文档内容
2024届新高三开学摸底考试卷（新高考专用）02
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个
选项中只有一项是最符合题目要求的）
1．若集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由 可得： ，解得： ，
由 可得： ，解得： 或 ，
所以 ， ，
所以
故选：D.
2．已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】C
【详解】因为 ，则 等价于 ，
又因为 在定义域内单调递增，则 等价于 ，
即 等价于 ，故“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C.
3．已知函数 的定义域为 ，且当 时， ，则 的
值域为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【详解】由 的定义域为 ， ，
则 ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以函数 在 上单调递增，
当 ，当 ，
故函数 的值域为 .
故选：C．
4．已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】易知， ， ，而 ，故 ，
又因为 ， ，故 ，即 ，
所以 ，
故选：D.
5．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它研究的几何对象具有自相
似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变，具有很多美妙的性质.其中科
赫（Koch）曲线是几何中最简单的形.科赫曲线的产生方式如下：如图，将一条线段三等分
后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“ ”，将1
级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线，……在
分形几何中，若一个图形由 个与它的上一级图形相似，且相似比为 的部分组成，则称
为该图形分形维数.那么科赫曲线的分形维数是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D【详解】由题意 曲线是由把全体缩小 的4个相似图形构成的，则其相似的分形维数是 ，
故选：D.
6．已知正实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．9
【答案】C
【详解】
，
而 ，
当且仅当 ，即 取等.
故选：C.
7．若函数 有两个极值点 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为函数 有两个极值点 ，
又函数 的定义域为 ，导函数为 ，
所以方程 由两个不同的正根，且 为其根，
所以 ， ， ，
所以 ，
则
，
又 ，即 ，可得 ，
所以 或 （舍去），
故选：C.8．已知函数 ，若存在 ，使得 成立，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意 ， ，
即 有解，
先求 与 相切时，
过定点 ， 的导数 ，
设切点为 ，则由导数可知 ，
所以 ，解得 ，
即切点为 ，此时切线斜率 ，
作出函数图象，如图，
由图象可知，当 时，存在存在 ，使得 成立.
故选：B
二、多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。每小题列出的四个
选项中有多项是符合题目要求的，漏选得2分，多选或错选不得分）
9．下列结论中，所有正确的结论是（ ）
A．若 ，则
B．命题 的否定是：
C．若 且 ，则
D．若 ，则实数
【答案】AB
【详解】对A， ，则 ，又 ，则 ， ，故
A正确；对B，命题 的否定是： ，故B正确；
对C， ，因为 且 ，故 ，即
，故C错误；
对D，当 ， 时， 不成立，故D错误；
故选：AB
10．下列结论中，正确的是（ ）
A．若 ， ，则 的最小值为8
B．若 ，则函数 的最小值为
C．已知正数a，b满足 ，则
D．已知 ， ，且 ，则
【答案】ACD
【详解】对于A，因为 ， ，所以 ， ，且 ，则
，当且仅当 ，即 时
取等号，所以 的最小值为8，故A正确；
对于B，若 ，则 ，则 ，则
，当且仅当
，即 时取等号，所以函数 的最大值为 ，故B错误．
对于C，因为正数a，b满足 ，所以 ，且 ， ，所以
，当且仅当 时等号成立，故C正确.
对于D，∵ ， ，且 ，∴ ，∴ ，∴
，当且仅当 取等号，故D正确.
故选：ACD．11．已知函数 ，令 ，则（ ）
A． 或 时， 有1个零点
B．若 有2个零点，则 或
C． 的值域是
D．若 有3个零点 ，且 ，则 的取值范围为
【答案】BCD
【详解】由函数 ，画出函数 的图象，如图所示，
由函数 ，则 的零点，即 ，
即函数 与 的交点横坐标，
对于A中，当 时，函数 没有零点，所以A错误；
对于B中，要使得函数 有2个零点，即函数 与 有两个不同的交点，
结合图象，可得 或 ，所以B正确；
对于C中，由函数 的图象，可得函数的值域为 ，所以C正确；
对于D中，由 有3个零点 ，且 ，
可得 ，
由 ，即 ，所以 ，可得 ，
又由 ，解得 ，
所以 的取值范围为 ，所以D正确.
故选：BCD.
12．已知函数 ， ，则（ ）A．函数 在 上存在唯一极值点
B． 为函数 的导函数，若函数 有两个零点，则实数的取值范围是
C．若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的最小值为
D．若 ，则 的最大值为
【答案】BCD
【详解】对于A： ，令 ，则 ，
令 ，解得： ，令 ，解得： ，故 在 单调递增，
在 单调递减，
故 ，故 在 单调递增，函数 在 上无极值点，故
A错误；
对于B： ，令 ，则
，
当 时， ，当 时， ，故 在 上为减函数，在
上为增函数，故 ，即 ，
又 时， ，作出函数 的图象，如图：
若函数 有两个零点，得 有两个实根，得函数 的图象与
直线 有两个交点，
由图可知， ，故B正确；
对于C：由B得： 在 上恒成立，则 在 单调递增，则不等式
恒成立，等价于 恒成立，故 ，
设 ，则 ，令 ，解得： ，令 ，解得： ，故 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，故 ，则实数 的最小值为 ，故C正确；
对于D：若 ，则 ，
即 ，
∵ ，∴ ， ， ，
由A知， 在 上单调递增，故 ，
所以 ，
设 ，则 ，
令 ，解得： ，令 ，解得： ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，此时 ，
故 的最大值是 ，故D正确；
故选：BCD
三、填空题（每小题5分，共计20分）
13．已知函数 ，则 的值为______.
