等的正棱柱（锥）叫“等长正棱柱（锥）”，而与其所有棱都相
切的称为棱切球，设下列“等长正棱柱（锥）”的棱长都为 1，则下列说法中正确的有（
）
A.正方体的棱切球的半径为
B.正四面体的棱切球的表面积为
C.等长正六棱柱的棱切球的体积为
D.等长正四棱锥的棱切球被棱锥5个面（侧面和底面）截得的截面面积之和为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．现从4名男志愿者和3名女志愿者中，选派2人分别去甲、乙两地担任服务工作，若
被选派的人中至少有一名男志愿者，则不同的选派方法共有___________种.(用数字作答)
14．《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一
方亭 ，其中上底面与下底面的面积之比为 ， ，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和为 ，则方亭的体积为______.
15．设函数f(x)＝sin 在区间(0，π)上恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范
围是x2 y2
C： − =1(a>0,b>0)
a2 b2
16．已知F为双曲线 的右焦点，A、B是双曲线C的一条渐近
线上关于原点对称的两点，
⃗AF⋅ ⃗BF=0
且线段AF的中点在双曲线C上，则双曲线C的
离心率e= .
四、解答题：共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
c sinA2sinBcosA
17．记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a 2sin A ．
（1）求B的大小；
b2 2 2 3
（2）若 ，△ABC的面积为 ，求△ABC的周长．
18．如图,在四棱锥 中,底面 为直角梯形, , ,平面
底 面 , 为 的 中 点 , 是 棱 ( 不 与 端 点 重 合 ) 上 的 点 ,
, .
(1)求证:平面 平面 ;
(2)当 的长为何值时,平面 与平面 所成的角的大小为 ?
19．已知函数f(x)＝ex－ax－a，a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a＝1时，令g(x)＝.证明：当x>0时，g(x)>1.
20．已知数列 是以d为公差的等差数列， 为 的前n项和．
(1)若 ，求数列 的通项公式；
(2)若 中的部分项组成的数列 是以 为首项，4为公比的等比数列，且 ，
求数列 的前n项和 ．21．甲、乙两选手进行一场体育竞技比赛，采用 局 胜制的比赛规则，即先赢下 局比赛者最终获胜. 已知每局比赛甲获胜的概率为 ，乙获胜的概
率为 ，比赛结束时，甲最终获胜的概率为 .
(1)若 ，结束比赛时，比赛的局数为 ，求 的分布列与数学期望；
(2)若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，即 .
(i)求 的取值范围；
(ii)证明数列 单调递增，并根据你的理解说明该结论的实际含义.
22.已知圆 ，定点 是圆 上的一动点，线段 的垂直平分
线交半径 于点 .
(1)求 的轨迹 的方程；
(2)若过 的直线 分别交轨迹 与 和 ，且直线 的斜率之积为 ，求四
边形 面积的取值范围.公众号：高中试卷君