【答案】7
【详解】由题意，函数 ，
则 .
故答案为： .
14．已知函数 ，若曲线 在点 处的切线方程为 ，则
的值为________．
【答案】2
【详解】函数 ，求导得 ，依题意， ，又 ，消去a得： ，而 ，解得 ，
所以 的值为2.
故答案为：2
15．已知命题 ，使得“ 成立”为真命题，则实数a的取值范围是
__________．
【答案】
【详解】因为命题 ，使得“ 成立”为真命题，
当 时， ，则 ，故成立；
当 时， ，解得： ；
当 时，总存在 ；
综上所述：实数a的取值范围为 .
故答案为：
16．设 表示不超过 的最大整数，如 .已知函数
有且只有4个零点，则实数 的取值范围是___________.
【答案】
【详解】设 ，则 有且只有4个根.
当 时， ,
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
所以当 时， .
当 时， ， ，
当 时， ， ，故函数 的图象如图所示：因为 ，由图可知 .
故答案为: .
四、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明，17题10分，其余各题
每题各12分）
17．设全集 ， ， ．
(1)当a＝1时，求 ， ；
(2)若“ ”是“ ”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【详解】（1）令 可得 ，解得 ，
所以 ， 或
当 时， ，
所以 ，
或 .
（2）由“ ”是“ ”的充分不必要条件可得，集合 是集合 的真子集，
又 ，
所以 ，解得 ，
故实数a的取值范围为 ．
18．已知函数 （a，b为常数）且方程 有两个实根为
．(1)求函数 的解析式；
(2)设 ，解关于x的不等式： ．
【详解】（1）将 代入 ，
可得： ，解得 ，
则 ，
因为 ，则 ，即 符合题意，
所以 .
（2）由（1）可得： ，整理得 ，
则 ，
令 ，解得 或 或 ，
且 ，可得 或 ，
所以不等式的解集为 .
19．已知 （实数 为常数）．
(1)当 时，求函数 的定义域 ，判断奇偶性，并说明理由；
(2)若不等式 当 时均成立，求实数 的取值范围．
【详解】（1）当 时， ，
则 或 ，解之得 或 ，
即 ，显然定义域不关于原点对称，故不具有奇偶性；
（2）当 时， ， 为单调递增函数，
故 ，
令 ，则 ，
故 ，由对勾函数的性质可知 在 上单调递减，故 ，所以 ，
即 的取值范围为 .
20．某公司是一家专做产品A的国内外销售的企业，每一批产品A上市销售40天内全部售
完．该公司对第一批产品A上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图
一、图二、图三所示，其中图一中的折线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；
图二中的抛物线表示国外市场的日销售量与上市时间的关系；图三中的折线表示的是每件
产品A的销售利润与上市时间的关系（国内外市场相同）．
(1)如上图所示，分别写出国内市场的日销售量 、国外市场的日销售量 与第一批产
品A的上市时间t的关系式；
(2)第一批产品A上市后，问哪一天这家公司的日销售利润最大？最大是多少万元？
【详解】（1）当 时，设 ，
则有 ，解得 ，所以 ，
当 时，设 ，
则有 ，解得 ，所以 ，
综上 ，
设 ，
则有 ，解得 ，
所以 ；
（2）设每件产品的利润为 ，日销售利润为 ，
当 时，设 ，
则有 ，解得 ，所以 ，当 时， ，
综上 ，
所以 ，
当 时， ，
所以函数 在 上递增，
所以 ，
当 时， ，
则 ，
当 时， ，
综上所述， ，
所以第 天这家公司的日销售利润最大，最大是 万元.
21．已知函数 ．求 的单调区间．
【详解】当 时， ,
, 的单调递增区间是 ，
单调递减区间是 ．
当 时， ,
当 时， , 的单调递增区间是 和
，
, 单调递减区间是 ．当 时， , 的单调递增区间是 ．
当 时， 得单调递增区间是 和 ，
单调递减区间是 .
22．已如 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)判断 极值点个数，并说明理由；
(3)解不等式 ．
【详解】（1）函数 的定义域为 ，导函数 ，
所以 ， ，
所以曲线 在点 处的切线斜率为1，
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
（2）设 ，则 ，
令 ，可得 ，又 为 上的增函数，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
又 ， ， ，
所以存在 使得 ，
当 时， ，即 ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，即 ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，即 ，函数 在 上单调递增，
所以 为函数 的极大值点， 为函数 的极小值点，
所以函数 有两个极值点；
（3）因为函数 在 上单调递增， ， ，所以当 时，不等式 的解为 ，因为函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数 在 上的最小值为 ，
因为 ， ，
所以 ，
所以当 时，不等式 的解为 ，
所以不等式 的解集为 .公众号：高中试卷君
